上海新南中学高三数学理月考试题含解析

上海新南中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（

）A．a＞

B．－12＜a≤0

C．－12＜a＜0

D．a≤参考答案：B略2.已知关于x的函数f（x）=x2﹣2，若点（a，b）是区域内的随机点，则函数f（x）在R上有零点的概率为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】几何概型．【分析】根据条件求出函数有零点的取值范围，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解答】解：若函数f（x）在R上有零点，则满足判别式△=4b﹣4a2≥0，即b＞a2区域的面积S==18，由，解得x=2，y=4，即（2，4），则函数f（x）在R上有零点，区域的面积S===，∴根据几何概型的概率公式可知函数f（x）在R上有零点的概率为，故选：B．3.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为（）A．2

B．

C.

D．参考答案：C4.已知F1、F2分别是椭圆：的左、右焦点，若椭圆C上存在点A，满足，则椭圆的离心率取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D5.在区间内随机取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】几何概型．【分析】由1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}代入得出关于参数a的不等式，解之求得a的范围，再由几何的概率模型的知识求出其概率．【解答】解：由题意1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}，故有2+a﹣a2＞0，解得﹣1＜a＜2，由几何概率模型的知识知，总的测度，区间的长度为6，随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}这个事件的测度为3，故区间内随机地取出一个数a，使得1∈{x|2x2+ax﹣a2＞0}的概率为，故选：D．6.已知是两个向量集合，则A．｛〔1，1〕｝

B.｛〔-1，1〕｝

C.｛〔1，0〕｝

D.｛〔0，1〕｝参考答案：A7.已知2sin2α＝1＋cos2α，则tan2α＝（）A. B. C.或0 D.或0参考答案：D试题分析：把的两边平方得，整理可得，即，所以，解得或，当时，；当时，，所以或，故选D.考点：三角函数的基本关系式及三角函数的化简求值.8.执行右面的框图，若输出结果为3，则可输入的实数值的个数为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C本程序为分段函数，当时，由得，，所以。当时，由，得。所以满足条件的有3个，选C.9.已知集合，，若，则下列说法中错误的是………………（

）A．都不大于1

B．至多一个大于1C．至少一个小于1

D．不都小于1参考答案：答案：D10.已知数列{an}的通项公式,则=(

)A.2012

B.2013

C.2014

D.2015参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种

．参考答案：每个城市投资个项目有种，有一个城市投资个有种，投资方案共种．12.若复数，(i为虚数单位)，则＝

。参考答案：513.已知，则的值为 参考答案：略14.在（1+x）?（1+2x）5的展开式中，x4的系数为（用数字作答）参考答案：160【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）?（1+2x）5的展开式中，含x4的项是第一个因式取1和x时，后一个因式应取x4和x3项，求出它们的系数和即可．【解答】解：在（1+x）?（1+2x）5的展开式中：当第一个因式取1时，则后一个因式取含x4的项为24?x4=80x4；当第一个因式取x时，则后一个因式取含x3的项为23?x3=80x3；所以展开式中x4的系数为：80+80=160．故答案为：160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题目．15.口袋中有个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．则取球次数的数学期望为

．参考答案：16.方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：①在R上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是R；④若函数和的图像关于原点对称，则函数的图像就是方程确定的曲线.其中所有正确的命题序号是

.

【知识点】函数的图像与性质参考答案：①②③解析：根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形

从图形中可以看出，关于函数的有下列说法：

①在R上单调递减；正确．

②由于即，从而图形上看，函数的图象与直线没有交点，故函数不存在零点；正确．③函数的值域是R；正确．③函数的值域是R；正确.

④根据曲线关于原点对称的曲线方程的公式，可得若函数和的图象关于原点对称，则用分别代替，可得就是表达式，可得，则的图象对应的方程是，说明④错误

其中正确的个数是3．【思路点拨】根据题意画出方程的曲线即为函数的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数的结论的正确性．17.如右图，在△ABC中，AB=AC=2，BC=，点D在BC

边上，∠ADC=，则AD的长为

参考答案：在△ABC中，因为AB=AC=2，BC=，所以，又∠ADC=，所以∠DAC=，所以CD=AC=2，所以由余弦定理得：，所以AD=。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设角A，B，C是△ABC的三个内角，已知向量m＝(sinA＋sinC，sinB－sinA)，n＝(sinA－sinC，sinB)，且m⊥n.(1)求角C的大小；(2)若向量s＝(0，－1)，t＝，试求|s＋t|的取值范围．参考答案：(1)由题意得m·n＝(sin2A－sin2C)＋(sin2B－sinAsinB)＝0，即sin2C＝sin2A＋sin2B－sinAsinB，由正弦定理得c2＝a2＋b2－ab，再由余弦定理得cosC＝＝．因为0<C<π，所以C＝．(2)因为s＋t＝＝(cosA，cosB)，所以|s＋t|2＝cos2A＋cos2B＝cos2A＋cos2＝＋＝cos2A－sin2A＋1＝－sin＋1.因为0<A<，所以－<2A－<，则－<sin≤1，所以≤|s＋t|2<，故≤|s＋t|<．19.某工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：万元）与日产量x（单位：吨）满足函数关系式C=3+x，每日的销售额S（单位：万元）与日产量x的函数关系式S=，已知每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3．（1）求k的值；（2）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）利用每日的利润L=S﹣C，且当x=2时，L=3，可求k的值；（2）利用分段函数，分别求出相应的最值，即可得出函数的最大值．【解答】解：由题意，每日利润L与日产量x的函数关系式为y=…（1）当x=2时，L=3，即：…∴k=18…（2）当x≥6时，L=11﹣x为单调递减函数，故当x=6时，Lmax=5…当0＜x＜6时，…当且仅当，即x=5时，Lmax=6…（13分）综合上述情况，当日产量为5吨时，日利润达到最大6万元．…（14分）【点评】本题考查函数解析式的确定，考查函数的最值，确定函数的解析式是关键．20.（12分）（2014?黑龙江）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．参考答案：【考点】椭圆的应用．

【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.已知函数f（x）=lnx﹣x，g（x）=ax2﹣a（x+1）（其中a∈R），令h（x）=f（x）﹣g（x）．（1）当a＞0时，求函数y=h（x）的单调区间；（2）当a＜0时，若f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立，求a的最小整数值．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】计算题；分类讨论；分类法；导数的概念及应用．【分析】（1）求导，分别判断导函数在定义域上各区间的符号，可得函数y=h（x）的单调区间；（2）①当﹣=1，即a=﹣1时，f（x）＜g（x）恒成立；②当﹣＞1，即﹣1＜a＜0时，f（x）＜g（x）恒成立；当﹣1＜＜0，即a＜﹣1时，考虑h（﹣a）＜0时，a的取值，进而可得答案．【解答】解：（1）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=（1﹣x）（+a），∵a＞0，∴+a＞0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0；当x＞1时，h′（x）＜0；故函数y=h（x）的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；（2）h（x）=f（x）﹣g（x）=lnx﹣x﹣ax2+a（x+1），h′（x）=﹣1﹣ax+a=，令h′（x）=0，则x=1，x=﹣，①当﹣=1，即a=﹣1时，h′（x）＞0在x∈（0，1）上恒成立，则h（x）在x∈（0，1）上为增函数，h（x）＜h（1）=﹣＜0，∴f（x）＜g（x）恒成立；②当﹣＞1，即﹣1＜a＜0时，h（x）在（0，1）上是增函数，此时0＜﹣a＜1，故h（x）在（0，﹣a）上是增函数，h（x）＜h（﹣a）＜h（1）=﹣1＜0，解得：a＜∴﹣1＜a＜0时，f（x）＜g（x）恒成立；③当﹣1＜＜0，即a＜﹣1时，故h（x）在（0，﹣）上是增函数，在（﹣，1）上是减函数，在（1，﹣a）是增函数；由===＜0，故只需考虑h（﹣a）＜0，∵h（﹣a）==＜0，下面用特殊整数检验，若a=﹣2，则h（2）=ln2+4﹣8=ln2﹣4＜0若a=﹣3，则h（3）=ln3+﹣15=ln3﹣＜0若a=﹣4，则h（4）=ln4+32﹣24=ln4+8＞0令u（x）=，则u′（x）=，当x≤﹣4时，u′（x）＜0恒成立，此时u（x）为减函数，故u（x）≥u（4）＞0再由a≤﹣4时，ln（﹣a）＞0，故a≤﹣4时，h（﹣a）＞0恒成立，综上所述，使f（x）＜g（x）在x∈（0，﹣a）上恒成立的a的最小整数值为﹣3．【点评】本题考查的知识点是导数法求函数的单调区间，恒成立问题，存在性讨论，分类讨论思想，难度较大，属于难题．22.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝x＋lnx，其中a＞0.(1)若x＝1是函数h(x)＝f(x)＋g(x)的极值点，求实数a的值；(2)若对任意的x1，x2∈1，e(e为自然对数的底数)都有f(x1)≥g(x2)成立，求实数a的取值范围．参考答案：(1)∵h(x)＝2x＋＋lnx，其定义域为(0，＋∞)，∴h′(x)＝2－＋，∵x＝1是函数h(x)的极值点，∴h′(1)＝0，即3－a2＝0.∵a＞0，∴a＝．经检验当a＝时，x＝1是函数h(x)的极值点，∴a＝．(2)对任意的x1，x2∈1，e都有f(x1)≥g(x2)成立等价于对任意的x1，x2∈1，e，都有f(x)min≥g(x)max.当x∈1，e时，g′(x)＝1＋＞0.∴函数g(x)＝x＋lnx在1，e上是增函数，∴g(x)max＝g(e)＝e＋1.∵f′(x)＝1－＝，且x∈1，e，a＞0.①当0＜a＜1且x∈1，e时