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文档简介
绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷(新高考新题型)03数学(考试时间:120分钟试卷满分:150分)2023年的对于三视图的考察也将近有尾声,留意的是立体几何中对圆锥的考察(侧面积的计算也会成一个热点)。其他的题目难度变化不大,但侧重于考察学生运算能力与分析能力。应特别注意新高考函数位于第一大题的位置,其难度有所下降,函数中多研究含参讨论单调性及恒成立存在问题,新高考概率位于第二大题的位置,概率中多研究条件概率、古典概率问题,同时注重圆锥曲线常规联立及二级结论(推导)第I卷(选择题)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的。1.已知学生的数学和地理成绩具有线性相关关系,高三某次模考中,5名学生的数学和地理成绩如下表:学生的编号i12345数学成绩x100105908580地理成绩y75■686462现已知其线性回归方程为,则“■”代表该生的地理成绩为(
)A.76 B.74.85 C.73 D.72.5【答案】A【解析】,所以■.故选:A2.已知点是的重心,则(
)A. B.C. D.【答案】D【解析】设的中点为D,连接,点是的重心,则P在上,且,由此可知A,B,C错误,D正确,故选:D3.在等比数列中,,则(
)A.-4 B.8 C.-16 D.16【答案】C【解析】设等比数列的公比为,则,即,.故选:C.4.下列说法中正确的是(
)A.没有公共点的两条直线是异面直线B.若两条直线a,b与平面α所成的角相等,则C.若平面α,β,γ满足,,则D.已知a,b是不同的直线,α,β是不同的平面.若,,,则【答案】D【解析】对A,没有公共点的两条直线是异面直线或平行直线,故A错误;对B,若两条直线a,b与平面α所成的角相等,则a,b可以平行、相交或异面,故B错误;对C,若平面α,β,γ满足,,则α,γ不一定垂直,故C错误;对D,两个平面垂直等价于这两个平面的垂线垂直,故D正确.故选:D.5.一支由12人组成的登山队准备向一座海拔5888米的山峰攀登,这12人中姓赵、钱、孙、李、周、吴的各有2人.现准备从这12人中随机挑选4人组成先遣队,如果这4人中恰有2人同姓,则不同的挑选方法的种数为(
)A.480 B.270 C.240 D.60【答案】C【解析】方法一:先在12人中挑选同姓的2人,方法有(种),然后在剩余的10人中,挑选不是同姓的2人,方法有(种),所以不同的挑选方法的种数是.方法二:先在12人中挑选同姓的2人,方法有(种),然后在剩余的10人中,挑选不是同姓的2人,方法有(种),所以不同的挑选方法的种数是.故选;C6.已知函数,若不等式在上恒成立,则实数的取值范围是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】由于函数,定义域为R,满足,得是奇函数,且在R上为减函数.在上恒成立,在上恒成立,在上恒成立,在上恒成立.令,则,当时,,当时,,故在上单调递减,在上单调递增,,即a的取值范围为,故选:D.7.已知,则的值为(
)A. B.1 C.4 D.【答案】C【解析】在中,而,由二项式定理知展开式的通项为,令,解得,令,,故,同理令,解得,令,解得,故,故.故选:C8.已知分别是椭圆的左、右焦点,过点作x轴的垂线与椭圆C在第一象限的交点为P,若的平分线经过椭圆C的下顶点,则椭圆C的离心率的平方为(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】
设,将代入椭圆方程,易得,则.记椭圆C的下顶点为,则的斜率,∴直线的方程为,令得直线与x轴的交点为,则,又,,即,,得(舍去负值),.故选:D.二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.用“五点法”作函数(,,)在一个周期内的图象时,列表计算了部分数据,下列有关函数描述正确的是(
)0xabc131d1A.函数的最小正周期是B.函数的图象关于点对称C.函数的图象关于直线对称D.函数与表示同一函数【答案】ACD【解析】根据表格可知,且,则,由正弦函数的周期性可知的最小正周期为,故A正确;由已知结合正弦函数的对称性可知:,显然此时取得最小值,所以的图象不关于点对称,故B错误;由已知结合正弦函数的对称性可知:,此时取得最大值,所以的图象关于直线对称,故C正确;由诱导公式可知,故D正确.故选:ACD10.若复数,则(
)A.的共轭复数 B.C.复数的虚部为D.复数在复平面内对应的点在第四象限【答案】ABD【解析】,则,故正确;,故正确;复数的虚部为,故错误;复数在复平面内对应的点为,在第四象限,故正确.故选:ABD11.已知函数与其导函数的定义域均为,且和都是奇函数,且,则下列说法正确的有(
)A.关于对称 B.关于对称C.是周期函数 D.【答案】ACD【解析】因为为奇函数,所以,所以,即,所以的图象关于直线对称.故A正确;因为为奇函数,则其图象关于对称,向左平移一个单位后得到的图象,则的图象关于对称,故B错误;因为为奇函数,则,则有,所以①,又,则②,由①②,则,则,,则,所以8是函数的一个周期.,是周期函数,故C正确;因为,,所以,,所以,故D正确,故选:ACD.第II卷(非选择题)三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合与集合,求集合【答案】【解析】由题意,,所以.故答案为:.13.已知抛物线的焦点为,第一象限的、两点在抛物线上,且满足,.若线段中点的纵坐标为4,则抛物线的方程为.【答案】【解析】设,因为,所以,所以,又因为,所以,因为都在第一象限,所以,又因为且,所以,所以,所以抛物线方程为,故答案为:.14.如图,在棱长为2的正方体中,均为所在棱的中点,则下列结论正确的序号是.
①棱上一定存在点,使得;②三棱锥的外接球的表面积为;③过点作正方体的截面,则截面面积为;④设点在平面内,且平面,则与所成角的余弦值的最大值为.【答案】②③④【解析】对于①,以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示空间直角坐标系,则由已知,,,设棱上一点,则,,若,则,整理得,即,无实数解,∴棱上不存在点,使得,故①错误;对于②,如图,分别取棱,,,的中点,,,,由已知,,易知棱柱为长方体,其外接球的直径为,外接球表面积,∵三棱锥的顶点均在长方体的外接球上,故该球也是三棱锥的外接球,∴三棱锥的外接球的表面积为,故②正确;对于③,如图所示,过点作正方体的截面是边长为的正六边形,其可分成六个全等的,边长为的等边三角形,面积,故③正确;对于④,由①中所建立空间直角坐标系,,,,,,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,,∴,设平面内一点,则,∵平面,∴,即,又∵,∴与所成角的余弦值为,其中,,∴,即当且仅当时,与所成角的余弦值的最大值为,故④正确.故答案为:②③④.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(13分)已知函数在时取得极值.(1)求实数的值;(2)若对于任意的,恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】(1)易知,依题意,解得,此时,当或时,;当时,,即函数在,上单调递增,在上单调递减,因此函数在时取得极值,所以.(2)由(1)得函数在上单调递减,在上单调递增;所以,由题意可得,解得,所以的取值范围为.16.(15分)2023年12月11日至12日中央经济工作会议在北京举行,会议再次强调要提振新能源汽车消费.发展新能源汽车是我国从“汽车大国”迈向“汽车强国”的必由之路.我国某地一座新能源汽车工厂对线下的成品车要经过多项检测,检测合格后方可销售,其中关键的两项测试分别为碰撞测试和续航测试,测试的结果只有三种等次:优秀、良好、合格,优秀可得5分、良好可得3分、合格可得1分,该型号新能源汽车在碰撞测试中结果为优秀的概率为,良好的概率为;在续航测试中结果为优秀的概率为,良好的概率为,两项测试相互独立,互不影响,该型号新能源汽车两项测试得分之和记为.(1)求该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率;(2)求离散型随机变量的分布列与期望.【答案】(1)(2)分布列见解析,数学期望为【解析】(1)记事件为“该型号新能源汽车参加碰撞测试的得分为分”,则,,.记事件为“该型号新能源汽车参加续航测试的得分为分”,则,,.记事件为“该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格”,则,则该型号新能源汽车参加两项测试仅有一次为合格的概率为.(2)由题知离散型随机变量的所有可能取值分别为2,4,6,8,10,,,,,,则离散型随机变量的分布列为246810所以数学期望.17.(15分)如图,直四棱柱的底面为平行四边形,分别为的中点.(1)证明:平面;(2)若底面为矩形,,异面直线与所成角的余弦值为,求到平面的距离.【答案】(1)证明见解析(2).【解析】(1)连接,交于点,连接,
则为的中点,因为为的中点,所以,且,因为为的中点,所以,所以,且,所以四边形为平行四边形,所以,又因为平面平面,所以平面.(2)由题意(1)及几何知识得,在直四棱柱中,,两两垂直,以为坐标原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系.
设,则,,.设异面直线与所成角为,则,解得:,故,则设平面的一个法向量为,到平面的距离为.所以即取,得.所以,即到平面的距离为.18.(17分)已知椭圆的离心率为,点在椭圆上,过点的两条直线,分别与椭圆交于另一点A,B,且直线,,的斜率满足.(1)求椭圆的方程;(2)证明直线过定点;(3)椭圆C的焦点分别为,,求凸四边形面积的取值范围.【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】(1)由题设得,解得,所以的方程为;(2)由题意可设,设,,由,整理得,.由韦达定理得,,由得,即,整理得,因为,得,解得或,时,直线过定点,不合题意,舍去;时,满足,所以直线过定点.(3))由(2)得直线,所以,由,整理得,,由题意得,因为,所以,所以,令,,所以,在上单调递减,所以的范围是.
19.(17分)已知,,…,是由()个整数,,…,按任意次序排列而成的数列,数列满足()
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