点、直线和平面的投影课件

点、直线和平面的投影供建筑类各专业使用3-1点的投影点、线、面是构成各种形体的基本几何元素

空间点A在P面上的投影是过投影中心S和A的投射线与P面的交点a。一、点的三面投影及其规律

空间点A放置在三面投影体系中，过点A分别作垂直于H面、V面、W面的投影线

投影线与H面的交点（即垂足点）a称为A点的水平投影（H投影）；投影线与V面的交点a′称为A点的正面投影（V投影）；投影线与W面的交点a″称为A点的侧面投影（W投影）。空间点A的三面投影分别用a、a′、a″表示。一般只画出投影轴，不画投影面的边框XYZHVOAaa

axa

'

ayazWHVOX点的两面投影在正投影的条件下，点的单面投影不能唯一确定该点的空间位置，那么，两面投影呢？Aaa

点的两面投影能够唯一确定点的空间位置。两面投影体系的建立：V——正面投影面H——水平投影面OX——投影轴ax点的两面投影图的形成Aaa

HVOXaxa

VHaaxOXa

aaxOX展开

去边框点的两面投影图的性质Aaa

HVOXaxa

aaxOX正面投影与水平投影的连线垂直于OX轴；正面投影到OX轴的距离等于A点的高度；水平投影到OX轴的距离等于A点的深度；1、点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。

2、点的水平投影到OX轴的距离等于空间点到V面的距离；点的正面投影到OX轴的距离等于空间点到H面的距离。

点A的二面投影[过渡]

投影是人眼观物得到的图形，眼光被称作视线，因此，投影图也叫作视图。

三视图的形成及其投影规律

要点：

1、清楚三视图的由来。

2、重点了解三视图的三个对应关系（位置、三等、方位）。

3、会画简单物体的三视图。举例：将下列不同物体向同一投影面投射，得到同样的视图。三视图的必要性结论：一个视图不能反映空间物体的真实形状，需用多个视图，常用三视图。

三视图的形成

1.建立三投影体系

用三个互相垂直的平面组成三个投影面，即正面（V表示）、水平面（H表示）、侧面（W表示）。三面的交线称为投影轴，OX轴是V和H面交线，OY轴是H和W面交线，OZ轴是V和W面交线，三轴交于O点。主视图：正立面（V）投影俯视图：水平面（H）投影左视图：侧立面（W）投影2、三视图的形成

三视图需要展平在同一平面上（H面下转90°，W面右转90°）。将空间物体放在三维体系当中，向三面投影，得到三视图。

以主视图为准，俯视图在它的正下方，左视图在它的正右侧，位置固定，不必标注。三视图之间的对应关系1、位置关系

主、俯视图长对正。主、左视图高平齐。俯、左视图宽相等。2、三视图之间的“三等”关系

HVOXYZ点的三面投影Aaa

axa

'

ayaz通常我们用大写字母表示空间的点，相应的小写字母表示其水平投影，小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影。WAHVOXYZaa

axa

'ayazWa

aa

'OXYHZYW点的三面投影图axayazaya

aa

'OXYHZYW点的投影规律axayazay水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴（长对正）；正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴（高平齐）；水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。可得出点的投影特性如下：（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。【例1】已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″解:作图步骤如下二、点的投影与坐标

1．投影与坐标

引入直角坐标的概念，将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。

点A的空间位置可用其直角坐标表示为A(x,y,z),x坐标反映空间点A到W面的距离；y坐标反映空间点A到V面的距离；z坐标反映空间点A到H面的距离。

点的一个投影能反映两个坐标，反之点的两个坐标可确定一个投影。点的投影与直角坐标的关系AHVOXYZaa

axa

'ayazWxzyA点的x坐标＝aay=a'az

A点的y坐标＝aax=a''az

A点的z坐标＝a'ay=a''ay【例】已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。解:作图步骤如下（1）方法一（2）方法二

已知空间点B的坐标为X=12，Y=10，Z=15，也可以写成B（12、10、15）。单位为mm（下同）。求作B点的三投影。1、分析已知空间点的三点坐标，便可作出该点的两个投影，从而作出另一投影。

2、作图①画投影轴，在OX轴上由O点向左量取12，定出bX

，过bX作OX轴的垂线，如图a。②在OZ轴上由O点向上量取15，定出bZ，过bZ作OZ轴垂线，两条线交点即为bˊ，如图b③在bˊbX的延长线上，从bX向下量取10得b；在bˊbZ的延长线上，从bZ向右量取10得b″。或者由bˊ和b用图c所示的方法作出b″。（a）

（b）

（c）由点的坐标作三面投影点与投影面的相对位置有四类：空间点；投影面上的点；投影轴上的点；与原点O重合的点2．特殊位置点的投影（1）投影面上的点（2）投影轴上的点三、两点的相对位置

空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。1、两点的相对位置是指空间两个点的上下、左右、前后关系，在投影图中，是以它们的坐标差来确定的。2、两点的V面投影反映上下、左右关系；两点的H面投影反映左右、前后关系；两点的W面投影反映上下、前后关系。

[例]

已知空间点C（15，8，12），D点在C点的右方7，前方5，下方6。求作D点的三投影。

(xiti)D点在C点的右方和下方，说明D点的X、Z坐标小于C点的X、Z坐标；D点在C点的前方，说明D点的Y坐标大于C点的Y坐标。可根据两点的坐标差作出D点的三投影。（a）（b）（c）（d）图

求作D点的三投影在投影面的重影点H面的重影点W面的重影点V面的重影点3-2直线的投影一、直线投影的概念二、特殊位置直线三、一般位置直线四、无轴投影图一、直线投影的概念

由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。VHXOBAa'b'ab直线的分类直

线一般位置直线特殊位置直线投影面垂直线投影面平行线二、特殊位置直线1.投影面垂直线垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。VWHXYZOAB铅垂线（垂直于H面，同时平行于V、W面的直线）Zb

Xa

b

a(b)OYHYWa

b

a(b)a

a

b

水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平行于OZ轴，且反映实长。VWHXYZOAB正垂线（垂直于V面，同时平行于H、W面的直线）ZX(a

)b

b

aOYHYWa

bba

b

a

b

a正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。VWXYZOABH侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）ba

a

b

ab

YWZXa

(b

)b

aOYHa

b侧面投影积聚为一点；水平投影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。投影面垂直线的投影特性投影面垂直线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且都等于该直线的实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。特殊位置直线2.投影面平行线平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。ABVWHXYZO水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）aa

b

a

bb

Xa

b

a

b

baOZYHYW

水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴

VWHXYZOAB正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）

aa

b

a

b

b正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴

Xa

b

a

b

baOZYHYW

VWHXYZOAB侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）

aa

b

a

b

b侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴

b

XZa

b

baOYHYWa

投影面平行线的投影特性投影面平行线的投影特性可概括如下：（1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且反映对其他两个投影面倾角的实形；（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。ABVWHXYZO三、一般位置直线对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

ZXa

b

aOYHYWa

bb

bb

a

b

aa

一般位置直线的投影特性一般位置直线的投影特性：1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实形。

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。求解一般位置直线的实长及倾角

根据一般位置直线的投影求解其实长及倾角是画法几何综合习题中的常遇见的基本问题之一，也是工程实际中经常需要解决的问题。而用直角三角形法求解实长及倾角最为简便、快捷。XOaba'b'ABaba'b'XOαB0直角三角形法(求直线的实长及对水平投影面的夹角α)mmαABABαmAB0=ab

BB0=AB两点的高度差mabABaba'b'XOβXOaba'b'直角三角形法（求直线的实长及对正立投影面的夹角β）nnnA0BA0=a'b'AA0=AB两点的宽度差nβABa'b'AB直角三角形法

直角三角形法的四要素：投影长、坐标差、实长、倾角。已知四要素中的任意两个，便可确定另外两个。

解题时，直角三角形画在任何位置都不影响解题结果，但用哪个长度来作直角边不能搞错。课堂练习：H1X1O1VXHO四、无轴投影图b1a1ABa'b'baXOX1O1a'b'bab1a1把空间形体向投影面进行正投影时，所得投影图的大小、形状与距离投影面的远近无关。无轴投影图

在工程上，一般只要求投影图能够表达出空间形体的形状和大小，而不需要考虑距投影面的距离，因此，投影轴也就没有了意义，可以不必画出。这种不需要画出投影轴的正投影图就叫做无轴投影图。SB为什么线；SA、SC为什么直线

ABC判断AB、BC、AC为什么线；例题:空间直线位置的判断例题:空间直线位置的判断SB为侧平线；SA、SC为一般位置直线。AB、BC为水平线；AC为侧垂线；3-3平面的投影一、平面的表示方法二、各类平面的投影特性基本要求一、平面的表示法1、用几何元素表示平面用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；相交二直线；平行二直线；任意平面图形。2、平面的迹线表示法平面的迹线为平面与投影面的交线。特殊位置平面可以用在它们所垂直的投影面上的迹线来表示。一、平面的表示方法下列五种方式可表达一平面：（1）不在同一直线上的三个点；（2）一直线和直线外一点；（3）两相交直线；（4）两平行直线；（5）任意平面图形。VXWHYZACB1、用几何元素表示平面b

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

dXXXXXOOOOO2、平面的迹线表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ二、各类平面的投影特性空间平面特殊位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面1.投影面平行面

对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面VXHWYZO水平面的投影特性p'p"p水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZOYHp'p"pP水平面的迹线平面1.无水平迹线PH。2.PV平行OX轴，PW平行OYW轴，有积聚性。VXHWYZO正平面的投影特性正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。pp'p"XYWZOYHpp'p"P正平面的迹线平面1.无正面迹线Qv2.QH平行OX轴，QW平行OZ轴，有积聚性。VXHWZOY侧平面的投影特性pp'p"侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。XYWZYHOpp'p"P侧平面的迹线平面1.无侧面迹线；2.RH平面OYH轴，RV平行OZ轴，有积聚性。总结

投影面平行面的投影特性可概括如下：（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，且分别平行于相应的投影轴。

事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。2.投影面垂直面

垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W