2024新高考新题型数学信息必刷押题卷信息必刷卷01（解析版）

绝密★启用前2024年高考考前信息必刷卷（新高考新题型）01数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）全国新高考卷的题型会有所调整，考试题型为8（单选题）＋3（多选题）＋3（填空题）＋5（解答题），其中最后一道试题是新高考地区新增加的题型，主要涉及整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块，以解答题的方式进行考查。2023年全国新高考地区解答题中，结构中规中矩。但预测2024年新高考地区将以结构不良型方式整除与算术基本定理、同余与著名数论定理、高阶等差数列与线性递推数列、函数迭代与数列不动点、函数方程、多项式理论与代数基本定理、常用不等式、矩阵与变换、极点极线与射影几何、曲线系模块中的一个，出现在19题的可能性较大，难度中等偏上，例如本卷第19题。第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．某车间有两条生产线分别生产号和号两种型号的电池，总产量为个．质检人员采用分层抽样的方法随机抽取了一个样本容量为的样本进行质量检测，已知样本中号电池有个，则估计号电池的产量为（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【解析】依题意样本中号电池有（个），所以估计号电池的产量为（个）.故选：D2．如图所示，四边形是正方形，分别，的中点，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以，所以，所以，.故选：D.3．已知为等差数列的前n项和，，则（

）A．60 B．120 C．180 D．240【答案】B【解析】因为数列为等差数列，所以，所以，所以．故选：B.4．设是两个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为假命题的是（

）A．若，则或B．若，则C．若，且，则D．若，则【答案】D【解析】对于A项，因，设,在平面过点作直线，过点作直线，则，由可得，，故垂直于由直线和直线组成的平面，由过一点有且只有一个平面与已知直线垂直的性质可知，故有或，故A项正确；对于B项，如图，，设，由，则，同理，设构成平面，则，设,则，故得,故，B项正确；对于C项，如图，因，，则；又，则，故得：，故C项正确；对于D项，如图，取平面为平面，平面为平面，取为，为，因平面，平面,则，又,平面，故平面，因平面，故,即，但与不垂直，故D项错误.故选：D.5．第19届亚运会于2023年9月28日至10月8日在杭州举行，本届亚运会的吉祥物是一组名为“江南忆”的机器人：“琮琮”“莲莲”和“宸宸”，分别代表世界遗产良渚古城遗址、西湖和京杭大运河．某同学买了6个不同的吉祥物，其中“琮琮”“莲莲”和“宸宸”各2个，现将这6个吉祥物排成一排，且名称相同的两个吉祥物相邻，则排法种数共为（

）A．48 B．24 C．12 D．6【答案】A【解析】由题意，因名称相同的两个吉祥物相邻，分别看成一个元素共有种排法，相邻元素内部再排共有种排法，故共有种排法，故选：A．6．已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意知方程恰有2个不同的实数根．设，则直线与函数的图象恰有2个不同的交点，因为，当时，，当时，，在区间上单调递增，在区间上单调递减，，当时，，当时，，当时，，∴可以作出的大致图象，如图所示，

易知直线过定点，当直线与函数的图象相切时，设切点为，则，解得或，当直线与函数的图象相切时，或，数形结合可知，实数a的取值范围为.故选：D．7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意进行类比，在空间任取一点，则平面法向量为，故选：A．8．已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】不妨设内切圆与三边切点分别为P，Q，R，所以，点A在双曲线上，，又，，，点B在双曲线上，，，，设内切圆圆心为I，连接，如图所示，，，即，为等边三角形，，在由余弦定理得：，即：，.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数的部分图象如图所示，则（

）A．的最小正周期为B．当时，的值域为C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称【答案】AD【解析】由函数图象可知，，的最小正周期为，A选项正确；，，，则，由，得，所以.当时，，，的值域为，B选项错误；将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象，C选项错误；将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数的图象，，函数的图象关于点对称，D选项正确.故选：AD10．已知是两个虚数，则下列结论中正确的是（

）A．若，则与均为实数 B．若与均为实数，则C．若均为纯虚数，则为实数 D．若为实数，则均为纯虚数【答案】ABC【解析】设，．，．若，则，，所以，，所以A正确；若与均为实数，则，且，又，，所以，所以B正确；若，均为纯虚数，则，所以，所以C正确；取，，则为实数，但，不是纯虚数，所以D错误．故选：ABC．11．已知函数在上可导且，其导函数满足：，则下列结论正确的是（

）A．函数有且仅有两个零点B．函数有且仅有三个零点C．当时，不等式恒成立D．在上的值域为【答案】AC【解析】令，则，故（为常数），又，故可得，故，.对A：令，即，解的或，故有两个零点，A正确；对B：，则，令，可得，故在和单调递增；令，可得，故在单调递减；又，，又，故存在，使得；又，故存在，使得；又当时，，故不存在，使得；综上所述，有两个根，也即有个零点，故B错误；对C：，即，，当时，，上式等价于，令，故可得，故在上单调递增，，满足题意；当时，，也满足；综上所述，当时，恒成立，故C正确；对D：由B可知，在单调递减，在单调递增，且，，故在上的值域为，D错误.故选：AC.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知集合，若，则的最小值为．【答案】【解析】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值为.故答案为：.13．已知M，N是抛物线上两点，焦点为F，抛物线上一点到焦点F的距离为，下列说法正确的是．（把所有正确结论的编号都填上）①；②若，则直线MN恒过定点；③若的外接圆与抛物线C的准线相切，则该圆的半径为；④若，则直线MN的斜率为．【答案】①④【解析】对于①：根据抛物线的定义得，解得，所以抛物线，，故①正确；因为直线MN，OM，ON的斜率必存在，设直线MN的方程为，，，联立方程，相切y得，则，，，因为，所以，解得，满足，所以直线MN恒过定点，故②错误；对于③：因为线段OF的垂直平分线，可知外接圆圆心的纵坐标为，所以外接圆半径为，故③错误；对于④：因为，可知直线MN过焦点F，且，设直线MN的倾斜角为，不妨设M在第一象限，如图，过点M，N分别向准线作垂线段MA，NB，过点N向MA作垂线段NC，设，则，，，则，，，，所以直线MN的斜率为，故④正确．故答案为：①④.14．如图，在正方体，中，，分别为线段，上的动点.给出下列四个结论:

①存在点，存在点，满足∥平面；②任意点，存在点，满足∥平面；③任意点，存在点，满足；④任意点，存在点，满足.其中所有正确结论的序号是.【答案】①③【解析】对①，当，分别为，的中点时，取中点，连接，则根据中位线的性质可得，又平面，平面，故平面，同理平面，又，平面，故平面平面.又平面，故平面.故①正确.

对②，当在时，∥平面不成立，故②错误；对③④，以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，.设，，则，其中，故，则当时，即.故对任意的，存在满足条件，即任意点，存在点，满足.故③正确；当，即在点时，若，则，不满足，即不在上，故④错误.

故答案为：①③四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数.(1)当时，求的单调区间；(2)对，恒成立，求a的取值范围.【答案】(1)递增区间为；(2).【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得，令，求导得，当时，，当时，，则函数在上递减，在上递增，，即，，当且仅当时取等号，所以函数在上单调递增，即函数的递增区间为.（2）依题意，，则，由（1）知，当时，恒成立，当时，，，则，因此；当时，求导得，令，求导得，当时，，则函数，即在上单调递减，当时，，因此函数在上单调递减，当时，，不符合题意，所以a的取值范围是.16．（15分）我国老龄化时代已经到来，老龄人口比例越来越大，出现很多社会问题．2015年10月，中国共产党第十八届中央委员会第五次全体会议公报指出：坚持计划生育基本国策，积极开展应对人口老龄化行动，实施全面二孩政策．随着国家二孩政策的全面放开，为了调查一线城市和非一线城市的二孩生育意愿，某机构用简单随机抽样方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．非一线一线总计愿生40y60不愿生x2240总计5842100(1)求x和y的值．(2)分析调查数据，是否有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”？(3)在以上二孩生育意愿中按分层抽样的方法，抽取6名育龄妇女，再选取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市的概率．参考公式：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)(2)有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”(3)【解析】（1）由题意得，；（2）由，得，∴有以上的把握认为“生育意愿与城市级别有关”．（3）抽取6名育龄妇女，来自一线城市的人数为，记为1，2，来自非一线城市的人数为，记为a，b，c，d，选设事件A为“取两名参加育儿知识讲座，求至少有一名来自一线城市”，基本事件为：，，事件共有9个，或17．（15分）在直角梯形中，，，，如图（1）．把沿翻折，使得平面平面．

(1)求证：；(2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在，【解析】（1）因为，且，可得，，又因为，可得，所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）因为平面，且平面，所以，如图所示，以点为原点，建立空间直角坐标系，可得，，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，可得，所以，假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去），所以在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时．

18．（17分）已知椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上异于顶点的一动点，的角平分线分别交轴、轴于点．(1)若，求；(2)求证：为定值；(3)当面积取到最大值时，求点的横坐标．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【解析】（1）由已知得，则．所以当时，；（2）设，在中，是的角平分线，所以，由（1）知，同理，即，解得，所以，过作轴于．所以．（3）记面积的面积为，由（1）可得，，其中，则，当时，单调递增；当时，单调递减．所以当时，最大．19．（17分）已知数列为有穷正整数数列.若数列A满足如下两个性质，则称数列A为m的k减数列：①；②对于，使得的正整数对有k个.(1)写出所有4的1减数列；(2)若存在m的6减数列，证明：；(3)若存在2024的k减数列，求k的最大值.【答案】(1)数列和数列3，1(2)证明见解析(3)的最大值为512072【解析】（1）由题意得，则或，故所有4的1减数列有数列和数列3，1.（2）因为对于，使得的正整数对有个，且存在的6减数列，所以，得.①当时，因为存在的6减数列，所以数列中各项均不相同，所以.②当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.若，满足要求的数列中有四项为1，一项为2，所以，不符合题意，所以.③当时，因为存在的6减数列，所以数列各项中必有不同的项，所以.综上所述，若存在的6减数列，则.（3）若数列中的每一项都