湖南省衡阳市衡南第六中学高三数学文联考试卷含解析

湖南省衡阳市衡南第六中学高三数学文联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的取法有

（

）

A．240种

B．180种

C．120种

D．60种参考答案：A2.给出下列命题：(1)已知事件是互斥事件，若，则；(2)已知事件是互相独立事件，若，则(表示事件的对立事件)；(3)的二项展开式中，共有4个有理项．则其中真命题的序号是

(

)．A．(1)、(2)．

B．(1)、(3)．

C．(2)、(3)．

D．(1)、(2)、(3)．参考答案：D3.四面体中，则四面体外接球的表面积为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：A分别取AB,CD的中点E,F，连结相应的线段，由条件可知，球心在上，可以证明为中点，，,所以，球半径，所以外接球的表面积为，选A.4.某单位为了了解办公楼用电量(度)与气温(oC)之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：气温(oC)用电量(度)由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量约为.度

.度 .度

.度参考答案：A试题分析：根据图表，可以求得，所以均值点在回归直线上，求得，将代入求得，故选A.考点：回归直线.5.已知直线和平面，，，，且在内的射影分别为直线和，则和的位置关系是

(

)

A．相交或平行

B。相交或异面

C。平行或异面

D。相交﹑平行或异面参考答案：D略6.已知不等式的解集为，点在直线上，其中，则的最小值为(

)(A)

(B)8

(C)9

(D)12参考答案：C略7.一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为），则该棱锥的体积是

A．

B．

C．

D．

参考答案：A由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面边长为2，底面面积故此三棱锥的体积为，选A.8.下列说法不正确的是A.命题“对,都有”的否定为“,使得”B.“”是“”的必要不充分条件；C.“若，则”是真命题D.甲、乙两位学生参与数学模拟考试,设命题是“甲考试及格”,是“乙考试及格”,则命题“至少有一位学生不及格”可表示为参考答案：D9.函数y＝的图象可能是()图2－4参考答案：B10.已知命题：；命题：，且的一个必要不充分条件是，则a的取值范围是（

）A．[－3,0]

B．(－∞,－3]∪[0,+∞)C．(－3,0)

D．(－∞,－3)∪(0,+∞)参考答案：Ax2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故p：－3≤x≤1；命题q：，故q：。由q的一个必要不充分条件是p，可知q是p的充分不必要条件，故得。故选：A

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为_______________.参考答案：略12.若，则（2x﹣1）n的二项展开式中x2的系数为．参考答案：180【考点】定积分．【分析】由题意，先由积分求n值，再利用二项式系数的性质求出二项式的系数即可得到所求的答案【解答】解：∵，∴n=10．则（2x﹣1）10的二项展开式中，x2的系数为C10222（﹣1）8=180，故答案为180．13.复数满足，则=_________参考答案：略14.某算法的程序框图如右图，若输出的的值为，则正整数的值为

.参考答案：第一次循环，满足条件，;第二次循环，满足条件，;第三次循环，满足条件，;第四次循环，满足条件，;第五次循环，满足条件，第六次循环，不满足条件，输出,所以此时。15.设，若f(x)在x=1处的切线与直线垂直，则实数a的值为

．参考答案：－1；16.中，

参考答案：45°略17.下列命题：①偶函数的图像一定与轴相交；

②定义在上的奇函数必满足；

③既不是奇函数又不是偶函数；④，则为的映射；

⑤在上是减函数.其中真命题的序号是

（把你认为正确的命题的序号都填上）参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，五面体PABCD中，CD⊥平面PAD，ABCD为直角梯形，∠BCD=，PD=BC=CD=AD，AP⊥CD．（Ⅰ）若E为AP的中点，求证：BE∥平面PCD；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的余弦值；（Ⅲ）若点Q在线段PA上，且BQ与平面ABCD所成角为，求CQ的长．参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，CF，证明BE∥CF即可；（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出法向量即可；（Ⅲ）建系同（II）利用向量求解．【解答】解：（Ⅰ）证明：取PD的中点F，连接EF，CF∵E，F分别是PA，PD的中点，∴EF∥AD且；∵，BC∥AD，∴EF∥BC且EF=BC；∴BE∥CF．又BE?平面PCD，CF?平面PCD，∴BE∥平面PCD．（Ⅱ）（方法一）以P为坐标原点，PD，PA所在直线分别为x轴和y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，，．…设平面PAB的一个法向量为n=（x，y，z），则从而令x=2，得n=（2，0，﹣1）．…同理可求平面ABD的一个法向量为．…．平面ABD和平面ABC为同一个平面，所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…

（方法二）以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴和z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设BC=1，则，C（0，0，1），B（1，0，1），，…设平面PAB的一个法向量为=（x，y，z），则，，令，得x=z=1，即．…易求平面ABC的一个法向量为．…．所以二面角P﹣AB﹣C的余弦值为．…（Ⅲ）（方法一）建系同（II）（方法一），设Q（0，x，0），由（II）知平面ABCD的一个法向量为，；…若BQ与平面ABCD所成的角为，则==sin解得，所以Q（0，，0），，．…（方法二）建系同（II）（方法二），设，则，，由（II）知平面ABCD的一个法向量为．…若BQ与平面ABCD所成的角为，则．解得，则，从而…19.（本小题满分14分）某种商品的成本为5元/件，开始按8元/件销售，销售量为50件，为了获得最大利润，商家先后采取了提价与降价两种措施进行试销。经试销发现：销售价每上涨1元每天销售量就减少10件；而降价后，日销售量Q（件）与实际销售价x（元）满足关系：

（1）求总利润（利润＝销售额－成本）y（元）与销售价x（件）的函数关系式；（2）试问：当实际销售价为多少元时，总利润最大.参考答案：（1）据题意的

（2）由（1）得：当时，当时，，为增函数当时，为减函数当时，

当时，当时，当时，

综上知：当时，总利润最大，最大值为195

20.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）设表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知参考答案：若时，有6种情况┉7分若分别在和内时，共有12种情况.┉┉┉9分

21.(本小题满分12分如图1，在中，,且∥，将沿折起到的位置，使，如图2．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求与平面所成角的正弦值.参考答案：（1）DE，DE//BC，BC

(2分)又，AD

(4分)(2)以D为原点，分别以为x,y,z轴的正方向，建立空间直角坐标系D-xyz

(5分)在直角梯形CDEB中，过E作EFBC，EF=2，BF=1，BC=3

(6分)B（3，0，-2）E（2，0，0）C（0，0，-2）A1（0，4，0）

(8分)

(9分)设平面A1BC的法向量为

令y=1,

(10分)设BE与平面A1BC所成角为，

(12分)22.（本小题满分12分）已知数列满足=0且是的等差中项，是数列的前项和.(1)求的通项公式；（2）若，，求使成立的正整数n的最小值．参考答案：解：（Ⅰ）∵an+1-2an=0，即an+1=2an，

∴数列{an}是以2为公比的等比数列．

∵a3+2是a2，a4的等差中项，∴a2+a4=2a3+4，则2a1+8a1=8a1+4，即a1=2，

∴数列{an}的通项公式an=2n；

………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）及bn=-anlog2an得，bn=-n?2n，

∵Sn=b1+b2+…+bn，

∴Sn=-2-2?22-3?23-4?24-n?2n①

∴2Sn=-22-2?23-3?24-4?25