四川省绵阳市第一人民中学高三数学理联考试卷含解析

四川省绵阳市第一人民中学高三数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知全集，，，则等于 A． B． C． D．参考答案：D略2.边长为的三角形的最大角与最小角的和是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A略3.已知函数的最小正周期为，则等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A考点：正弦型函数的性质．4.设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2,x∈R}，则M∩N=

（

）

A．

B．N

C．[1,+∞）

D．M参考答案：B略5.方程在内

A．没有根

B．有且仅有一个根

C．有且仅有两个根

D．有无穷多个根参考答案：C本题考查了函数的性质以及函数图象的应用，难度中等。

因为和都是偶函数，画出两个函数在的图象，由图象可知有一个交点，根据偶函数的特征，在时，还有一个交点，故选C6.已知a＝，则的展开式中的常数项是

A．20

B．－20

C．

D．－参考答案：D略7.函数的最小正周期是，若其图像向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数的图像

（

）A．关于点对称 B．关于直线对称C．关于点对称

D．关于直线对称参考答案：B略8.设向量，，定义一种运算“”。向量.已知，，点的图象上运动，点Q在的图象上运动且满足（其中O为坐标原点），则的最小值为（

）A.

B.

C.2

D.参考答案：B.试题分析：由题意知，点P的坐标为，则，又因为点Q在的图象上运动，所以点Q的坐标满足的解析式，即.所以函数的最小值为-2.故应选B.考点：平面向量的坐标运算.9.容量为20的样本数据，分组后的频数如下表则样本数据落在区间[10,40]的频率为A0.35

B

0.45

C

0.55

D

0.65

2参考答案：B由频率分布表可知：样本数据落在区间内的頻数为2+3+4=9，样本总数为，故样本数据落在区间内频率为.故选B.【点评】本题考查频率分布表的应用，频率的计算.对于頻数、频率等统计问题只需要弄清楚样本总数与各区间上样本的个数即可，用区间上样本的个数除以样本总数就可得到相应区间上的样本频率.来年需注意频率分布直方图与频率分布表的结合考查.10.函数的反函数为

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设函数y=f（x）的定义域为D，如果存在非零常数T，对于任意x∈D，都有f（x+T）=T?f（x），则称函数y=f（x）是“似周期函数”，非零常数T为函数y=f（x）的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：①如果“似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，那么它是周期为2的周期函数；②函数f（x）=x是“似周期函数”；③函数f（x）=2x是“似周期函数”；④如果函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，那么“ω=kπ，k∈Z”．其中是真命题的序号是

．（写出所有满足条件的命题序号）参考答案：①④【考点】抽象函数及其应用．【分析】①由题意知f（x﹣1）=﹣f（x），从而可得f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x）；②由f（x+T）=T?f（x）得x+T=Tx恒成立；从而可判断；③由f（x+T）=T?f（x）得2x+T=T2x恒成立；从而可判断；④由f（x+T）=T?f（x）得cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，从而可得，从而解得．【解答】解：①∵似周期函数”y=f（x）的“似周期”为﹣1，∴f（x﹣1）=﹣f（x），∴f（x﹣2）=﹣f（x﹣1）=f（x），故它是周期为2的周期函数，故正确；②若函数f（x）=x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即x+T=Tx恒成立；故（T﹣1）x=T恒成立，上式不可能恒成立；故错误；③若函数f（x）=2x是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即2x+T=T2x恒成立；故2T=T成立，无解；故错误；④若函数f（x）=cosωx是“似周期函数”，则f（x+T）=T?f（x），即cos（ω（x+T））=Tcosωx恒成立；故cos（ωx+ωT）=Tcosωx恒成立；即cosωxcosωT﹣sinωxsinωT=Tcosωx恒成立，故，故ω=kπ，k∈Z；故正确；故答案为：①④．12.已知（＞0，）是R上的增函数，那么的取值范围是

．参考答案：略13.函数在上恒为正，则实数的取值范围是

．参考答案：14.若则．参考答案：﹣【考点】定积分．【专题】计算题；整体思想；定义法；导数的概念及应用．【分析】两边取定积分，即可得到关于f（x）dx的方程解得即可．【解答】解：两边同时取积分，∴f（x）dx=x2dx+[2f（x）dx]dx，∴f（x）dx=x3|x+[2f（x）dx]x|，∴f（x）dx=+2f（x）dx，∴f（x）dx=﹣故答案为：．【点评】本题考查了定积分的计算；解答本题的关键是两边取定积分，属于基础题．15.一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为________.参考答案：16.不等式组的解集为

▲

参考答案：17.（5分）（2013?广州一模）已知a＞0，a≠1，函数若函数f（x）在[0，2]上的最大值比最小值大，则a的值为．参考答案：或考点：函数最值的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：分0＜a＜1和a＞1时两种情况加以讨论，根据指数函数的单调性和一次函数单调性，并结合分段函数在区间端点处函数值的大小比较，求出函数在[0，2]上的最大值和最小值，由此根据题意建立关于a的方程，解之即得满足条件的实数a的值．解答：解：①当0＜a＜1时，可得在[0，1]上，f（x）=ax是减函数；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数∵f（0）=a0=1＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（0）=1；而f（2）=﹣2+a＜﹣1+a=f（1），所以函数的最小值为f（2）=﹣2+a因此，﹣2+a+=1，解之得a=∈（0，1）符合题意；②当a＞1时，可得在[0，1]上，f（x）=ax是增函数；且在（1，2]上，f（x）=﹣x+a是减函数∵f（1）=a＞﹣1+a，∴函数的最大值为f（1）=a而f（2）=﹣2+a，f（0）=a0=1，可得i）当a∈（1，3]时，﹣2+a＜1，得f（2）=﹣2+a为函数的最小值，因此，﹣2+a+=a矛盾，找不出a的值．ii）当a∈（3，+∞）时，﹣2+a＞1，得f（0）=1为函数的最小值，因此，1+=a，解之得a=∈（3，+∞），符合题意．综上所述，实数a的值为或故答案为：或点评：本题给出含有字母a的分段函数，在已知函数的最大最小值之差的情况下求参数a的值，着重考查了指数函数、一次函数的单调性和分段函数的理解等知识，考查了转化化归和分类讨论的数学思想，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图5，正△的边长为4，是边上的高，分别是和边的中点，现将△沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关

系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由。参考答案：19.（本小题满分12分）一个口袋中有2个白球和个红球（，且），每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球放回袋中），若摸出的两个球颜色相同为中奖，否则为不中奖。（1）试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率P；（2）若，求三次摸球恰有一次中奖的概率；（3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值。参考答案：解：（1）一次摸球从个球中任选两个，有种选法，其中两球颜色相同有种选法；一次摸球中奖的概率............4分（2）若，则一次摸球中奖的概率是，三次摸球是独立重复实验，三次摸球中恰有一次中奖的概率是

................8分（3）设一次摸球中奖的概率是，则三次摸球中恰有一次中奖的概率是，，

在是增函数，在是减函数，

当时，取最大值

................10分

，

，故时，三次摸球中恰有一次中奖的概率最大。..............

12分略20.（本小题满分14分）设函数.（1）若函数在处有极值，求函数的最大值；（2）①是否存在实数，使得关于的不等式在上恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；②证明：不等式参考答案：（1）最大值为；（2）①的取值范围是；②证明见解析．

，不等式的左边，由，则有．这里用到了不等式的放缩法．当时，单调递减所以函数的最大值为（2）①由已知得：（）若，则时，所以在上为减函数在上恒成立；（）若，则时，所以在上为增函数，不能使在上恒成立；（）若，则时，当时，所以在上为增函数，此时又故.考点：用导数研究函数的极值、单调性、最值，不等式恒成立问题，用函数证明不等式．21.

已知数列满足，且，设.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）.

.所以…………13分考点：（1）等比数列的性质；（2）数列求和.【方法点晴】本题主要考查了等比数列的概念，对数的运算以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于，其中和分别为特殊数列，裂项相消发类似于，错位相减法类似于，其中为等差数列，为等比数列等，当数列的通项公式中含有绝对值时，一定要考虑正负，在本题中分为和两种情况，在结合分组求和得解.22.已知．（I）求函数f（x）的最小值；（II）（i）设0＜t＜a，证明：f（a+t）＜f（a﹣t）．（ii）若f（x1）=f（x2），且x1≠x2．证明：x1+x2＞2a．参考答案：考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）确定函数的定义域，并求导函数，确定函数的单调性，可得x=a时，f（x）取得极小值也是最小值；（Ⅱ）（ⅰ）构造函数g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），当0＜t＜a时，求导函数，可知g（t）在（0，a）单调递减，所以g（t）＜g（0）=0，即可证得；（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）单调递减，在（a，+∞）单调递增，不失一般性，设0＜x1＜a＜x2，所以0＜a﹣x1＜a，利用（ⅰ）即可证得结论．解答： （Ⅰ）解：函数的定义域为（0，+∞）．求导数，可得f′（x）=x﹣=．…当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．当x=a时，f（x）取得极小值也是最小值f（a）=a2﹣a2lna．…（Ⅱ）证明：（ⅰ）设g（t）=f（a+t）﹣f（a﹣t），则当0＜t＜a时，g′（t）=f′（a+t）+f′（a﹣t）=a+t﹣+a﹣t﹣=＜0，…所以g（t）在（0，a