点、直线和平面的投影课件

點、直線和平面的投影供建築類各專業使用3-1點的投影點、線、面是構成各種形體的基本幾何元素

空間點A在P面上的投影是過投影中心S和A的投射線與P面的交點a。一、點的三面投影及其規律

空間點A放置在三面投影體系中，過點A分別作垂直於H面、V面、W面的投影線

投影線與H面的交點（即垂足點）a稱為A點的水準投影（H投影）；投影線與V面的交點a′稱為A點的正面投影（V投影）；投影線與W面的交點a″稱為A點的側面投影（W投影）。空間點A的三面投影分別用a、a′、a″表示。一般只畫出投影軸，不畫投影面的邊框XYZHVOAaa

axa

'

ayazWHVOX點的兩面投影在正投影的條件下，點的單面投影不能唯一確定該點的空間位置，那麼，兩面投影呢？Aaa

點的兩面投影能夠唯一確定點的空間位置。兩面投影體系的建立：V——正面投影面H——水準投影面OX——投影軸ax點的兩面投影圖的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展開

去邊框點的兩面投影圖的性質Aaa

HVOXaxa

aaxOX正面投影與水準投影的連線垂直於OX軸；正面投影到OX軸的距離等於A點的高度；水準投影到OX軸的距離等於A點的深度；1、點的水準投影和正面投影的連線垂直於OX軸。

2、點的水準投影到OX軸的距離等於空間點到V面的距離；點的正面投影到OX軸的距離等於空間點到H面的距離。

點A的二面投影[過渡]

投影是人眼觀物得到的圖形，眼光被稱作視線，因此，投影圖也叫作視圖。

三視圖的形成及其投影規律

要點：

1、清楚三視圖的由來。

2、重點瞭解三視圖的三個對應關係（位置、三等、方位）。

3、會畫簡單物體的三視圖。舉例：將下列不同物體向同一投影面投射，得到同樣的視圖。三視圖的必要性結論：一個視圖不能反映空間物體的真實形狀，需用多個視圖，常用三視圖。三視圖的形成1.建立三投影體系

用三個互相垂直的平面組成三個投影面，即正面（V表示）、水平面（H表示）、側面（W表示）。三面的交線稱為投影軸，OX軸是V和H面交線，OY軸是H和W面交線，OZ軸是V和W面交線，三軸交於O點。主視圖：正立面（V）投影俯視圖：水平面（H）投影左視圖：側立面（W）投影2、三視圖的形成

三視圖需要展平在同一平面上（H面下轉90°，W面右轉90°）。將空間物體放在三維體系當中，向三面投影，得到三視圖。

以主視圖為准，俯視圖在它的正下方，左視圖在它的正右側，位置固定，不必標注。三視圖之間的對應關係1、位置關係

主、俯視圖長對正。主、左視圖高平齊。俯、左視圖寬相等。2、三視圖之間的“三等”關係

HVOXYZ點的三面投影Aaa

axa

'

ayaz通常我們用大寫字母表示空間的點，相應的小寫字母表示其水準投影，小寫字母加一撇表示其正面投影，小寫字母加兩撇表示其側面投影。WAHVOXYZaa

axa

'ayazWa

aa

'OXYHZYW點的三面投影圖axayazaya

aa

'OXYHZYW點的投影規律axayazay水準投影和正面投影的連線垂直於OX軸（長對正）；正面投影和側面投影的連線垂直於OZ軸（高平齊）；水準投影到OX軸的距離等於側面投影到OZ軸的距離（寬相等）。可得出點的投影特性如下：（1）點的投影的連線垂直於相應的投影軸。（2）點的投影到投影軸的距離，反映該點到相應的投影面的距離。【例1】已知點A的水準投影a和正面投影a′，求其側面投影a″解:作圖步驟如下二、點的投影與座標

1．投影與座標

引入直角坐標的概念，將三面投影體系中的三個投影面看作是直角坐標系中的三個座標面，則三條投影軸相當於坐標軸，原點相當於座標原點。

點A的空間位置可用其直角坐標表示為A(x,y,z),x座標反映空間點A到W面的距離；y座標反映空間點A到V面的距離；z座標反映空間點A到H面的距離。

點的一個投影能反映兩個座標，反之點的兩個座標可確定一個投影。點的投影與直角坐標的關係AHVOXYZaa

axa

'ayazWxzyA點的x座標＝aay=a'az

A點的y座標＝aax=a''az

A點的z座標＝a'ay=a''ay【例】已知點A(14,10，20)，作其三面投影圖。解:作圖步驟如下（1）方法一（2）方法二

已知空間點B的座標為X=12，Y=10，Z=15，也可以寫成B（12、10、15）。單位為mm（下同）。求作B點的三投影。1、分析已知空間點的三點座標，便可作出該點的兩個投影，從而作出另一投影。

2、作圖①畫投影軸，在OX軸上由O點向左量取12，定出bX

，過bX作OX軸的垂線，如圖a。②在OZ軸上由O點向上量取15，定出bZ，過bZ作OZ軸垂線，兩條線交點即為bˊ，如圖b③在bˊbX的延長線上，從bX向下量取10得b；在bˊbZ的延長線上，從bZ向右量取10得b″。或者由bˊ和b用圖c所示的方法作出b″。（a）

（b）

（c）由點的座標作三面投影點與投影面的相對位置有四類：空間點；投影面上的點；投影軸上的點；與原點O重合的點2．特殊位置點的投影（1）投影面上的點（2）投影軸上的點三、兩點的相對位置

空間兩點的相對位置，是以其中一個點為基準，來判斷另一個點在該點的前或後、左或右、上或下。1、兩點的相對位置是指空間兩個點的上下、左右、前後關係，在投影圖中，是以它們的座標差來確定的。2、兩點的V面投影反映上下、左右關係；兩點的H面投影反映左右、前後關係；兩點的W面投影反映上下、前後關係。

[例]

已知空間點C（15，8，12），D點在C點的右方7，前方5，下方6。求作D點的三投影。

(xiti)D點在C點的右方和下方，說明D點的X、Z座標小於C點的X、Z座標；D點在C點的前方，說明D點的Y座標大於C點的Y座標。可根據兩點的座標差作出D點的三投影。（a）（b）（c）（d）圖

求作D點的三投影在投影面的重影點H面的重影點W面的重影點V面的重影點3-2直線的投影一、直線投影的概念二、特殊位置直線三、一般位置直線四、無軸投影圖一、直線投影的概念

由於直線的投影一般情況下仍為直線，且兩點決定一直線，故要獲得直線的投影，只需作出已知直線上的兩個點的投影，再將它們相連即可。VHXOBAa'b'ab直線的分類直

線一般位置直線特殊位置直線投影面垂直線投影面平行線二、特殊位置直線1.投影面垂直線垂直於一個投影面，同時平行於其他兩個投影面的直線。鉛垂線——垂直於H面，同時平行於V、W面的直線。正垂線——垂直於V面，同時平行於H、W面的直線。側垂線——垂直於W面，同時平行於H、V面的直線。VWHXYZOAB鉛垂線（垂直於H面，同時平行於V、W面的直線）Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

b

a(b)a

a

b

水準投影積聚為一點；正面投影及側面投影平行於OZ軸，且反映實長。VWHXYZOAB正垂線（垂直於V面，同時平行於H、W面的直線）ZX(a

)b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a正面投影積聚為一點；水準投影及側面投影平行於OY軸，且反映實長。VWXYZOABH側垂線（垂直於W面，同時平行於H、V面的直線）ba

a

b

ab

YWZXa

(b

)b

aOYHa

b側面投影積聚為一點；水準投影及正面投影平行於OX軸，且反映實長。投影面垂直線的投影特性投影面垂直線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所垂直的投影面上的投影積聚成一點；（2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別垂直於相應的投影軸，且都等於該直線的實長。

事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影平行於同一投影軸，則另一投影必積聚為一點；只要空間直線的三面投影中有一面投影積聚為一點，則該直線必垂直於積聚投影所在的投影面。特殊位置直線2.投影面平行線平行於一個投影面，同時傾斜於其他兩個投影面的直線。水平線——平行於H面，同時傾斜於V、W面的直線。正平線——平行於V面，同時傾斜於H、W面的直線。側平線——平行於W面，同時傾斜於H、V面的直線。ABVWHXYZO水平線（平行H面，同時傾斜於V、W面的直線）aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOZYHYW

水準投影反映實長及傾角，正面投影及側面投影垂直於OZ軸

VWHXYZOAB正平線（平行V面，同時傾斜於H、W面的直線）

aa

b

a

b

b正面投影反映實長及傾角，水準投影及側面投影垂直於OY軸

Xa

b

a

b

baOZYHYW

VWHXYZOAB側平線（平行W面，同時傾斜於H、V面的直線）

aa

b

a

b

b側面投影反映實長及傾角，水準投影及正面投影垂直於OX軸

b

XZa

b

baOYHYWa

投影面平行線的投影特性投影面平行線的投影特性可概括如下：（1）直線在它所平行的投影面上的投影反映實長，且反映對其他兩個投影面傾角的實形；（2）該直線在其他兩個投影面上的投影分別平行於相應的投影軸，且小於實長。

事實上，在直線的三面投影中，若有兩面投影垂直於同一投影軸，而另一投影處於傾斜狀態，則該直線必平行於傾斜投影所在的投影面，且反映與其他兩投影面夾角的實形。ABVWHXYZO三、一般位置直線對三個投影面都傾斜的直線稱為一般位置直線。

ZXa

b

aOYHYWa

bb

bb

a

b

aa

一般位置直線的投影特性一般位置直線的投影特性：1）三面投影均不反映直線的實長（均小於實長）；2）直線與投影面之間的傾角在投影圖中均不反映實形。

事實上，只要空間直線的任意兩個投影都呈傾斜狀態，則該直線一定是一條一般位置直線。求解一般位置直線的實長及傾角

根據一般位置直線的投影求解其實長及傾角是畫法幾何綜合習題中的常遇見的基本問題之一，也是工程實際中經常需要解決的問題。而用直角三角形法求解實長及傾角最為簡便、快捷。XOaba'b'ABaba'b'XOαB0直角三角形法(求直線的實長及對水準投影面的夾角α)mmαABABαmAB0=ab

BB0=AB兩點的高度差mabABaba'b'XOβXOaba'b'直角三角形法（求直線的實長及對正立投影面的夾角β）nnnA0BA0=a'b'AA0=AB兩點的寬度差nβABa'b'AB直角三角形法

直角三角形法的四要素：投影長、座標差、實長、傾角。已知四要素中的任意兩個，便可確定另外兩個。

解題時，直角三角形畫在任何位置都不影響解題結果，但用哪個長度來作直角邊不能搞錯。課堂練習：H1X1O1VXHO四、無軸投影圖b1a1ABa'b'baXOX1O1a'b'bab1a1把空間形體向投影面進行正投影時，所得投影圖的大小、形狀與距離投影面的遠近無關。無軸投影圖

在工程上，一般只要求投影圖能夠表達出空間形體的形狀和大小，而不需要考慮距投影面的距離，因此，投影軸也就沒有了意義，可以不必畫出。這種不需要畫出投影軸的正投影圖就叫做無軸投影圖。SB為什麼線；SA、SC為什麼直線

ABC判斷AB、BC、AC為什麼線；例題:空間直線位置的判斷例題:空間直線位置的判斷SB為側平線；SA、SC為一般位置直線。AB、BC為水平線；AC為側垂線；3-3平面的投影一、平面的表示方法二、各類平面的投影特性基本要求一、平面的表示法1、用幾何元素表示平面用幾何元素表示平面有五種形式：不在一直線上的三個點；一直線和直線外一點；相交二直線；平行二直線；任意平面圖形。2、平面的跡線表示法平面的跡線為平面與投影面的交線。特殊位置平面可以用在它們所垂直的投影面上的跡線來表示。一、平面的表示方法下列五種方式可表達一平面：（1）不在同一直線上的三個點；（2）一直線和直線外一點；（3）兩相交直線；（4）兩平行直線；（5）任意平面圖形。VXWHYZACB1、用幾何元素表示平面b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dXXXXXOOOOO2、平面的跡線表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、各類平面的投影特性空間平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面平行面

對一個投影面平行，同時垂直於其他兩個投影面的平面。水平面——平行於H面，同時垂直於V、W的平面正平面——平行於V面，同時垂直於H、W的平面側平面——平行於W面，同時垂直於H、V的平面VXHWYZO水平面的投影特性p'p"p水準投影反映實形；正面投影和側面投影積聚為一條直線並平行於相應的投影軸。XYWZOYHp'p"pP水平面的跡線平面1.無水準跡線PH。2.PV平行OX軸，PW平行OYW軸，有積聚性。VXHWYZO正平面的投影特性正面投影反映實形；水準投影和側面投影積聚為一條直線並平行於相應的投影軸。pp'p"XYWZOYHpp'p"P正平面的跡線平面1.無正面跡線Qv2.QH平行OX軸，QW平行OZ軸，有積聚性。VXHWZOY側平面的投影特性pp'p"側面投影反映實形；水準投影和正面投影積聚為一條直線並平行於相應的投影軸。XYWZYHOpp'p"P側平面的跡線平面1.無側面跡線；2.RH平面OYH軸，RV平行OZ軸，有積聚性。總結

投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映實形；（2）平面在另外兩個投影面上的投影積聚成直線，且分別平行於相應的投影軸。

事實上，在平面的兩面投影中，若有一面投影積聚為平行於某投影軸的直線，則此平面必為該投影軸相鄰的投影面的平行面。2.投影面垂直面

垂直於一個投影面，同時傾斜於其他兩個投影面的平面。鉛垂面——垂直於H面，同時傾斜於V、W