山西省忻州市晋昌联校高三数学理联考试题含解析

山西省忻州市晋昌联校高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设p:在内单调递增,q:,则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B2.已知等比数列中，则其前3项的和的取值范围是(

)A.

B.

C.D.参考答案：D略3.现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如下：

则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是(

) A．①④③② B．①④②③

C．④①②③

D．③④②①参考答案：B【知识点】函数的奇偶性B4分析函数的解析式，可得：

①y=x?sinx为偶函数；②y=x?cosx为奇函数；③y=x?|cosx|为奇函数，④y=x?2x为非奇非偶函数且当x＜0时，③y=x?|cosx|≤0恒成立则从左到右图象对应的函数序号应为：①④②③【思路点拨】从左到右依次分析四个图象可知，第一个图象关于Y轴对称，是一个偶函数，第二个图象不关于原点对称，也不关于Y轴对称，是一个非奇非偶函数；第三、四个图象关于原点对称，是奇函数，但第四个图象在Y轴左侧，函数值不大于0，分析四个函数的解析后，即可得到函数的性质，进而得到答案．4.已知抛物线的焦点为F，过点F分别作两条直线，直线与抛物线C交于A，B两点，直线与抛物线C交于M，N点，若与直线的斜率的乘积为－1，则的最小值为（

）A.14 B.16 C.18 D.20参考答案：B【分析】设出直线的斜率，得到的斜率，写出直线的方程，联立直线方程和抛物线方程，根据弦长公式求得的值，进而求得最小值.【详解】抛物线的焦点坐标为，依题意可知斜率存在且不为零，设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以，有，有，，故，同理可求得.故，当且仅当时，等号成立，故最小值为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线和抛物线相交所得弦长公式，考查利用基本不等式求最小值，属于中档题.5.已知集合,,如果,则等于（

）A．

B．

C．或

D．参考答案：C6.已知函数f（x）=x2﹣，则函数y=f（x）的大至图象是（）A． B． C． D．参考答案：A【考点】函数的图象．【专题】作图题．【分析】先求出其定义域，得到{x|x≠0}，根据函数的奇偶性排除B、C两项，再证明当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项，从而可得正确的选项是A．【解答】解：由题意可得，函数的定义域x≠0，并且可得函数为非奇非偶函数，满足f（﹣1）=f（1）=1，可排除B、C两个选项．∵当x＞0时，t==在x=e时，t有最大值为∴函数y=f（x）=x2﹣，当x＞0时满足y=f（x）≥e2﹣＞0，因此，当x＞0时，函数图象恒在x轴上方，排除D选项故选A【点评】本题借助于对数函数和含有绝对值的函数，考查通过对函数的定义域、值域、单调性的研究，利用函数的性质研究出图象的变化规律及图象的位置，属于基础题．7.已知抛物线：，O是坐标原点，点P是抛物线C在第一象限内的一点，若点P到y轴的距离等于点P到抛物线C的焦点的距离的一半，则直线OP的斜率为（

）A. B. C.2 D.3参考答案：C【分析】设出点P的坐标，根据抛物线定义及题设条件，可用p表示点P的坐标，进而求得的斜率。【详解】设点为，则由抛物线的定义知点到抛物线的焦点的距离为，同时由题知这个距离也等于，所以，解得，，于是，故选C.【点睛】本题考查了抛物线的定义及应用，属于基础题。8.曲线f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，则下列说法正确的是（）A．函数f（x）是偶函数且有最大值 B．函数f（x）是偶函数且有最小值C．函数f（x）是奇函数且有最大值 D．函数f（x）是奇函数且有最小值参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数奇偶性的判断．【分析】求导数，利用f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，求出a，n，即可得出结论．【解答】解：∵曲线f（x）=axn，∴f′（x）=naxn﹣1，∵f（x）=axn（a，n∈R）在点（1，2）处的切线方程是y=4x﹣2，∴na=4，a=2，∴n=2，∴f（x）=2x2，∴函数f（x）是偶函数且有最小值0，故选：B．9.已知函数有两个零点，则有（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D略10.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（

）A．

B.

C.

D.参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数(，),有下列命题：①的图象关于y轴对称；②的最小值是2；③在上是减函数，在上是增函数；④没有最大值．其中正确命题的序号是

.(请填上所

有正确命题的序号）参考答案：①④12.已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则m=

参考答案：m

=－4略13.曲线

参考答案：

答案：14.已知随机变量服从正态分布，若，则______．参考答案：试题分析：由正态分布的图象可知,故,故.考点：正态概率分布的运算．15.已知平面向量，的夹角为，||=2，||=1，则|+|=

．参考答案：考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：运用数量积的定义求解得出=||?||cos，结合向量的运算，与模的运算转化：|+|2=（）2=||2+||2+2，代入数据求解即可．解答： 解：∵平面向量，的夹角为，||=2，||=1，∴=||?||cos=2×=﹣1，∴|+|2=（）2=||2+||2+2=4+1﹣2=3，即|+|=．故答案为：．点评：本题考查了平面向量的数量积的运用，应用求解向量的模，计算简单，属于容易题．16.已知复数，则等于

;.参考答案：考点：复数综合运算因为

故答案为：17.已知全集,集合,,则__________.参考答案：{4}三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.几何证明选讲

如图6，AB是⊙O的弦，C、F是⊙O上的点，OC垂直于弦AB，过F点作⊙O的切线交AB的延长线于D，连结CF交AB于E点。

（I）求证：DE2=DB·DA.

（II）若BE=1，DE=2AE，求DF的长.参考答案：略19.已知函数f(x)＝x2＋(a∈R)．(1)若f(x)在x＝1处的切线垂直于直线x－14y＋13＝0，求该点的切线方程，并求此时函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)f′(x)＝2x－，根据题意f′(1)＝2－2a＝－14，解得a＝8，此时切点坐标是(1,17)，故所求的切线方程是y－17＝－14(x－1)，即14x＋y－31＝0.当a＝8时，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)>0，解得x>2，令f′(x)<0，解得x<2且x≠0，故函数f(x)的单调递增区间是(2，＋∞)；单调递减区间是(－∞，0)和(0,2)．(2)f′(x)＝2x－＝.①若a<1，则f′(x)>0在区间[1,2]上恒成立，f(x)在区间[1,2]上单调递增，函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(2)＝4＋a；②若1≤a≤8，则在区间(1，)上f′(x)<0，函数单调递减，在区间(，2)上f′(x)>0，函数单调递增，故函数f(x)在区间[1,2]上的最大值为f(1)，f(2)中的较大者，f(1)－f(2)＝1＋2a－4－a＝a－3，故当1≤a≤3时，函数的最大值为f(2)＝4＋a，当3<a≤8时，函数的最大值为f(1)＝1＋2a；③当a>8时，f′(x)<0在区间[1,2]上恒成立，函数f(x)在区间[1,2]上单调递减，函数的最大值为f(1)＝1＋2a.综上可知，在区间[1,2]上，当a≤3时，函数f(x)max＝4＋a，当a>3时，函数f(x)max＝1＋2a.不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立等价于在区间[1,2]上，f(x)max≤a2－2a＋4，故当a≤3时，4＋a≤a2－2a＋4，即a2－3a≥0，解得a≤0或a＝3；当a>3时，1＋2a≤a2－2a＋4，即a2－4a＋3≥0，解得a>3.

综合知当a≤0或a≥3时，不等式f(x)≤a2－2a＋4对任意的x∈[1,2]恒成立．略20.（本小题满分14分）在正三棱柱中，点是的中点，．（1）求证：∥平面；（2）试在棱上找一点，使．参考答案：（1）证明：连接，交于点,连接.∵、分别是、的中点，∴∥．

………3分∵平面，平面，∴∥平面．

………6分（2）为的中点．

………7分证明如下：∵在正三棱柱中，，∴四边形是正方形．∵为的中点，是的中点，∴，

………9分∴，．又∵，，∴．

………11分∵是正三角形，是的中点，∴．∵平面平面,平面平面，平面，∴平面．∵平面，∴．

………13分∵，∴平面．∵平面，∴．

………14分21.

（14分）已知函数的定义域为。（1）求证：直线（其中）不是函数图像的切线；（2）判断在上单调性，并证明；（3）已知常数满足，求关于的不等式的解集参考答案：解析：（1）

2分当时，；当时，而在连续，∴在上是减函数，又∴函数图像上任意点处切线斜率存在并满足

4分当时，直线斜率不存在，∴直线不是函数图像的切线；当时，直线斜率，则，∴直线不是函数图像的切线

6分已知函数的定义域为。（2）由（1）易知在上是减函数，而，当时