重庆南桐中学高三数学理下学期期末试卷含解析

重庆南桐中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高（cm）、体重（kg）数据，得到体重关于身高的回归方程=0.85x﹣85，用来刻画回归效果的相关指数R2=0.6，则下列说法正确的是（）A．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C．身高为170cm的学生体重一定为59.5kgD．这些女学生的身高每增加0.85cm，其体重约增加1kg参考答案：B【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程=0.85x﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2=0.6，判断这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，计算x=170时的即可预测结果，计算身高每增加0.85cm时体重约增加0.85×0.85=0.7225kg．【解答】解：根据回归方程=0.85x﹣85，且刻画回归效果的相关指数R2=0.6，所以，这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起，B正确；x=170时，=0.85×170﹣85=59.5，预测身高为170cm的学生体重为59.5kg，C错误；这些女学生的身高每增加0.85cm，其体重约增加0.85×0.85=0.7225kg，D错误．故选：B．2.若向量=（2，﹣1），=（3﹣x，2），=（4，x）满足（6﹣）?=8，则x等于（）A．4 B．5 C．6 D．7参考答案：D【考点】平面向量数量积的运算．【分析】先计算6﹣的坐标，再根据6﹣）?=8列方程解出x．【解答】解：6=（9+x，﹣8），∴（6﹣）?=4（9+x）﹣8x=36﹣4x=8，∴x=7．故选D．3.记复数z的虚部为，已知z满足，则为（）A.－1 B.－i C.2 D.2i参考答案：A【分析】根据复数除法运算求得，从而可得虚部.【详解】由得：

本题正确选项：【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到的形式.4.已知点是直线上的动点，点为圆上的动点，则的最小值为（

）Ａ.

Ｂ.

Ｃ.

Ｄ.

参考答案：C5.函数的图象是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：C函数的定义域为且，选C．6.如图，从点发出的光线，沿平行于抛物线的对称轴方向射向此抛物线上的点，经抛物线反射后，穿过焦点射向抛物线上的点，再经抛物线反射后射向直线上的点，经直线反射后又回到点，则等于(

) A．

B．

C． D．参考答案：B7.已知直线与曲线相切(其中为自然对数的底数)，则实数的值是（

）A．

B．1

C．2

D．参考答案：B8.函数y=的反函数是------------------------（

）（A）（B）（C）（D）参考答案：B【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关函数与分析的基本知识.【知识内容】函数与分析/指数函数和对数函数/反函数.【试题分析】当时，，所以；当时，，所以，故答案为B.9.设集合，集合，则A∩B等于

(

)A.(0,2) B.(0,2] C.(－∞,2] D.R参考答案：B【分析】首先求得集合A,B，然后求解其交集即可.【详解】求解函数的值域可得，求解指数不等式可得，由交集的定义可得：，表示为区间形式即.本题选择B选项.【点睛】本题主要考查集合的表示方法，交集的定义与运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.函数的图象大致是A.

B. C.

D.参考答案：C由题意，，排除A；，，，排除B；增大时，指数函数的增长速度大于幂函数的增长速度，排除D，故选C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.从1，2，3，4中选取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率为__________．参考答案：.【分析】列举出从1,2,3,4中选取两个不同数字组成的全部两位数，数出能被3整除的两位数的个数，利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解．【详解】从1,2,3,4中选取两个不同的数字组成的所有两位数为：，共计12个基本事件，其中能被3整除的有：，共有4个基本事件，所以这个两位数能被3整除的概率为．【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，列举出基本事件的总数，再得出所有事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．12.已知不等式的解集为，则

，且的值为

.参考答案：4，4.13.若，则()6的展开式中常数项为

.参考答案：24014.展开式中不含项的系数的和为

.参考答案：015.(坐标系与参数方程选做题)已知圆的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，则直线与圆的交点的直角坐标为

.

参考答案：（1，2）16.

已知函数f（x）=，给出下列命题：①f（x）必是偶函数；

②当f（0）=f（2）时f（x）的图象必关于直线x=1对称；③若，则f（x）在区间[a，+）上是增函数；④f（x）有最大值。其中正确命题的序号是 。参考答案：答案：③17.已知双曲线的渐近线与圆有公共点，则该双曲线离心率的取值范围是__________.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b（a＞0）．（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=x﹣1，求实数a，b的值；（2）在（1）的b下，当a≥2时，讨论函数f（x）的零点的个数．参考答案：【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；54：根的存在性及根的个数判断．【分析】（1）求出函数f（x）的导数，由已知切线的方程可得f（1）=0，f′（1）=1，解方程可得a，b的值；（2）求出f（x）的导数，并分解因式，讨论a=2，a＞2，判断导数的符号，求得单调区间，由f（1）=0，运用构造函数法，求出导数，判断单调性，即可得到所求结论．解：（1）函数f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+b的导数为f′（x）=2ax﹣（a+2）+，可得函数f（x）在x=1处的切线斜率为k=2a﹣a﹣2+1=a﹣1，由切线方程y=x﹣1，可得a﹣1=1，解得a=2；由f（1）=a﹣a﹣2+0+b=0，解得b=2．（2）f（x）=ax2﹣（a+2）x+lnx+2（x＞0，a≥2），导数为f′（x）=2ax﹣（a+2）+==，当a=2时，f′（x）≥0在（0，+∞）恒成立，f（x）在（0，+∞）递增，由f（1）=a﹣a﹣2+0+2=0，可得f（x）此时有一个零点；当a＞2，即0＜＜时，由f′（x）＞0可得x＞或0＜x＜；由f′（x）＜0可得＜x＜．即有f（x）的增区间为（0，），（，+∞），减区间为（，），由f（1）=0，可得f（x）在（，+∞）有且只有一个零点，且f（）＜0．f（）=1﹣lna﹣，设g（x）=1﹣﹣lnx（x＞2），g′（x）=＜0（x＞2），可得g（x）在（2，+∞）递减，可得g（x）＜g（2）=1﹣﹣ln2=ln＜0，于是f（）＜0，f（x）在（0，）无零点，故a＞2时，f（x）有且只有一个零点．综上可得，a≥2时，f（x）有且只有一个零点．19.已知函数f（x）=﹣lnx+ax2+（1﹣a）x+2．（Ⅰ）当0＜x＜1时，试比较f（1+x）与f（1﹣x）的大小；（Ⅱ）若斜率为k的直线与y=f（x）的图象交于不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点的横坐标为x0，证明：f′（x0）＞k．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【专题】导数的综合应用．【分析】（1）利用作差法得出f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，构造函数令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，通过求导，判断函数单调性，得出结论．（2）求出k和f'（x0），利用分析法得出只需证＜ln，构造函数h（t）=+lnt，利用导数判断单调性证得2＜+lnt．【解答】解：（1）f（1+x）﹣f（1﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x令g（x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）+2x，∴g′（x）=∵0＜x＜1，g′（x）＜0，g（x）单调递减∴g（x）＜g（0）=0．∴f（1+x）＜f（1﹣x）；（2）不妨设x2＞x1k==﹣+a（x2+x1）+1﹣af'（x0）=﹣+ax0+1﹣a=﹣+a（x1+x2）+1﹣a要证f′（x0）＞k只需证＜即证＜ln令t=

t＞1∴＜lnt即2＜+lnt令h（t）=+lnt∴h'（t）=＞0，h（t）递增∴h（t）＞h（1）=2∴2＜+lnt成立故f′（x0）＞k．【点评】考察了作差比较法和导函数判断函数单调性；难点是构造函数，通过函数单调性证明问题．20.已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[﹣2，﹣1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）求出函数的导数，利用切线的斜率，以及函数值得到，即可求a，b的值；（Ⅱ）x∈[﹣2，﹣1]，f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，推出k的表达式，构造函数求解函数的导数，利用新函数的单调性求出区间上的最值，即可求k的取值范围．【解答】解：（I）f'（x）=ex（ax+a+b）+2x+2…依题意，，即，解得．…（II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：ex（x+1）≥k（2x+1）．∵x∈[﹣2，﹣1]时，2x+1＜0，∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即ex（x+1）≥k（2x+1）恒成立，当且仅当…设，由g'（x）=0得…当；当∴上的最大值为：…所以常数k的取值范围为…【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．21.(本小题满分10分)已知直线的参数方程为（其中t为参数），曲线：，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同长度单位。(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)在曲线上是否存在一点，使点到直线的距离最大?若存在，求出距离最大值及点.若不存在，请说明理由。参考答案：(1)（1）:

：

……5分（2）由题意可知(其中为参数)

……6分

到得距离为

……7分，

……8分此时，，

……9分，

即.

……10分22.一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元．设该公司一个月内生产该小型产品万件并全部销售完，每万件的销