新人教版高中数学必修五教案

新人教版高中数学必修五教案

2.1.1数列的概念与简单表示法

一、教学要求：

理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数

列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.

二、教学重点、教学难点：

重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.

难点：根据一些数列的前儿项，抽象、归纳出数列的通项公式.

三、教学过程：

导入新课

“有人说，大自然是懂数学的”“树木的，。。。。。”，

(一)、复习准备：

1.在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之槐，日

取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“!”，再取一半还剩.......如此

24

下去，即得到1,...............

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2.生活中的三角形数、正方形数.阅读教材

提问：这些数有什么规律？与它所表示的图形的序号有什么关系？

(二)、讲授新课：

1.教学数列及其有关概念：

(1)三角形数：1,3,6,10,-

(2)正方形数：1,4,9,16,-[]]

(2)1,2,3,4…的倒数排列成的1，品，鼠……一列数：

(3)-1的1次幕，2次幕，3次幕，......排列成一列数：-1,1,-1,1,-1,。。。。。

(4)无穷多个1排列成的一列数：1,1,1,

有什么共同特点？1.都是一列数：2.都有一定的顺序

①数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

辩析数列的概念：(1)“1,2,3,4,5”与“5,4,3,2,1”是同一个数列吗？

与“1,3,2,4,5”呢？------数列的有序性

(2)数列中的数可以重复吗？

(3)数列与集合有什么区别？

集合讲究：无序性、互异性、确定性，数列讲究：有序性、可重复性、确定性。

②数列中每一个数叫数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第1项(或首项)，排在第二位的数称为

这个数列的第2项..排在第〃位的数称为这个数列的第〃项.

③数列的一般形式可以写成%,%，%，…，4,…，简记为｛4｝.

④数列的分类：(1)按项数分：有穷数列与无穷数列，

(2)按项之间的大小关系：递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.

⑤数列中的数与它的序号有怎样的关系？

序号可以看作自变量，数列中的数可以看作随着变动的量。把数列看作函数。

即：数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一

列函数值。反过来，对于函数＞=f(X),如果/(i)(i=l、2、3、4)有意义，可以得到一个

数列：/(1)\/(2)\/(3)\……

如果数列｛%｝的第n项与项数之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的

通项公式。

函数数列(特殊的函数)

定义域R或R的子集N*或它的子集

解析式y=fM%=/(«)

图象点的集合一些离散的点的集合

2.应用举例

例1、写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数:

(1)1,--,-(2)2,0,2,0.

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练习：根据下面数列的前几项的值，写出数列的•个通项公式:

2_6_J0

⑴3,5,7,9,11,3'15#玉’63'99

(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)1,3,3,5,5.7,7,9,9,……；

(5)2,-6,18,-54,162,....

例2.写出数列1,2*,31,二4，二5.....的一个通项公式，并判断它的增减性。

471013

思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？

例3.根据下面数列｛%｝的通项公式，写出前五项：

(1)an=----(2)•"

n+1

例4.求数列｛—2/+9〃+3｝中的最大项。

例5.已知数列｛明｝的通项公式为%=log2(〃2+3)-2,求Iog23是这个数列的第几项？

三.小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.

四、巩固练习：

1.练习：P31面1、2、题、

2.作业：《习案》九。

2.1.2数列的概念与简单表示法

教学要求：了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前

几项；理解数列的前n项和与a„的关系.

教学重点：根据数列的递推公式写出数列的前儿项.

教学难点：理解递推公式与通项公式的关系.

教学过程：

一、复习：

1).以下四个数中，是数列1(〃+1)｝中的一项的是(A)

A.380B.39C.32D.18

2).设数歹U为痣,行,2人,而,…贝IJ4痣是该数歹U的(C)

A.第9项B.第10项C.第"项D.第12项

3).数列1,-2,3,-4,5的一个通项公式为%

4)、图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基(Sierpinski)三角形。在下图4个三角形中，着色三角形的

个数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的•个通项公式，并在直角坐标系中画出它的图象。

二、探

究新知

(-)

晨

<|>

、观察以下数列，并写出其通项公式：

(1)1,3,5,7,9,11,%=2〃一1

(2)0,-2,-4,-6,-8,­••an--2(n-1)

(3)3,9,27,81,­.a“=3"

思考：除了用通项公式外，还有什么办法可以确定这些数列的每一项？

⑴4=1,«2=3=1+2=4]+2,a3=5=a2+2,%+2

（2）«i=0,a„=«„.1-2

（3）«i=3,«„=3a“_i

(二)定义：已知数列｛%｝的第一项(或前几项)，且任一项明与它的前一项a,I(或前几项)间的关

系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的递推公式.

练习：运用递推公式确定一个数列的通项：

(1)2,5,8,II,--%=2,a“=a“_i+3(〃22)

(2)1,1,2,3,5,8,13,21,--a,=1,«2=l,an+«„_2(n>3)

例1：已知数列｛%｝的第一项是1,以后的各项由公式%=1+二一给出，写出这个数列的前五项.

解：1,2,3,9』.

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若记数列｛%｝的前〃项之和为S“，则%=(："一‘I

S](n=l)

练习：已知数列｛%｝的前n项和为：(1)S“=In2-n;(2)S„^n2+n+1,求数列｛%｝的通项公式.

例2.已知%=2,a“+]=a”-4,求明.

解法—可以写出：%=2,«=-2,g=-6,°4=T0,…，观察可得:

2观察法

an=2+（；1-1）（-4）=2-4（〃一1）

解法二

由题设：%+]-%=-4,

a„~a„-\=

an-\-an-2=-4

«-2-«„-3=-4

n,累加法

%—%=-4

相加得：%-卬=-4(〃-1)

an=2-4(/1-1)

例已知%=，求明.

3:2,%+]=2an

解法一：解法二:迭乘法

由%+i=2%,

a}=2,4=2x2=2、

2，

a3=2x2=2,…an=2%,即乌