2023-2024学年上海格致中学高一数学下学期期中考试卷附答案解析

-2024学年上海格致中学高一数学下学期期中考试卷（测试90分钟内完成，总分100分）2024.4一、填空题：（本题共有12个小题，每小题4分，满分48分）1．不等式的解集为．2．函数的最小正周期是，则.3．已知集合，，且．则实数的取值范围为．4．已知向量，，则在的方向上的数量投影为．5．若，则的最小值是．6．已知向量的夹角为，，若，则实数x的值为．7．已知α为锐角，且cos(α＋)＝，则sinα＝．8．函数，R的单调递增区间为9．已知函数（）是偶函数，则的最小值是．10．已知方程在上有实数解，则实数的取值范围是．11．已知菱形ABCD的边长为2，，点E，F分在边BC，CD上，，．若，则的最小值为．12．设，函数.若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是.二、选择题：（本题共有4个小题，每小题4分，满分16分）13．在中，是为等腰三角形的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度15．已知实数，若函数满足：当时，恒成立，则可取值的个数为（

）A．4 B．3 C．2 D．116．在给出的下列命题中，是假命题的是A．设是同一平面上的四个不同的点，若，则点必共线B．若向量是平面上的两个不平行的向量，则平面上的任一向量都可以表示为，且表示方法是唯一的C．已知平面向量满足，且，则是等边三角形D．在平面上的所有向量中，不存在这样的四个互不相等的非零向量，使得其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直三、解答题：（本题共有4大题，满分36分．解题时要有必要的解题步骤）17．已知为坐标原点，向量，，，若，，三点共线，且，求实数，的值．18．如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点在单位圆上，（），，四边形的面积为．(1)求的最大值及此时的值；(2)设点的坐标为，，在（1）的条件下，求的值．19．在中，角所对的边分别为，且(1)若成等比数列，求角的大小；(2)若，且，求的面积．20．已知函数，其中．(1)若，求的对称中心；(2)若，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有8个零点，求的最小值；(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数a的取值范围．1．或【分析】由题可得，进而即得.【详解】由，得，所以或，故不等式得解集为或．故答案为：或．2．2【分析】根据周期的计算公式，代入周期即可得到的值.【详解】因为，所以.故答案为.【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.知道其中一个量即可求解另一个量.3．【分析】利用建立不等关系，求解即可.【详解】因为，所以，解得.故答案为：4．##【分析】利用数量投影的定义可求答案.【详解】向量，，在的方向上的数量投影为.故答案为：5．3【分析】，利用基本不等式可得最值．【详解】∵，∴，当且仅当即时取等号，∴时取得最小值3.故答案为：3．6．3【分析】根据得到，然后结合平面向量的数量积的概念以及运算律得到，解方程即可.【详解】因为，则，所以，，，，解得，故答案为：3.7．【详解】．点睛：本题考查三角恒等关系的应用．本题中整体思想的应用，将转化成，然后正弦的和差展开后，求得，代入计算即可．本题关键就是考查三角函数中的整体思想应用，遵循角度统一原则．8．，【详解】因为,∴单调递增区间为，【点睛】函数的性质(1).(2)周期(3)由求对称轴(4)由求增区间;由求减区间9．##【分析】利用三角函数的性质即可求解.【详解】因为函数是偶函数，所以，解得，又，所以当时，的最小值是.故答案为：.10．【分析】先化简函数结合其值域可求答案.【详解】，因为，所以，，，所以，即.故答案为：11．【分析】由题意画出图形，把用表示，最后转化为含有，的代数式，再结合及基本不等式求得的最小值．【详解】解：如图，，，且，，．由题意可得，，，，，则，（当且仅当时等号成立），的最小值为．故答案为：．12．.【分析】利用在上单调递增可得，函数与的图象有三个交点，可转化为方程在上有两个不同的实数根可得答案.【详解】当时，，因为在上单调递增，所以，解得，又函数与的图象有三个交点，所以在上函数与的图象有两个交点，即方程在上有两个不同的实数根，即方程在上有两个不同的实数根，所以，解得，当时，令，由时，，当时，，此时，，结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，综上所述，.故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程在上有两个不同的实数根.13．A【详解】因为中，，则A=B，那么为等腰三角形，反之，不一定成立，故是为等腰三角形的充分不必要条件，选A14．D【分析】根据三角函数图象的变换法则即可求出．【详解】因为，所以把函数图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选：D.

15．C【分析】把的取值逐个代入检验可得答案.【详解】当时，若恒成立，则，即，由于，所以恒成立，此时符合题意；当时，若恒成立，则，即，由于，所以恒成立，此时符合题意；当时，若恒成立，则，即，由于，所以不成立，此时不符合题意；当时，若，则，不满足，不合题意.故选：C16．D【详解】由则点必共线，故A正确；由平面向量基本定理可知B正确；由可知为的外心，由可知为的重心，故为的中心，即是等边三角形，故C正确；存在四个向量（1，0），（0，1），（2，0），（0，-2）其中任意两个向量的和向量与余下两个向量的和向量相互垂直,D错误故选D.17．或【分析】根据已知条件及向量的线性运算，利用向量平行的条件即可求解.【详解】因为向量，，，所以，,因为，，三点共线，所以平行，所以，即，将代入中，得或.18．(1)最大值是，此时.(2)【分析】（1）根据三角函数定义可得点坐标，根据向量数量积可得，根据向量加法几何意义得四边形为平行四边形，可得求解析式，根据配角公式将函数化为基本三角函数形式，最后根据正弦函数性质求最大值以及对应自变量；（2）由三角函数定义可得的正切值，结合两角和的正切公式可得．【详解】（1）由题意知的坐标分别为，．，.由题意可知.，.所以，故时，的最大值是，此时.（2），，..19．(1)(2)【分析】（1）根据题意，利用数量积的定义化简得到，再由余弦定理得到，结合，求得，即可求解；（2）由（1）知，根据题意，利用正弦定理可得，联立方程组求得的值，结合余弦定理求得，得到，利用面积公式，即可求解.【详解】（1）因为，根据向量的数量积的定义，可得，由余弦定理可得，整理得，因为成等比数列，所以，解得所以为等边三角形，所以.（2）解：由（1）知，又由，根据正弦定理可得，联立方程组，解得，因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以的面积为.20．(1)(2)(3)【分析】（1）利用倍角公式化简函数解析式，由已知确定最小正周期，可得，整体代入法求的对称中心；（2）由图象平移变换得到函数，结合和，得，根据的零点个数可得，要使最小，则恰好为的零点，由此求的最小值；（3）根据已知，在上，的值域是值域的子集，求出这两个值域，由包含关系构造不等式示结果.【详解】（1）函数，若，则与是相邻的最小值点和最大值点，的最小正周期为，由，解得，得，令，解得，此时，所以的对称中心为.（2），，，所以或解得或，又，得，所以，函数最小正周期，令，即，解得或，若在上