湖南省衡阳市市中学高一数学理联考试题含解析

湖南省衡阳市市中学高一数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数

的零点所在的区间是（

）A．（0，1）

B．（1，3）

C．（3，4）D．（4，+）参考答案：B略2.中国古代数学名著《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行数里，请公仔细算相还”.其意思为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，请问从第几天开始，走的路程少于30里（

）A.3 B.4 C.5 D.6参考答案：B【分析】由题意知，本题考查等比数列问题，此人每天的步数构成公比为的等比数列，由求和公式可得首项，进而求得答案。【详解】设第一天的步数为，依题意知此人每天的步数构成公比为的等比数列，所以，解得，由，，解得,故选B。【点睛】本题主要考查学生的数学抽象和数学建模能力。3.设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出一列四个命题：

①若，则；

②若，，则；

③若，则；

④若，，则.

其中正确命题的序号是A．①和②

B．②和③

C．③和④

D．①和④参考答案：A4.已知，则

（

）A.

B.

C.

D.

参考答案：C略5.下列说法中，正确的是

（

）A.任何一个集合必有两个子集B.若则中至少有一个为C.任何集合必有一个真子集

D.若为全集，且则参考答案：D略6.若,那么满足的条件是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.若则实数的取值范围是（

）A．；B.；C.；D.参考答案：B8.函数在区间(0,18π)上可找到n个不同数，，……，，使得，则n的最大值等于（

）A．19

B．18

C．17

D．16参考答案：B设=k，则条件等价为f(x)=kx的根的个数，作出函数f(x)和y=kx的图象，由图象可知y=kx与函数f(x)最多有18个交点，即的最大值为18.故选：B.

9.已知函数f(x)=，那么f[f()]=（）A．2 B． C．﹣2 D．﹣参考答案：B【考点】函数的值．【分析】由题意可得f（）==﹣1，然后代入求解f（﹣1）即可【解答】解：∵f（）==﹣1＜0∴f[f（）]=f（﹣1）=故选B10.直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于（

）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°参考答案：C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，若存在当时，则的取值范围是_______________.参考答案：略12.已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则等于________.参考答案：-6试题分析：由成等比数列得考点：等差数列与等比数列性质【思路点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.13.设全集U=R，，则如图中阴影部分表示的集合为．参考答案：[1，2）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A的部分，即A∩（?UB），计算可得集合A与?UB，对其求交集可得答案．【解答】解：根据题意，图中阴影部分表示的区域为只属于A的部分，即A∩（?UB），∵＜0，即x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，故A=（0，2）∵|x+1|＜2，解得﹣3＜x＜1，故B=（﹣3，1），∴?UB=（﹣∞，﹣3]∪[1，+∞）则A∩（?UB）=[1，2），故答案为：[1，2）．14.函数的单调增区间为

．参考答案：(－∞,－2)函数是复合函数，外层是对数形式的，单减，内层是二次求内层的单减区间即可，且要求在定义域内求。内层减区间为。根据同增异减，这就是整个函数的增区间。

15.已知数列中，.设则数列的通项公式为_______

参考答案：略16.函数，给出下列4个命题：①在区间上是减函数；

②直线是函数图像的一条对称轴；③函数f（x）的图像可由函数的图像向左平移而得到；④若，则f（x）的值域是．其中正确命题序号是

。参考答案：①②17.定义在R上的函数f(x)对一切实数x都有f[f(x)]=x,则函数f(x)图象的自身关于对称.参考答案：直线y=x

解析：根据函数的定义,设x为f(x)定义域内的任意一个值,则f(x)为其相应的函数值,即为y,即y=f(x),则有x=(y)①又由已知得f[f(x)]=f(y)=x②

∴由①②知f(x)与其反函数(x)为同一函数,∴函数f(x)的图象自身关于直线y=x对称.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知集合，.（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围.参考答案：（1）时，可以求出集合--------------------2分-------------------5分（2）∵集合，且，所以，--------------8分解之得，即实数的取值范围是.------------10分19.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足c=2，ccosB+（b﹣2a）cosC=0．（1）求角C的大小；（2）求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】HR：余弦定理；HP：正弦定理．【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用正弦定理表示出a，b，进而表示出三角形面积，求出面积最大值即可．【解答】解：（1）已知等式ccosB+（b﹣2a）cosC=0，利用正弦定理化简得：sinCcosB+sinBcosC﹣2sinAcosC=0，即sinCcosB+sinBcosC=2sinAcosC，∴sin（B+C）=sinA=2sinAcosC，∵sinA≠0，∴cosC=，则C=；（2）由正弦定理得====4，∴a=4sinA，b=4sinB，∵A+B=，即B=﹣A，∴S△ABC=absinC=4sinAsinB=4sinAsin（﹣A）=2sin（2A﹣）+，当2A﹣=，即A=时，Smax=3．20.（14分）（2015春?深圳期末）设向量=（a，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，函数f（x）=?cos∠AOB（Ⅰ）当y=f（x）的图象经过点（，2）时，求实数a的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若x为锐角，当sin2x=sin（+α）?sin（﹣α）+时，求△OAB的面积；（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，记函数h（x）=f（x+t）（其中实数t为常数，且0＜t＜π）．若h（x）是偶函数，求t的值．参考答案：考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．

专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得f（x）=?=a（1+sin2x）+cos2x，代点可得a值；（2）由三角函数公式化简可得sin2x=，由x的范围可得x值，可得和的坐标，由夹角公式可得∠AOB的余弦值，进而可得正弦值，由三角形的面积公式可得；（3）可得h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），由偶函数可得2t+=kπ+，结合t的范围可得t值．解答：解：（1）由题意可得f（x）=?cos∠AOB=?=a（1+sin2x）+cos2x∵图象经过点（，2），∴a（1+sin）+cos=2a=2，∴a=1；（2）∵sin2x=sin（+α）?sin（﹣α）+，∴sin2x=sin（+α）cos（+α）+=sin（+2α）+=cos2α+=，∵x为锐角，∴x=，∴=（1，0），=（2，1），∴cos∠AOB=，∴sin∠AOB=，∴△OAB的面积S=×=；（3）可得f（x）=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴h（x）=f（x+t）=1+sin（2x+2t+），∵h（x）是偶函数，∴2t+=kπ+，∴t=+，k∈Z，又∵0＜t＜π，∴t=或．点评：本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及向量的运算和三角形的面积公式，属中档题．21.2019年3月22日是第二十七届“世界水日”，3月22~28日是第三十二届“中国水周”．我国纪念2019年“世界水日”和“中国水周”活动的宣传主题为“坚持节水优先，强化水资源管理”．某中学课题小组抽取A、B两个小区各20户家庭，记录他们4月份的用水量（单位：t）如下表：A小区家庭月用水量(t)612271528182223323525261227152930312324B小区家庭月用水量(t)32171989241226131416518631112512275

（1）根据两组数据完成下面的茎叶图，从茎叶图看，哪个小区居民节水意识更好？A

B

0

1

2

3

（2）从用水量不少于30t的家庭中，A、B两个小区各随机抽取一户，求A小区家庭的用水量低于B小区的概率．参考答案：（1）见解析（2）【分析】（1）根据表格中的数据绘制出茎叶图，并结合茎叶图中数据的分布可比较出两个小区居民节水意识；（2）列举出所有的基本事件，确定所有的基本事件数，然后确定事件“A小区家庭的用水量低于B小区”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出事件“A小区家庭的用水量低于B小区”的概率.【详解】（1）绘制如下茎叶图：由以上茎叶图可以看出，小区月用水量有的叶集中在茎、上，而小区月用水量有的叶集中在茎0、1上，由此可看出小区居民节水意识更好；（2）从用水量不少于的家庭中，、两个小区各随机抽取一户的结果：、、、、、、、，共个基本事件，小区家庭的用水量低于小区的的结果：、、，共个基本事件．所以，小区家庭的用水量低于小区的概率是．【点睛】本题考查茎叶图的绘制与应用，以及利用古典概型计算事件的概率，考查收集数据与处理数据的能力，考查计算能力，属于中等题.22.已知函数(1)求的