2024年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项有一项是符合题目要求的）1．（3分）2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1（）A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣12．（3分）如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．3．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（）A． B． C． D．4．（3分）下列运算一定正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a7 C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．a8÷a6＝a25．（3分）如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，如果∠A＝40°，则∠ACH＝（）A．50° B．110° C．40° D．160°6．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝07．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五，盈十八，人数，若每人出5钱，还差45钱，还多18钱，问合伙人数，羊价为y钱，则可列方程组（）A． B． C． D．8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．k＞0 B．y随x增大而增大 C．x＝4时，y＝0 D．x＞0时，y＞29．（3分）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）A．5cm B．4.5cm C．6.5cm D．8cm10．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连结CD．若AB＝8，AC＝4（）A．9 B．10 C．11 D．12二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为．12．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我、国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是．13．（3分）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，则C点坐标为．14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，它的对角线OB与双曲线y＝，若OD：OB＝1：，则矩形OABC的面积为．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E是AB边的中点，将∠A沿直线EF折叠，使点A落在点A′处．当△A′BC为等腰三角形时．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝2．17．（8分）“阳光”中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，为了扩大学生阅读量，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？18．（9分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝，b＝，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？19．（8分）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）第3分钟时消毒效果为效力；（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？20．（8分）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD交⊙O于点E，且C为弧BE的中点（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AF＝12，求⊙O的半径．22．（12分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，竖直高度总是比出手点B高出1米．已知OB＝m米，排球场的边界点A到O点的水平距离OA＝15米，且．（1）当m＝1.5时，求排球运动路径的抛物线解析式；（2）当m＝1.5时，排球能否越过球网？如果过网是否会出界？请说明理由；（3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个标志牌MQ，QM⊥x轴于M，2的路径在下落过程中恰好碰到点Q，则点M到点O的距离为米．23．（12分）【方法探究】（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，探究AC，AB；小明同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题：方法1：如图2，在AC上截取AE，使得AE＝AB，可以得到全等三角形，进而得到AC＝AB+BD．方法2：如图3，延长AB到点E，使得BE＝BD，可以得到等腰三角形，进而也得到AC＝AB+BD．请你选择其中一种方法的解题思路，写出证明过程．【迁移应用】（2）如图4，在△ABC中，D是BC上一点，AD⊥BC于D，探究BD，CD之间的数量关系，并证明．【拓展延伸】（3）如图5，点P为△ABC内一点，连接PA，PC，PA平分∠BAC，∠BPA＝150°，，，，求S△PBC的面积．

2024年辽宁省大连市中山区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项有一项是符合题目要求的）1．（3分）2024年3月1日，大连市内4个时刻的气温（单位：℃）分别为﹣4，0，1（）A．﹣4 B．0 C．1 D．﹣1【解答】解：|﹣4|＝4，|﹣8|＝1，∵4＞6，∴﹣4＜﹣1，∵正数大于7，0大于负数，∴﹣4＜﹣4＜0＜1，∴最小的数是﹣4，∴最低的气温是﹣4℃，故选：A．2．（3分）如图是由几个小正方体组成的几何体，它的左视图是（）A． B． C． D．【解答】解：从左边看，是一列3个小正方形．故选：A．3．（3分）随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志（）A． B． C． D．【解答】解：选项A、C、D不能找到这样的一个点，所以它们不是中心对称图形；选项B能找到这样的一个点，使这个图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合；故选：B．4．（3分）下列运算一定正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．（a3）4＝a7 C．（﹣3a2）3＝﹣9a6 D．a8÷a6＝a2【解答】解：A、a2•a3＝a4，原计算错误，不符合题意；B、（a3）4＝a12，原计算错误，不符合题意；C、（﹣8a2）3＝﹣27a2，原计算错误，不符合题意；D、a8÷a6＝a5，正确，符合题意．故选：D．5．（3分）如图所示，直线EF∥GH，射线AC分别交直线EF、GH于点B和点C，如果∠A＝40°，则∠ACH＝（）A．50° B．110° C．40° D．160°【解答】解：∵AD⊥EF，∠A＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠A﹣∠ADB＝180°﹣40°﹣90°＝50°，∵EF∥GH，∴∠ACH＝∠ABD＝50°．故选：A．6．（3分）下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．x2+1＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2+2x+3＝0 D．x2+2x﹣3＝0【解答】解：A、x2+1＝6中Δ＜0，没有实数根；B、x2+5x+1＝0中Δ＝5，有两个相等的实数根；C、x2+2x+6＝0中Δ＜0，没有实数根；D、x8+2x﹣3＝3中Δ＞0，有两个不相等的实数根．故选：D．7．（3分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五，盈十八，人数，若每人出5钱，还差45钱，还多18钱，问合伙人数，羊价为y钱，则可列方程组（）A． B． C． D．【解答】解：根据题意，得，故选：B．8．（3分）一次函数y＝kx+b的图象如图所示，下列结论正确的是（）A．k＞0 B．y随x增大而增大 C．x＝4时，y＝0 D．x＞0时，y＞2【解答】解：如图所示：A、图象经过第一、二，则k＜0；B、k＜0，故此选项不符合题意；C、图象与x轴交于点（6，故x＝4时，故此选项符合题意；D、观察图象，y＜2；故选：C．9．（3分）两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因，图1是小孔成像实验图，AB∥CD，若点O到AB的距离为10cm，蜡烛火焰AB的高度是3cm，则蜡烛火焰倒立的像CD的高度是（）A．5cm B．4.5cm C．6.5cm D．8cm【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABO∽△CDO，又∵点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，∴，又∵AB＝3cm，∴CD＝4.4cm，故选：B．10．（3分）如图，在△ABC中，AB＞AC，大于BC一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N，连结CD．若AB＝8，AC＝4（）A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：根据作图过程可知：MN是线段BC的垂直平分线，∴CD＝BD，∴△ACD的周长为：AC+CD+AD＝AC+BD+AD＝AC+AB＝4+8＝12．故选：D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）刘慈欣科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约42000000光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字42000000用科学记数法表示为4.2×107．【解答】解：42000000＝4.2×107．故答案为：4.2×104．12．（3分）中国古代数学有着辉煌的成就，《周髀算经》《算学启蒙》《测圆海镜》《四元玉鉴》是我、国古代数学的重要文献．某中学拟从这4部数学名著中选择1部作为校本课程“数学文化”的学习内容，恰好选中《算学启蒙》的概率是．【解答】解：根据题意，恰好选中《算学启蒙》的概率为．故答案为：．13．（3分）如图，以▱ABCD对角线的交点O为原点，平行于BC边的直线为x轴，则C点坐标为．【解答】解：∵▱ABCD对角线的交点O为原点，∴▱ABCD的A点和C点关于点O中心对称，∵A点坐标为（﹣1，），∴点C的坐标为（3，﹣），故答案为：（1，﹣）．14．（3分）如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x、y的正半轴上，它的对角线OB与双曲线y＝，若OD：OB＝1：，则矩形OABC的面积为12．【解答】解：过点D作x轴的垂线，垂足为M，∵点D在反比例函数的图象上，∴设点D的坐标为（m，），则OM＝m，DM＝．∵DM⊥x轴，BA⊥x轴，∴DM∥AB，∴△ODM∽△OBA，∴，则AB＝，OA＝，∴．故答案为：12．15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E是AB边的中点，将∠A沿直线EF折叠，使点A落在点A′处．当△A′BC为等腰三角形时或．【解答】解：由题意BE＝EA＝EA′＝，∴BA′＜6+1，∴BA′≠BC，只要分两种情形讨论即可：①如图1中，当BC＝A′C＝时．∵CE＝CE，BC＝A′C，∴△BCE≌△A′CE（SSS），∴∠CBE＝∠CA′E＝90°，∵∠A＝∠FA′E＝90°，∴∠CA′E+∠FA′E＝180°，∴C、A′，设AF＝x，则DF＝，CF＝，在Rt△CDF中，（）2+（﹣x）7＝（+x）2，解得x＝，∴AF＝；②如图2中，当点F在AD中点时，满足条件AD＝．综上所述，满足条件的CF的长为或，故答案为：或．三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）（1）计算：；（2）先化简，再求值：，其中x＝2．【解答】解：（1）＝﹣1+4﹣2+5＝3﹣2；（2）＝﹣＝﹣＝＝﹣，当x＝2时，原式＝﹣．17．（8分）“阳光”中学为了方便学生课外阅读，去年购买了一批图书．其中科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购买的科普书与用800元购买的文学书数量相等．（1）求去年购买的文学书和科普书的单价各是多少元？（2）若今年文学书的单价比去年提高了25%，科普书的单价与去年相同，为了扩大学生阅读量，且购买文学书和科普书的总费用不超过2100元，这所中学今年至少要购买多少本文学书？【解答】解：（1）设去年文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据题意得：，解得：x＝2，经检验，x＝8是原方程的解，∴x+4＝12，答：去年文学书的单价是8元，科普书的单价是12元；（2）设这所学校今年购买y本文学书，则购买科普书（200﹣y）本，根据题意得：8（1+25%）y+12（200﹣y）≤2100，解得：y≥150，∴y最小值是150，答：这所中学今年至少要购买150本文学书．18．（9分）某中学为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝9，b＝10，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若该校七、八年级共有900人参加本次知识竞赛，且规定9分及9分以上的成绩为优秀，请估计该校七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？【解答】解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，∴a＝9，∵八年级A等级人数最多，∴b＝10，七年级成绩C等级人数为：25﹣7﹣12﹣5＝2（人），七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：故答案为：6，10；（2）七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．（3），答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有540人．19．（8分）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段为渐消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）第3分钟时消毒效果为0.9效力；（2）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；（3）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？【解答】解：（1）设线段AB所在直线的解析式为y＝kx，∵经过（10，3），∴10k＝3，解得：k＝，∴解析式为y＝x，当x＝3时，y＝，故答案为：0.9．（2）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，把（10，4）和（30，解得：，∴BC段的函数解析式为y＝（5≤x≤30），设CD段的函数解析式为，把（30，∴m＝180，∴CD段的函数解析式为（x≥30）；（2）把y＝4分别代入和，和x＝45，∵，∴本次消毒有效．20．（8分）小王同学学习了锐角三角函数后，通过观察广场的台阶与信号塔之间的相对位置，他认为利用台阶的可测数据与在点A，可以求出信号塔DE的高．如图，AB的长为5m，在点B处测得点D的仰角为38.7°．A，B，C，D，E在同一平面内．你认为小王同学能求出信号塔DE的高吗？若能，请求出信号塔DE的高；若不能（参考数据：sin38.7°≈0.625，cos38.7°≈0.780，tan38.7°≈0.80，结果保留整数）【解答】解：能，过B作BF⊥DE于F，则EF＝BC＝3m，BF＝CE，在Rt△ABC中，∵AB＝5m，∴AC＝＝4（m），在Rt△ADE中，∵∠DAE＝45°，∴AE＝DE，设AE＝DE＝xm，∴BF＝（7+x）m，DF＝（x﹣3）m，在Rt△BDF中，tan38.7°＝，解得x＝31，∴DE＝31m，答：信号塔DE的高为31m．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD交⊙O于点E，且C为弧BE的中点（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）F为⊙O上一点，连接AF，若AF∥CD，AF＝12，求⊙O的半径．【解答】（1）证明：如图，连OC，∵C为弧BE的中点，∴BC＝CE，∴∠EAC＝∠CAB，∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∴∠EAC＝∠ACO，∴OC∥AD，∴∠OCD+∠D＝180°，∵AD⊥CD，∴∠D＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD，∵OC为⊙O的半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：如图，延长CO交AF于G点，∵AF∥CD，∴∠CGF＝∠OCD＝90°∴OG⊥AF，，∵AC＝10，∴，在Rt△AOG中，根据勾股定理得：OG2+AG2＝OA3，设半径为r，则OG＝CG﹣OC＝8﹣r，∴（8﹣r）8+62＝r5，∴∴⊙O的半径为．22．（12分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的B处发出．球每次出手后的运动路径都是形状相同的抛物线，竖直高度总是比出手点B高出1米．已知OB＝m米，排球场的边界点A到O点的水平距离OA＝15米，且．（1）当m＝1.5时，求排球运动路径的抛物线解析式；（2）当m＝1.5时，排球能否越过球网？如果过网是否会出界？请说明理由；（3）若该运动员调整起跳高度，使球在点A处落地，此时形成的抛物线记为L1，球落地后立即向右弹起，形成另一条与L1形状相同的抛物线L2，且此时排球运行的最大高度为1米，球场外有一个标志牌MQ，QM⊥x轴于M，2的路径在下落过程中恰好碰到点Q，则点M到点O的距离为20米．【解答】解：（1）∵抛物线的最高点C到y轴总是保持5米的水平距离，竖直高度总是比出手点B高出1米，∴C（6，m+1），当m＝1.6时，则C（5，B（0，∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+2.8，∴将点B（0，1.5）代入2+2.2，解得：，∴抛物线的表达式为；（2）球能越过球网，球不会出界由（1）知，当m＝1.5时，∵OA＝15米，，∴OE＝7.5（米），∵球网EF高度为8.2米，∴F（7.7，2.2），当x＝8.5时，，∵2.25＞2.6，∴球能越过球网，当y＝0时，，解得：，，则点，∵，∴球不会出界；（3）设抛物线L2的表达式为：y＝﹣（x﹣h）2+1，将点A（15，4）代入上式得：0＝﹣3+1，解得：h＝10（舍去）或20，则抛物线L2的表达式为：y＝﹣（x﹣20）2+1，当y＝时，即＝﹣2+7，解得：x＝（米）（不合体有的值已舍去），即故答案为：20．23．（12分）【方法探究】（1）如图1，在△ABC中，AD平分∠B