2023-2024学年重庆市长寿中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市长寿中学高二（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线ax−by−1=0与曲线yA.23 B.−23 C.12.曲线f(x)=x3A.y=−3x−1 B.y3.已知函数f(x)=f′(πA.26 B.24 C.4.函数f(x)=13A.−158≤a≤−34 B.−1585.如图，用四种不同的颜色给图中的A，B，C，D，E.F六个点涂色，求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同的颜色，则不同的涂色方法共有(

)A.360种

B.264种

C.192种

D.144种6.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊，多次为祖国赢得了荣誉.现有5支救援队前往A，B，C等3个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，其中甲救援队只能去B，C两个数点中的一个，则不同的安排方法数是(

)A.72 B.84 C.88 D.1007.在(x3−2A.28 B.−28 C.−56 8.设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为110，115，120，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为A.0.08 B.0.1 C.0.15 D.0.2二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设随机变量ξ的分布列如下：

ξ12345678910paaaaaaaaaa则下列正确的是

(

)A.当an为等差数列时，a5+a6=15

B.数列an的通项公式可以为an=109nn+10.已知(2x+1x)nA.n=8 B.展开式中x2项的系数为560

C.展开式中系数的最大的项仅为179211.已知函数f(x)满足xf′(x)A.f(2)=ln2+1 B.x=2是函数f(x三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.定义方程f(x)=f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”．

(1)若f(x)=lnx+x13.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名学生分别担任语文、数学、英语、物理、化学学科的科代表，要求甲不当语文科代表，乙不当数学科代表，若丙当物理科代表，则丁必须当化学科代表，则不同的选法共有______种.14.已知函数f(x)=x3−2x,x四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球．

(1)从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有2个红球的概率；

(2)先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是16.(本小题15分)

已知二项式(x−2x−2)n．

(1)若展开式中第二项系数与第四项系数之比为17.(本小题15分)

已知f(x)=x3−2x−a．

(1)若a=0，求曲线f(x)18.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+x2−3b，曲线y=f(x)在点(1,f(19.(本小题17分)

已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2−10x的一个极值点．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为y′=3x2，所以切线的斜率k=3×1=3，

而直线ax−by−1=0的斜率k=a2.【答案】C

【解析】解：由f(x)=x3+1，得f(−1)=−1+1=0，f′(x)=3x23.【答案】A

【解析】解：f′(x)=−2f′(π4)sin2x+cosx，

∴f′(π44.【答案】B

【解析】解：f(x)=13x3+ax2−x+3，x∈(2,4)，则f′(x)=x2+2ax−1，

函数f5.【答案】B

【解析】解：若4种颜色都用到，先给A、B、C三点涂色，有A43=24种涂法，

再给D、E、F涂色，因为D、E、F中必有一点用到第4种颜色，有C31=3种涂法，

另外两点用到A、B、C三点所用颜色中的两种，有C32=3种涂法，

由乘法原理得24×3×3=216种；

若只用3种颜色，先给A、B、C三点涂色，有A43=24种涂法，

再给D、E、F涂色，因为D点与A点不同色，有2种涂法，

若D点与B点同色，则F与C、D不同色，有1种涂法，此时E有1种涂法；

若D点与C点同色，则E与B、D不同色，有1种涂法，此时F有1种涂法．

由乘法原理得24×(1×1+1×16.【答案】D

【解析】解：若甲去B点，则剩余4人，可只去A，C两个点，也可分为3组去A，B，C3个点．

当剩余4人只去A，C两个点时，人员分配为1，3或2，2，

此时的分配方法有C43⋅C11⋅A22+C42⋅C22A22⋅A22=14；

当剩余4人分为3组去A，B，C3个点时，先从4人中选出2人，即可分为3组，然后分配到3个小组即可，此时的分配方法有C42⋅A33=36，

综上可得，甲去B点，不同的安排方法数是14+367.【答案】A

【解析】解：(x3−2x+1x)4的展开式的通项公式：Tr+1=C4r⋅x−r⋅(x3−2x)4−r．

(x3−2x)4−r的通项：Tk8.【答案】A

【解析】【分析】本题考查全概率公式，是中档题．

以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B【解答】

解：以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，

P(A1)=510，P(A2)=310，P(A3)9.【答案】AC【解析】【分析】本题考查等差数列、离散型随机变量的分布列的性质．

由a1+a2+⋯+a10=1．

A，利用等差数列性质得a1+a2+⋯+a10=5(a5+a6)=1，从而a【解答】

解：由题目可知a1+a2+⋯+a10=1，

A，若{an}为等差数列，则a1+a2+⋯+a10=5(a5+a6)=1，所以a5+a6=15，因此选项A正确；

B，an=109n(n+1)=10910.【答案】AD【解析】解：二项式(2x+1x)n的展开式的通项公式为：

Tk+1=Cnk(2x)n−k(1x)k=Cnk2n−kxn−3k2，k=0，1，⋅⋅⋅，n，

由题意可知，Cn2=Cn6，解得n=8，A正确；

所以二项式(2x+1x)8的展开式的通项公式为Tk+1=C11.【答案】AC【解析】解：∵(xf(x))′=xf′(x)+f(x)，且(xlnx)′=lnx+1，

∴xf(x)=xlnx+c，则f(x)=lnx+cx，

又∵f(1)=c=2，

故f(x)=lnx+2x，且定义域为(0,+∞)，

对A：f(2)=ln2+1，A正确；

对B：f′(x)=1x−2x2=x−2x2，

令f′(x)>0，则x>2；令f′(x)<0，则0<x<2；

则f(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，12.【答案】1

α<【解析】解：(1)f′(x)=1x+1，

令1x+1=lnx+x+1，可得lnx+x−1x=0，

令g(x)=lnx+x−1x，

则g(x)在(0,+∞)上单调递增，且g(1)=0，

故f(x)的“新驻点”为1；

(2)因为g′(x)=13.【答案】67

【解析】解：因为丙当物理课代表则丁必须当化学课代表，以丙进行分类：

第一类，当丙当物理课代表时，丁必须当化学课代表，再根据甲当数学课代表，乙戊可以当英语和语文中的任一课，有A22=2种，当甲不当数学课代表，甲只能当英语课代表，乙只能当语文课代表，戊当数学课代表，有1种，

共计2+1=3种；

第二类，当丙不当物理课代表时，分四类：

①丙为语文课代表时，乙只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的甲丁戊任意排给剩下的三课，有A31⋅A33=18种，

②丙为数学课代表时，甲只能从英语、物理和化学中选择一课，剩下的乙丁戊任意排给剩下的三课，有A31⋅A33=18种，

③丙为英语课代表时，继续分类，甲当数学课代表时，其他三位同学任意当有A14.【答案】[0【解析】【分析】

本题主要考查函数与方程的应用，根据条件利用参数分离法转化为两个函数的交点个数问题，求出函数的导数，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．

由g(x)=f(x)−x−a=0得a=f(x)−x，设h(x)=f(x)−x，求函数的h(x)的导数，研究函数h(x)的图象，利用数形结合进行求解即可．

【解答】

解：由g(x)=f(x)−x−a有3个零点得g(x)=f(x)−x−a=0，即a=f(x)−x有3个根，15.【答案】解：(1)依题意知，从7个球中取4个球有C74种取法，其中4个球中恰好有2个红球，即恰好有2个红球、2个白球，有C32C42种取法，

所以4个球中怡好有2个红球的概率为P=C32C42C74=1835；

(2)记A1为从乙袋中取出1个红球、【解析】(1)根据题意，先计算出从7个球中取4个球的种数，再计算出4个球中恰好有2个红球的种数，最后用古典概型的概率公式计算可得；

(2)根据题意，先计算出P(16.【答案】解：(1)二项式(x−2x−2)n的展开式的通项为Tr+1=Cnr(x)n−r(−2x−2)r=(−2)rCnr【解析】(1)根据展开式中第二项系数与第四项系数之比为1：8，写出这两项的系数的表示式，两者求比，得到n的值，给x赋值得到各项的系数之和．

(2)展开式中只有第6项的二项式系数最大，所以展开式有11项，所以n=10，使得17.【答案】解：(1)当a=0时，f(x)=x3−2x，则f′(x)=3x2+2x2，

所以f(1)=−1，f′(1)=5

所以曲线f(x)在x=1处的切线方程为【解析】(1)先对函数f(x)求导得到f′(x)，从而得到曲线f(x)在x18.【答案】解：(1)f(x)=alnx+x2−3b的导数为f′(x)=ax+2x，

由曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为2x+y−4=0，

可得a+2=−2，即a=−4，

又f(1)=1−3b=2，解得b=−13，

即有a=【解析】(1)求得F(x)的导数，可得在x=1处的切线的斜率，由已知切线的方程，可得a，b的方程组，求得a，b；

(2)求得曲线C19.【答案】解：(Ⅰ)因为f′(x)=a1+x+2x−10

所以f′(3)=a4+6−10=0，

因此a=16．

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

f(x)=16