2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年广东省深圳市名校联考高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数2ii−A.1−i B.−1+i 2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若sinA=6A.22 B.43 C.3.如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC的斜二测直观图，△A′B′

A.2 B.22 C.4 4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=21，b=A.π6 B.5π6 C.π5.已知|OA|=2，|OB|=6，且OA.−32OB B.36.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，直线A1CA.A，M，O三点确定一个平面 B.A，M，O三点共线

C.D，D1，O，M四点共面 D.A，B1，B，7.如图，平行四边形ABCD中，M是BC中点，N是CD上靠近点D的三等分点，若AB=

A.−95 B.−35 C.8.已知四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，Q为AD的中点，点M在棱PA.14 B.13 C.12二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法正确的有(

)A.若a与b是单位向量，则a⋅b=1

B.若非零向量a与b是相反向量，则|a|=|b|

C.|a⋅b|≤10.△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3aA.π6 B.π3 C.π211.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA.若PD=3，则满足条件的P点不唯一

B.若PD=3，则点P的轨迹是一段圆弧

C.若PD/​/平面ACB1，则DP的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶、石瓢壶、潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(其他因素忽略不计)，如图给了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的侧面积约为______cm213.设x∈R，向量a=(x,1)，b=(3,−314.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，M是边BC边上一点，∠BAM=30°，四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知复数z=a−i(i为虚数单位，a∈R)，且z(1+i)是纯虚数．16.(本小题15分)

已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a⋅(a−b)=1．17.(本小题15分)

已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的外接圆半径为R，且RsinA+bcosA=18.(本小题17分)

如图，正三棱柱ABC−A1B1C1中，E、F、G分别为棱AB、BC、B1C1的中点．

(1)证明：B19.(本小题17分)

重庆是我国著名的“火炉”城市之一，如图，重庆某避暑山庄O为吸引游客，准备在门前两条小路OA和OB之间修建一处弓形花园，使之有着类似“冰淇淋”般的凉爽感，已知∠AOB=π4，弓形花园的弦长AB=22，记弓形花园的顶点为M，∠MAB=∠MBA=π4，设∠O

答案和解析1.【答案】A

【解析】解：2ii−1=2i(−1−i)(i2.【答案】B

【解析】解：由正弦定理得asinA=bsinB，

因为sinA=643.【答案】B

【解析】解：把△ABC的斜二测直观图还原出原图形，因为△A′B′C′为等腰直角三角形，且A′B′=2，

所以AB=A′B′=24.【答案】C

【解析】解：由余弦定理知cosA=b2+c2−a22bc=165.【答案】D

【解析】解：由题意得AB⋅OB=(OB−OA)⋅OB=OB2−O6.【答案】B

【解析】解：根据题意，连接A1C1，AC，则A1C1/​/AC，∴A1，C1，C，A四点共面，

∴A1C⊂平面ACC1A1，∵M∈A1C，∴M∈平面ACC1A1，

又M∈平面AB1D1，∴M在平面ACC1A1与平面AB17.【答案】D

【解析】解：因为AB=AM+MB=AM+12DA=AM+12(DN+NA)=AM8.【答案】C

【解析】解：如图，连接AC，记AC∩BQ=N，连接MN，

∵底面ABCD为平行四边形，

∴ANNC=AQBC=12，

∵PA/​/平面MQB，PA⊂平面PAC，平面P9.【答案】BC【解析】解：a与b是单位向量且方向不同时，a⋅b≠1，A错误；

根据相反向量的定义可知，a与b方向相反且两个向量模相等，即|a|=|b|，B正确；

|a⋅b|=|a||b||cos〈a,b〉|≤|a||b|，C正确；

若b为零向量，10.【答案】AC【解析】解：因为sinB=sin2A，所以sinB=2sinAcosA，

由正弦定理可得b=2acosA，又b=3a，所以cosA=32，

因为0<A<π，11.【答案】BC【解析】解：作出正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的图形，如图所示：

对于A：∵正四棱柱ABCD−A1B1C1D1的底面边长为2，侧棱AA1=1，

∴B1D1=22，B1D=(22)2+12=3，

∴B1与P重合时，PD=3，此时P点唯一，故A错误；

对于B：如图，以D1为原点建立平面直角坐标系，设P(x,y)，

∵PD=3，∴P12.【答案】16【解析】解：根据题意，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图为该圆台的轴截面，

上底面半径为r′=62=3，下底面半径为r=102=5，高h=4，

则该圆台的母线长为16+13.【答案】3

[【解析】解：空1：因为a⊥b，所以a⋅b=0，即3x−3=0，得x=3；

空2：由题知|ta+b|2=t2a2+b2+2ta⋅b=4t2+1214.【答案】4【解析】解：根据题意，可得S△ABM+S△ACM=S△ABC，

所以12AB⋅AMsinπ6+12AM⋅15.【答案】解：(1)∵z=a−i(a∈R)，且z(1+i)是纯虚数，

∴(a−i)(1+i【解析】(1)把z=a−i(a∈R)代入z(1+i)，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解a值，则z16.【答案】解：(1)因为|a|=2，|b|=1，a⋅(a−b)=1，设<a,b>=θ，

所以a⋅(a−b)=a【解析】(1)利用向量的数量积性质及运算规律即可求解．

(2)由17.【答案】解：(1)由题知RsinA+2RsinBcosA=2RsinC，

所以sinA+2sinBcosA=2sinC．

又C=π−(A+B)，

所以sinA+2sinBcosA=2s【解析】(1)由RsinA+bcosA=c，利用正弦定理得到Rsi18.【答案】解：(1)证明：取AC的中点M，连接EM、GM，

在△ABC中，由于E、M分别为AB、AC的中点，

则EM/​/BC且EM=12BC，

又由G为B1C1的中点，B1C1/​/BC，则有B1G//BC且B1G=12BC，

故有B1G//EM且B1G=EM，

四边形EMGB1为平行四边形，必有B1E//GM，

又由MG//EM，B1E⊄平面ACG，所以有BE//平面ACG；

(2)【解析】(1)根据题意，取AC的中点M，连接EM、GM，由中位线的性质分析可得B1G//EM且B1G=EM，由此可得四边形E