2023年四川省资阳市中考数学试卷

四川天地人教育2023年四川省资阳市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣2 C． D．22．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．3．（4分）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（）A．4.89×106 B．4.89×105 C．0.489×107 D．48.9×1054．（4分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．2a2•3b＝6ab D．（a3）2＝a55．（4分）某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（）A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.86．（4分）数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（）A． B． C．或﹣ D．7．（4分）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高1.70米，体重70千克，则小张的体重状况是（）体重指数（BMI）的范围体重状况体重指数＜18.5消瘦18.5≤体重指数≤23.9正常23.9＜体重指数≤26.9超重体重指数＞26.9肥胖A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖8．（4分）下列说法不正确的是（）A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根 B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等 C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线 D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，AD＝2厘米，AB＝4厘米，点P从点D出发以每秒厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）使代数式有意义的x的取值范围是．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是．13．（4分）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝．14．（4分）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为0×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝91．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为．15．（4分）如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为．三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．18．（10分）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生，并补全条形统计图；（2）求A所在扇形的圆心角度数；（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．19．（10分）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？20．（10分）如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．21．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．（1）求k、b的值；（2）求△ABD的面积；（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．22．（11分）如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内）（1）求O、B两点之间的距离；（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（≈1.414，结果精确到0.01）23．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．（1）求证：AE＝BC；（2）探究AF与CF的关系，并说明理由；（3）若AD＝8，CD＝6，求OG的长．24．（13分）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点．（1）求抛物线的表达式；（2）点D是抛物线在第二象限内的点，过点D作x轴的平行线与直线AB交于点C，求DC的长的最大值；（3）点Q是线段AO上的动点，点P是抛物线在第一象限内的动点，连结PQ交y轴于点N．是否存在点P，使△ABQ与△BQN相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

2023年四川省资阳市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）1．（4分）的相反数是（）A． B．﹣2 C． D．2【分析】把只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义即可完成．【解答】解：的相反数是；故选：A．【点评】本题考查了相反数的意义，掌握相反数的意义是关键．2．（4分）如图所示的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定即可．【解答】解：从上面看，是一个矩形，矩形的内部有一个圆．故选：B．【点评】本题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．3．（4分）毗河引水工程设计供水总人口489万人，数489万用科学记数法表示为（）A．4.89×106 B．4.89×105 C．0.489×107 D．48.9×105【分析】科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数；由此进行求解即可得到答案．【解答】解：489万＝4890000＝4.89×106．故选：A．【点评】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．4．（4分）下列计算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 C．2a2•3b＝6ab D．（a3）2＝a5【分析】根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式的法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：A、2a与3b不能合并，故A不符合题意；B、（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，故B符合题意；C、2a2•3b＝6a2b，故C不符合题意；D、（a3）2＝a6，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．5．（4分）某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试．小红所在的学习小组每人视力测试的结果分别为：5.0，4.8，4.5，4.8，4.6，这组数据的众数和中位数分别为（）A．4.8，4.74 B．4.8，4.5 C．5.0，4.5 D．4.8，4.8【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个．【解答】解：把这组数据从小到大排列为4.5，4.6，4.8，4.8，5.0，排在中间的数是4.8，故中位数是4.8；这组数据中4.8出现的次数最多，故众数为4.8．故选：D．【点评】本题考查统计知识中的中位数和众数的概念．将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．6．（4分）数轴上点A到原点的距离为，则点A所表示的数是（）A． B． C．或﹣ D．【分析】根据到原点距离为的点在原点左右两边，然后解答即可．【解答】解：∵表示的点到原点的距离为，∴点A表示的数是，故选：C．【点评】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握用数轴上的点表示实数．7．（4分）体重指数（BMI）是体重（千克）与身高（米）的平方的比值，是反映人体胖瘦的重要指标（如表所示）．小张的身高1.70米，体重70千克，则小张的体重状况是（）体重指数（BMI）的范围体重状况体重指数＜18.5消瘦18.5≤体重指数≤23.9正常23.9＜体重指数≤26.9超重体重指数＞26.9肥胖A．消瘦 B．正常 C．超重 D．肥胖【分析】根据体重指数的计算方法，求出小张的体重指数，根据所给的数据即可得出答案．【解答】解：由题意可得，小张的体重指数为：≈24.2，∵23.9＜24.2≤26.9，∴小张的体重状况是超重．故选：C．【点评】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是明确题意，列出相应的代数式．8．（4分）下列说法不正确的是（）A．方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根 B．若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等 C．用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线 D．在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等【分析】利用根的判别式，全等三角形的性质，基本作图，平行线的性质一一判断即可．【解答】解：A、方程3x2+5x﹣4＝0，Δ＝52﹣4×3×（﹣4）＝73＞0，∴方程3x2+5x﹣4＝0有两个不相等的实数根，故本选项正确，不符合题意；B、若△A′B′C′由△ABC旋转得到，则它们的对应角、对应边以及对应边上的高都相等，正确，本选项不符合题意；C、用尺规作图能完成：过一点作已知直线的垂线，正确，本选项不符合题意；D、在同一平面内，若两个角的两边分别平行，则这两个角相等，错误这两个角也可能是互补，本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查一元二次方程的根的判别式，基本作图，旋转变换，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．9．（4分）如图，在平行四边形ABCD中，∠D＝120°，AD＝2厘米，AB＝4厘米，点P从点D出发以每秒厘米的速度，沿D→C→B→A在平行四边形的边上匀速运动至点A．设点P的运动时间为t秒，△ADP的面积为s平方厘米，下列图中表示s与t之间函数关系的是（）A． B． C． D．【分析】易得DC长4厘米，点P速度为每秒厘米，所以点P在CD上时，时间t满足的取值范围为：0≤t≤4，观察符合题意的A、B、D的图象，t＝4即点P在C处时，△ADP的面积各不相同，求得此时△ADP的面积，即可找到正确选项．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4厘米，∴CD＝AB＝4（厘米）．∵点P从点D出发以每秒厘米的速度，∴点P走完CD所用的时间为：4÷＝4（秒）．∴当点P在CD上时，0≤t≤4．故排除C．当t＝4时，点P在点C处．过点A作AE⊥CD于点E．∴∠E＝90°．∵∠ADC＝120°，∴∠EAD＝∠ADC﹣∠E＝30°．∵AD＝2厘米，∴DE＝（厘米），∴AE＝3（厘米）．∴△ADP的面积S＝CD•AE＝×4×3＝6（平方厘米）．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象问题．判断出点P运动到点C时的时间及此时△ADP的面积是解决本题的关键．10．（4分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论：①abc＜0；②5a+c＝0；③对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2；④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2，其中正确的结论是（）A．①② B．②③④ C．①②④ D．①②③④【分析】根据题意和函数图象，利用二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图象可得，a＞0，b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①正确，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．∴﹣＝﹣2，a+b+c＝0，∴b＝4a，∴a+b+c＝a+4a+c＝0，故5a+c＝0，故②正确，∵当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c取得最小值，∴am2+bm+c≥4a﹣2b+c，即2b+bm≥4a﹣am2（m为任意实数），故③错误，∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，∴y1＜y2，故④正确；故选：C．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）使代数式有意义的x的取值范围是x≥6．【分析】根据二次根式有意义的条件求解即可．【解答】解：∵有意义，∴x﹣6≥0，∴x≥6．故答案为：x≥6．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．12．（4分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、绿三种颜色的小球共12个，其中红球2个，绿球4个，这些小球除颜色外没有任何其它区别．袋中的小球搅匀后，从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：∵袋子中共有12个小球，其中红球2个，绿球4个，∴黄球有6个，∴从袋子中随机取出1个小球，则取到黄球的概率是＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P（A）＝．13．（4分）如图，AB∥CD，AE交CD于点F，∠A＝60°，∠C＝25°，则∠E＝35°．【分析】先根据两直线平行，同位角相等得出∠EFD＝∠A＝60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和得到∠EFD＝∠E+∠C，即可求出∠E的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠A，∵∠A＝60°，∴∠EFD＝60°，∵∠EFD是△CEF的一个外角，∴∠EFD＝∠E+∠C，∵∠C＝25°，∴∠E＝∠EFD﹣∠C＝60°﹣25°＝35°，【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握平行线的性质和三角形外角的性质是解题的关键．14．（4分）计算机的二进制数据是用0和1两个数码来表示的数，进位规则是“逢二进一”，二进制数和十进制数可以互换，例如，二进制数“01011011”换成十进制数表示的数为0×27+1×26+0×25+1×24+1×23+0×22+1×21+1×20＝91．依此算法，二进制数“01001001”换成十进制数表示的数为73．【分析】根据二进制和十进制的互换规则即可解答．【解答】解：由二进制和十进制的互换规则得：01001001＝0×27+1×26+0×25+0×24+1×23+0×22+0×21+1×20＝73．故答案为：73．【点评】本题考查了用数字表示数，理解二进制和十进制的互换规则是解题关键．15．（4分）如图，边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，则图中阴影部分的面积是12π﹣9．【分析】连接并延长AO交BC于点D，连接OB、OC，则AB＝AC＝BC＝6，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝120°，OB＝OC＝OA，可证明△AOB≌△AOC，得∠BAO＝∠CAO，则AD⊥BC，所以∠ODB＝90°，BD＝CD＝3，可求得∠OBD＝∠OCD＝30°，则OD＝BD＝，所以OB＝OA＝2OD＝2，则AD＝3，即可由S阴影＝S⊙O﹣S△ABC求得S阴影＝12π﹣9，于是得到问题的答案．【解答】解：连接并延长AO交BC于点D，连接OB、OC，∵边长为6的正三角形ABC内接于⊙O，∴AB＝AC＝BC＝6，∠AOB＝∠AOC＝∠BOC＝×360°＝120°，OB＝OC＝OA，在△AOB和△AOC中，，∴△AOB≌△AOC（SAS），∴∠BAO＝∠CAO，∴AD⊥BC，∴∠ODB＝90°，BD＝CD＝BC＝3，∵∠OBD＝∠OCD＝×（180°﹣∠BOC）＝×（180°﹣120°）＝30°，∴＝tan∠OBD＝tan30°＝，∴OD＝BD＝×3＝，∴OB＝OA＝2OD＝2×＝2，∴AD＝OA+OD＝2+＝3，∴S阴影＝S⊙O﹣S△ABC＝π×（2）2﹣×6×3＝12π﹣9，故答案为：12π﹣9．【点评】此题重点考查正多边形与圆、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式和圆的面积公式等知识，正确地作出辅助线并且求出⊙O的半径是解题的关键．16．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的等边△ABC的顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动，将△ABC沿BC所在直线翻折得到△DBC，则OD的最大值为+1．【分析】过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，在Rt△ABO中利用斜边中线性质求出OE，根据OE+DE≥OD确定当D、O、E三点共线时OD最大，最大值为OD＝OE+DE．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB，交AB延长线于点F，取AB的中点E，连接DE，OE，OD，∵等边三角形ABC的边长为2，∴AB＝2，∠ABC＝60°，由翻折可知：∠DBC＝∠ABC＝60°，DB＝AB＝2，∴∠DBF＝60°，∵DF⊥AB，∴∠DFB＝90°，∴∠BDF＝30°，∴BF＝BD＝1，∴DF＝BF＝，∵E是AB的中点，∴AE＝BE＝OE＝AB＝1，∴EF＝BE+BF＝2，∴DE＝＝＝，∴OD≤DE+OE＝+1，∴当D、E、O三点共线时OD最大，最大值为+1．故答案为：+1．【点评】本题考查了翻折变换，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，共86分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17．（9分）先化简，再求值：，其中a＝﹣2．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a＝﹣2代入进行计算即可．【解答】解：原式＝÷＝•＝，当a＝﹣2时，原式＝＝﹣1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．18．（10分）第31届世界大学生夏季运动会（简称“大运会”）将于2023年7月28日至8月8日在成都举行．某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查共抽取了500名学生，并补全条形统计图；（2）求A所在扇形的圆心角度数；（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．【分析】（1）用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查共抽取的学生人数；用本次调查共抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可．（2）用360°乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比即可．（3）列表即可得出所有等可能的结果，以及甲、乙同时被选中的结果，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）本次调查共抽取了50÷10%＝500（名）学生．故答案为：500．选项B的人数为500﹣200﹣100﹣50＝150（人）．补全条形统计图如图所示．（2）A所在扇形的圆心角度数为360°×＝144°．（3）列表如下：甲乙丙丁甲（甲，乙）（甲，丙）（甲，丁）乙（乙，甲）（乙，丙）（乙，丁）丙（丙，甲）（丙，乙）（丙，丁）丁（丁，甲）（丁，乙）（丁，丙）由表格可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙同时被选中的结果有2种，∴甲、乙同时被选中的概率为＝．【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．19．（10分）端午节到来之际，小明家的经销店准备销售粽子和咸鸭蛋．据了解，购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元．（1）求每个粽子和每个咸鸭蛋的进价分别为多少元？（2）若每个粽子的售价为5元，每个咸鸭蛋的售价为2元．小明父亲打算购进粽子和咸鸭蛋共1000个，全部售完后利润不低于1600元，求至少购进多少个粽子？【分析】（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，根据“购进500个粽子和200个咸鸭蛋共需1700元，已知一个粽子的进价比一个咸鸭蛋的进价多2元”列出方程组并解答；（2）设购进a个粽子，根据“全部售完后利润不低于1600元”列出不等式并解答．【解答】解：（1）设每个粽子的进价为x元，每个咸鸭蛋的进价为y元，则：．解得．答：每个粽子的进价为3元，每个咸鸭蛋的进价为1元；（2）设购进a个粽子，根据题意，得（5﹣3）×a+（2﹣1）（1000﹣a）≥1600．解得a≥600．因为a是正整数，所以a最小值取600．答：至少购进600个粽子．【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．20．（10分）如图，已知⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，与AC相交于A、E两点，且与边BC相切于点D，连结DE．（1）若BA＝BD，求证：AB是⊙O的切线；（2）若CD＝4，CE＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OD，则OD＝OA，所以∠OAD＝∠ODA，由切线的性质得BC⊥OD，则∠ODB＝90°，而BA＝BD，所以∠BAD＝∠BDA，即可推导出∠OAB＝∠ODB＝90°，进而证明AB是⊙O的切线；（2）由OD＝OE，得∠ODE＝∠OED，由AE是⊙O的直径，得∠ADE＝90°，由∠CAD+∠OED＝90°，∠CDE+∠ODE＝90°，得∠CDE＝∠CAD，而∠C＝∠C，即可证明△CDE∽△CAD，得＝，则CE•CA＝CD2，于是得2（2+2OE）＝42，求得OE＝3，则⊙O的半径长为3．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA，∴∠OAD＝∠ODA，∵⊙O的圆心O在AC上，且与边BC相切于点D，∴BC⊥OD，∴∠ODB＝90°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA，∴∠OAB＝∠OAD+∠BAD＝∠ODA+∠BDA＝∠ODB＝90°，∵OA是⊙O的半径，且AB⊥OA，∴AB是⊙O的切线．（2）解：∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠CAD+∠OED＝90°，∵∠CDE+∠ODE＝∠ODC＝90°，∴∠CDE＝∠CAD，∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CAD，∴＝，∴CE•CA＝CD2，∵CD＝4，CE＝2，OE＝OA，∴2（2+2OE）＝42，解得OE＝3，∴⊙O的半径长为3．【点评】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、切线的判定、直径所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线并且证明△CDE∽△CAD是解题的关键．21．（11分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数的图象交于点A（﹣2，m）和点B，与y轴交于点C．直线x＝4经过点B与x轴交于点D，连结AD．（1）求k、b的值；（2）求△ABD的面积；（3）直接写出一个一次函数的表达式，使它的图象经过点C且y随x的增大而增大．【分析】（1）利用反比例函数求出点A和点B，代入y＝kx+b（k≠0）计算即可；（2）利用A、B、D三点的坐标和面积公式计算即可；（3）求出点C的坐标，然后写出解析式即可．【解答】解：（1）把点A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝﹣得，，解得m＝2，n＝﹣1，∴A（﹣2，2），B（4，﹣1），把A（﹣2，2），B（4，﹣1）代入y＝kx+b（k≠0）中得：，解得，即k的值为﹣，b的值为1；（2）由题意可知D（4，0），∴△ABD的面积为：＝3；（3）当x＝0时，y＝1，∴C（0，1），则设经过点C的一次函数解析式为y＝ax+1，∵y随x的增大而增大，∴a＞0，∴经过点C的一次函数解析式为y＝x+1（答案不唯一）．【点评】本题考查了反比例函数和一次函数的综合运用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式．22．（11分）如图，在某机场的地面雷达观测站O，观测到空中点A处的一架飞机的仰角为45°，飞机沿水平线MN方向飞行到达点B处，此时观测到飞机的仰角为60°，飞机继续沿与水平线MN成15°角的方向爬升到点C处，此时观测到飞机的仰角为60°．已知OA＝9千米．（A、B、C、O、M、N在同一竖直平面内）（1）求O、B两点之间的距离；（2）若飞机的飞行速度保持12千米/分钟，求飞机从点B飞行到点C所用的时间是多少分钟？（≈1.414，结果精确到0.01）【分析】（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，根据题意可得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，从而可得∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，然后在Rt△ADO中，利用锐角三角函数的定义求出OD的长，再在Rt△BDO中，利用锐角三角函数的定义求出OB的长，即可解答；（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，根据题意可得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，从而利用平角定义可得∠BOC＝60°，∠CBO＝75°，然后利用三角形内角和定理可得∠C＝45°，从而在Rt△BOE中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，再在Rt△BCE中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，最后进行计算即可解答．【解答】解：（1）过点O作OD⊥AB，垂足为D，由题意得：∠AOM＝45°，∠BOM＝60°，AD∥MN，∴∠A＝∠AOM＝45°，∠DBO＝∠BOM＝60°，在Rt△ADO中，OA＝9千米，∴OD＝OA•sin45°＝9×＝9（千米），在Rt△BDO中，OB＝＝＝6（千米），∴O、B两点之间的距离为6千米；（2）过点B作BE⊥OC，垂足为E，由题意得：∠CBD＝15°，∠BOM＝60°，∠CON＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠BOM﹣∠CON＝60°，∵∠DBO＝60°，∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝75°，∴∠C＝180°﹣∠CBO﹣∠BOC＝45°，在Rt△BOE中，OB＝6千米，∴BE＝OB•sin60°＝6×＝9（千米），在Rt△BCE中，BC＝＝＝9（千米），∴飞机从点B飞行到点C所用的时间＝≈1.06（分钟），∴飞机从点B飞行到点C所用的时间约为1.06分钟．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．（1）求证：AE＝BC；（2）探究AF与CF的关系，并说明理由；（3）若AD＝8，CD＝6，求OG的长．【分析】（1）利用矩形的性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定定理解答即可；（2）利用矩形的性质，等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定与性质解答即可；（3）利用勾股定理和等腰直角三角形的性质求得BD，BF，DF的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得BH的长度，最后利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠CDE＝45°，∵AB∥CD，∴∠E＝∠CDE＝45°，∴∠E＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD，∴AE＝BC；（2）解：AF与CF的关系为：AF＝FC，AF⊥FC．理由：∵∠EBC＝90°，∠E＝45°，∴△BEM为等腰直角三角形，∴BE＝BM，∵F为EM的中点，∴BF⊥EM，BF＝EF＝FM，∴△BFM为等腰直角三角形，∴∠FBC＝45°，∴∠FBC＝∠E＝45°．在△AEF和△CBF中，，∴△AEF≌△CBF（SAS），∴AF＝CF，∠EAF＝∠BCF．∵∠BAF+∠BHA＝90°，∠BHA＝∠CHF，∴∠BCF+∠CHF＝90°，∴∠HFC＝90°，∴AF⊥FC．（3）解：∵AD＝8，CD＝6，∴AC＝＝10，∵△DCM为等腰直角三角形，∴DM＝CD＝6，∵AE＝BC＝8，∴BE＝2，∴BF＝EF＝FM＝，∴DF＝FM+DM＝7．∴BD＝AC＝10．∵△AEF≌△CBF，∴∠BAF＝∠BCF，∵∠AHB＝∠CHF，∴△BAH∽△FCH，∴∠ABH＝∠CFH＝90°，∵AF＝CF，∴∠FAC+∠