高中数学第二章圆锥曲线与方程4抛物线2抛物线的简单几何性质（3）课件新人教A版选修

人教版选修2-1第二章

圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质1．知识与技能能根据抛物线的方程推导它的几何性质．2．过程与方法能应用抛物线的性质解决有关问题归纳，对比四种方程表示的抛物线几何性质的异同．学习目标本节重点：抛物线的几何性质．本节难点：抛物线几何性质的运用．1．抛物线与椭圆、双曲线的重要区别是：只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线，没有中心和渐近线．2．不能把抛物线看作是双曲线的一支．虽然两者都是沿开口方向越来越远离对称轴，但抛物线却越来越接近于对称轴的平行线．3．为了简化解题过程，有时可根据抛物线方程的特征利用参数表示抛物线上动点的坐标，有时还可以利用抛物线的对称性避免分类讨论．

4．在抛物线的几何性质中，应用最广泛的是范围、对称性、顶点坐标，在解题时，应先注意开口方向、焦点位置，选准标准形式，然后运用条件求解．5．要注意运用数形结合思想，根据抛物线的定义，将抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相互转化．6．在求解直线与抛物线的位置关系的问题时，要注意运用函数与方程思想，将位置关系问题转化为方程根的问题．1．范围因为p>0，由方程y2＝2px(p>0)可知，这条抛物线上任意一点M的坐标(x，y)满足等式．所以这条抛物线在y轴的

侧；当x的值增大时，|y|也

，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸，它开口 ．2．对称性以－y代y，方程y2＝2px(p>0)不变，因此这条抛物线是以x轴为对称轴的轴对称图形，抛物线的对称轴叫做抛物线的 ．3．顶点抛物线和它的轴的交点叫做抛物线的

发

．在方程y2＝2px(p>0)中，当y＝0时，x＝0，因此这条抛物线的顶点就是 ．右增大越开阔轴顶点坐标原点新知导入4．离心率抛物线上的点与焦点和准线的距离的比，叫做抛物线的

，用e表示，按照抛物线的定义，e＝

.离心率1[例2]正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[解析]如图，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且它们坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2，题型探究一.抛物线的对称性[点评]本题利用了抛物线与正三角形有公共对称轴这一性质，但往往会直观上承认而忽略了它的证明．[例3]求过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦长的最小值．二.抛物线焦点弦问题解法二：如图所示，设焦点弦AB的中点为E，分别过A，E，B作准线l的垂线，垂足为D，H，C，由抛物线定义知|AD|＝|AF|，|BC|＝|BF|，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AD|＋|BC|＝2|EH|.由图可知|HE|≥|GF|，当且仅当AB与x轴垂直时，|HE|＝|GF|，即|AB|min＝2|GF|＝2p.[点评]解法一运用了弦长公式；解法二运用了抛物线的几何意义，由此题我们可以得出一个结论：过抛物线焦点的所有弦中，通径最短(当过焦点的弦垂直于x轴时，此弦为抛物线的通径)，但值得注意的是，若弦长小于通径，则此弦不可能过焦点．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．变式训练(2)在抛物线上求一点P，使P到直线x－y＋3＝0的距离最短，并求出距离的最小值．三.抛物线中的最值问题[分析]由题目可获取以下主要信息：①已知抛物线的标准方程．②求抛物线上的一点到其他元素的距离的最值，解答本题时一是可找到表示最值的目标函数；二是可分析最值对应的数学元素的意义．[点评]有关抛物线的最值问题，主要有两种解决思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，以几何意义解决之，二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，获得有关距离的含变量的代数关系式，以目标函数最值的求法解决之．[答案]

C当堂测试[答案]

B3．顶点在原点、坐标轴为对称轴的抛物线，过点(－1,2)，则它的方程是 (

)A．y＝2x2或y2＝－4xB．y2＝－4x或x2＝2yC．x2＝－yD．y2＝－4x[答案]

A[解析]∵抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，∴抛物线的方程为标准形式．当抛物线的焦点在x轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为y2＝－2px(p>0)．∴22＝－2p(－1)．∴p＝2.∴抛物线的方程为y2＝－4x.当抛物线的焦点在y轴上时，∵抛物线过点(－1,2)，∴设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)．4．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 (

)A．8 B．16C．32 D．61[答案]

B[解析]由抛物线y2＝8x的焦点为(2