《高等数学》(A)教案第二章

讲授内容：§2.1导数概念教学目的与要求：1、理解导数的定义以及它的几何意义2、掌握函数连续与导数存在的关系，导数存在与左右导数存在的关系3、会求分段函数在分段点处的导数教学重难点：重点——导数的定义，导数存在与左右导数的关系难点——分段函数在分段点处导数的求法，用定义求抽象函数的导数教学方法：讲授法教学建议：借助速度和切线的实例引入导数的定义学时：3学时上一章我们讨论了函数的极限和连续，在此基础上本章将更进一步的研究函数值的变化快慢，即函数的导数，它是讨论函数特性的基本工具．引例:直线运动的速度设某质点在数轴上的运动方程为s=f(t)(位置函数),则从时刻t0到时刻t的平均速度为:当t→t0时,则有即时速度(瞬时速度)为v=.…………（A）切线问题切线：设有曲线C及C上的一点M，在点M外另取C上的一点N，作割线MN.当点N沿曲线C趋于点M时，如果割线MN绕点M旋转而趋于极限位置MT，则直线MT称为曲线C在点M处的切线，即：只要弦长|MN|趋于零，则∠NMT趋于零．设曲线C的方程为：y=f(x),M(x0,y0)为曲线C上的一点.则y0=f(x0)．在曲线C上取点N(x,y)．则割线MN的斜率为:tanφ==当点N→M时，x→x0.如果极限…………（B）存在，设为k,则称此极限为切线的斜率．其中k=tanα,α为切线MT的倾角.说明：两个问题的共性：所求量为函数增量与自变量增量的比值极限，都是讨论函数的变化率，类似的：加速度：速度增量与时间增量的比值的极限．角速度：转角增量与时间增量的比值的极限．线密度：质量增量与长度增量的比值的极限问题：（A）（B）两式对较复杂的函数求出一具体的值是很不方便，为寻求解决此类问题的简便方法，给出如下导数的定义．导数的定义:导数的定义:定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取得增量Δx(点x0+Δx在该邻域内)时，相应函数取得增量Δy=f(x+x0)-f(x0)；如果极限：=存在，则称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数．记为：.…………（＊）其它记号：，，导数定义的其它形式：f′(x0)=;或f′(x0)=说明：1）比值是函数y=f(x)在以x0和x0+Δx为端点的区间上的平均变化率，导数即是函数的平均变化率的极限值．（瞬时变化率：点x0处的变化率）2）极限不存在时，称函数在点x0处不可导．注意当此极限为时，当然是不可导，但我们仍然说函数在该此处的导数为．3）注意（＊）中左右两端x0的一致性，分子分母中Δx的一致性．是左右两侧连续的趋向0，如换成不可．4）当函数y=f(x)在开区间I内的每一点都可导时，则对于任意，就有一确定的导数值，从而构成一个新的函数，称此函数为原函数y=f(x)的导函数（简称导数），记为：5）．6）由引例知：，．7）因导数是用极限定义的，于是在利用导数的定义求导数时，求极限的所有方法在此均可以使用．左右导数:f′－(x0)=(存在)称为函数f(x)在点x0处的左导数.f′+(x0)=(存在)称为函数f(x)在点x0处的右导数.函数y=f(x)在x0处可导的充要条件为：左右导数存在并相等，即：f′(x0)存在f′－(x0)=f′+(x0).函数f(x)在闭区间[a,b]内可导即指：在开区间(a,b)内可导，且f′+(a)和f′－(b)都存在．求导例子:用定义求函数的导数的步骤：求函数的增量求函数增量与自变量增量的比值求比值的极限1)(C)′=0.2)(xμ)′=μxμ-1(μ为常数).(sinx)′=cosx(ax)′=axlna.特别有：(ex)′=ex5）(lnx)′=1/x或(logax)′=1/xlna下面为分段函数在分段点处导数的求法的例子，须用结论：f′(x0)存在f′－(x0)=f′+(x0).1）求函数f(x)=|x|在x=0处的导数.解：f′+(0)====1f′－(0)===-=-1由于f′+(0)≠f′-(0), 因此函数在f(x)=|x|在x=0处的导数不存在.注：f(x)=x|x|在x=0处的可导性怎样？2）已知f(x)=求f′-(0)和f′+(0).并确定f′(0)是否存在?解：f′+(0)====0 f′－(0)===-=-1 因为f′+(0)≠f′-(0),所以 f′(0)不存在.3）已知f(x)=求f′(x).解：f′+(0)===1; f′－(0)===1 由于f′+(0)=f′-(0)，因此f′(0)=1又当时有；当时有因此4）设f(x)=求f′-(0)及f′+(0)并判断f′(0)是否存在解：f′+(0)===0; f′－(0)===1 因f′+(0)≠f′-(0)，所以f′(0)不存在.5）设f(x)=求f′-(1)及f′+(1)并判断f′(1)是否存在正解：用定义求得f′+(1)=2f′-(1)=，所以f′(1)不存在．错解：例3抽象函数的求导1）设存在，求①②2）设为偶函数，则为奇函数.3）设，求.4）下式成立的是，其中在点a的领域内有定义（A）（B）（C）（D）解：1）①一定要转化成导数定义的那个严格的形式原式②原式2）要证，因这里是抽象函数，所以只能用定义3）还是只能用定义4）正确答案是D因原式注：若将替换成怎样，回答是：不成立.对（A）因，即是右侧趋近．对（B）即是右侧极限，在说了又还是离散的．对（C）分子上就没有定值，不合定义的要求，请看下例考虑处事实知是不存在的．导数的几何意义函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)在几何上表示曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.于是曲线在点(x0,f(x0))处的切线方程为: y切线方程为: y－y0=f′(x0)(x－x0).法线方程为: y－y0=－(x－x0).[f′(x0)≠0] 1）求曲线y=1/x在点(1,1)处的切线方程和法线方程.解：由于f′(1)=-1/x2|x=1=-1，因此 切线方程为：y-1=-1(x-1)，即x+y-2=0; 法线方程为：y-1=x-1，即x-y=0.2）证明：曲线xy=a2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积为常数.证：设(X,Y)为曲线上的任一点，则有XY=a2, y′(X)=-a2/X2.切线方程为；y-Y=-a2/X2(x-X)切线在坐标轴上的截距为：x=X+X2Y/a2=2X; y=Y+a2/X=2Y,所求三角形的面积为：s=xy/2=2XY=2a2.函数的可导性与连续性的关系:设函数在点x处可导，则函数在x处连续．证明：设函数y=f(x)在点x处可导，则有=f′(x),于是有:=f′(x)+α,其中α=0.即Δy=f′(x)Δx+αΔx.令Δx→0，则有Δy→0.因此函数在点x处连续.注：但函数在点x处连续，则在点x处不一定可导，即连续是可导的必要条件．如1）讨论函数y=在x=0处的连续性与可导性.解：显然函数在x=0处连续.由于=不存在,因此函数在x=0处不可导.2）讨论函数y=在x=0处的连续性与可导性.解：显然函数在x=0处连续;由于==0,因此函数在x=0处连续可导.注：设函数f(x)=，试确定a和b,使函数f(x)在x=1处连续且可导.解：由连续即有f(1+)=f(1-)得a+b=1;f′+(1)===2;f′-(1)====a由可导得:f′+(1)=f′-(1),即a=2;从而b=-1.例7设存在，且，求.解：由于所以作业：高等数学Ａ练习册习题十教学后记：教学参考书：复习思考题：，问存在的最大是多少？

讲授内容§2.2函数的求导法则教学目的与要求：1、熟悉掌握函数求导的四则运算、复合运算法则.掌握反函数的求导法则.熟练掌握基本初等函数的求导公式.教学重难点：重点——导数的四则运算法则、复合求导法则及基本初等函数的求导公式难点——复合函数与反函数的求导法则.教学方法：讲授法教学建议：在合适的时机给出两道中等难度且有可能出错的题让学生在黑板上做.学时：4学时函数和、差、积、商的求导法则设在点具有导数:.(u±v)′=u′±v′注：1、各自可导则和可导，可导与不可导之和仍不可导2、和可导时，各自不一定可导.(uv)′=u′v+uv′特别地:(Cu)′=Cu′(C为常数)一般地(uvw)′=u′vw+uv′w+uvw′证明：[u(x)v(x)]′===+= (v≠0)例11）,求y′.解：y′=6x2-10x+32）f(x)=x3+4cosx－sinπ/2,求f′(x)及f′′(π/2).解：f′(x)=3x2-4sinx f′(π/2)=3π2/4-4.3）y=ex(sinx+cosx).求y′.解:y′=ex(sinx+cosx)+ex(cosx-sinx)=2excosx.4）y=x2lnxcosx.求y′.解:y′=2xlnxcosx+xcosx-x2lnxsinx5）y=tanx,求y′.解:y′===sec2x同样：(cotx)′=-csc2x; (secx)′=secxtanx; (cscx)′=-cscxcotx;6）.求y′.解:y′=例2设，求y′解：方法1：方法2：反函数的导数定理：若函数x=f(y)在区间Iy内单调、可导且f′(y)≠0,则其反函数y=f-1(x)在对应区间Ix={x|x=f(y),yIy}内可导,且有:[f-1(x)]′=或证明:由于x=f(y)在区间Iy内单调可导(从而连续),因此其反函数在对应区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内单调且连续.任取x∈Ix,给x增量Δx(Δx≠0,x+Δx∈Ix)由y=f–1(x)单调性可知:Δy=f(x+Δx)-f(x)≠0.于是:=.由于y=f-1(x)连续,从而当Δx→0时,有Δy→0.又f′(y)≠0,所以: [f-1(x)]′===.1）求y=arcsinx的导数.解：y=arcsinx的直接函数为:x=siny,在区间(-π/2,π/2)内单调,可导,且:(siny)′=cosy>0所以:y=arcsinx在对应区间(-1,1)内有:(arcsinx)′=== 同理:(arccosx)′=-.求y=arctanx的导数.解:y=arctanx的直接函数为:x=tany,在区间(-π/2,π/2)内单调,可导,且:(tany)′=sec2y≠0,所以:y=arcsinx在对应区间(-∞,+∞)内有:(arctanx)′===同理:(arccotx)′=-.求y=logax(a>0,a≠0)的导数.解:y=logax(a>0,a≠0)的直接函数为:x=ay,在区间(-∞,+∞)内单调,可导,且:(ay)′=aylna≠0,所以:y=logax在对应区间(0,+∞)内有:(logax)′===.基本求导法则与导数公式 基本初等函数的求导公式:1) (C)′=0; 2) (xμ)′=μxμ-1;3) (sinx)′=cosx; 4) (cosx)′=-sinx;5) (tanx)′=secxtanx; 6) (cotx)′=-cscxcotx;7) (secx)′=secxtanx; 8) (cscx)′=-cscxcotx;9) (ax)′=axlna; 10) (ex)′=ex;11) (logax)′= 12) (lnx)′=;13) (arcsinx)′=; 14) (arccosx)′=-;15) (arctanx)′=; 16)(arccotx)′=-.复合函数的求导法则定理：如果在点可导,而在点可导,则复合函数在点处可导,且有:或=证明：因为在点处可导,所以即有:其中,且当时,规定[此时函数在Δu=0处连续].于是:从而有:于是:=又当时,,从而:又在处可导,因此所以:即:注：1）复合函数的求导关键在于搞清复合函数的结构，并由外向内逐层求导.2）公式可以推广到多层复合的情形.3）记号表示对求导，即，如就表示对求导，而不是对求导.如下例：例4、求下列函数的导数:y=lnsinx解:=(lnsinx)′==cotx; 解:=()′=•(1-2x2)′=y=lncos(ex);解:=[lncos(ex)]′=[cos(ex)]′=-sin(ex)•ex=-extan(ex).y=;解:=()′=()′=•()′=-•例5、1）;[可导].解:===;解：=•••()′=•••=设，求解：作业：高等数学A习题册习题十一习题十二教学后记：教学参考书：复习思考题：若函数，求.讲授内容§2.3高阶导数教学目的与要求：1、理解高阶导数的概念.2、熟练掌握二阶导数的求法以及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法.教学重难点:重点——初等函数二阶导数的求法及那些比较特殊的函数的高阶导数的求法.难点——抽象函数及分段函数求高阶导数.教学建议：讲授法.教学建议：反函数二阶导数先证（必须慢点），然后一定要给出二个简单实例，师生双向做.学时：2学时高阶导数的定义：定义:函数的导数是的函数,称的导数为的二阶导数.记作:或.即:或=一般地,n阶导数的定义为:=当n≥2时,n阶导数称为高阶导数.求下列函数的二阶导数:y=ln(x+);解：y′=(1+)=y′′=[]′=-•(2x)=;其中存在.解：y′=;y′′=[]′=y=f(x2)解：y′=2xf′(x2)y′′=2f′(x2)+2x•f′′(x2)•2x=2f′(x2)+4x2f′′(求下列函数的n阶导数y=ex解: (ex)(n)=ex.y=sinx解：y′=cosx=sin(x+) y′′=cos(x+)=sin(x++)=sin(x+2·); y′′′=cos(x+2·)=sin(x+3·)一般地：(sinx)(n)=sin(x+n·).同理：(cosx)(n)=cos(x+n·).y=ln(1+x)解：y′=; y′′=-; y′′′=;…一般地： y(n)=.即有，[ln(1+x)](n)=.y=xμ(μ为常数)解：y′=μxμ-1; y′′=μ(μ-1)xμ-2; …, y(n)=μ(μ-1)(μ-2)…(μ-n+1)xμ-n.当μ=n时, (xn)(n)=n!; (xn)(n+1)=0.5）设，求解：函数和、差、积的高阶导数公式：(u±v)(n)=u(n)±v(n);莱布尼茨(Leibniz)公式:(uv)(n)= u(n)v+nu(n-1)v′+u(n-2)v′′+…+u(n-k)v(k)+…+uv(n)=u(n-k)v(k).设y=x2sin2x,求y(50)解：由于u=sin2x, v=x2,所以u(k)=(sin2x)(k)=2ksin(2x+k·);v′=2x, v′′=2, v(k)=0(k=3,4,…50).从而有，(x2sin2x)(50)=250sin(2x+50·)·x2+50·[249sin(2x+49·)]·2x+[248sin(2x+48·)]·2=250[-x2sin2x+50xcos2x+sin2x].例4设求解：由有由莱布尼茨(Leibniz)公式，有令得：令得：令得：因此有：例5设求解：例6试从=导出: 1)=-; 2) =.解：此题为反函数的高阶导数1)=()==-;2)=(-)=-=作业：高等数学A练习册习题十三教学后记：教学参考书：思考题：若存在能否推出在内连续，又若存在能否推出在内连续.讲授内容§2.4隐函数及由参数方程所确定的函数的导数教学目的与要求：1、熟练掌握隐函数的一阶求导以及由参数方程所确定的函数的一阶求导.2、掌握隐函数、由参数方程所确定的函数的二阶求导.3、了解函数的相关变化率并会用函数的相关变化率解实际问题.教学重难点：重点——隐函数以及由参数方程所确定的函数的一阶求导.难点——隐函数以及由参数方程所确定的函数的二阶导数的求法，相关变化率.教学方法：讲授法教学建议：幂指函数借助对数求导，幂指函数的求导公式在基础相对弱的班级不必介绍，但在快班建议介绍.学时：3学时隐函数的导数:隐函数的导数隐函数:如果在方程F(x,y)=0中，当x取某区间内的任一值时，相应地总有满足此方程的唯一的y值存在，则称方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个函数，此函数称为隐函数.显函数：由方程y=f(x)表示的函数称为显函数.特点为：左端为因变量，右端为自变量.将一个隐函数化成显函数，称为隐函数的显化.关于隐函数的求导这里只给出具体的做法。下册将再给出隐函数的一、二阶求导公式.求由方程y5+2y-x-3x7=0所确定的隐函数y在x=0处的导数y′(0).解：要注意到，y是x的函数已是事实两边对x求导时一定要注意到，y是x的函数这一事实得，5y4y′+2y′-1-21x6=0,令x=0得y=0.得，y′(0)=1/2注：求由方程ey+xy-e=0所确定的隐函数y的导数.解：两边对x求导，得:eyy′+y+xy′=0,……（1）所以y′=-y/(x+ey).……（2）将代入得再将（1）对x求导得将代入得注：也可将（2）式两端对x求导求曲线在点(a,a)的切线方程和法线方程.解：两边对x求导得:+y′=0, y′=于是:y′(a)=1切线方程为：y-a=x-a,即:x-y-=0.法线方程为：y-a=-(x-a),即:x+y-a=0.，求解：分析：此题既是隐函数，也是复合函数两端对x求导：所以对数求导法:求的导数.思路：指数的求导我们没有现成的公式，我们只能借助于对数将幂指数转化为乘积方可求导，这是因为对数具有降低运算级别的作用.解：取对数lny=sinxlnx.两边求导y′=cosxlnx+,所以有y′=xsinx(cosxlnx+).一般地，幂指函数的一般形式为：y=uv(u>0,u和v是x的函数)的导数为:取对数：lny=vlnu,两边求导：y′=v′lnu+u′解出所以(uv)′=uv(v′lnu+u′).求的导数.解：当x>4时，取对数得，lny=[ln(x-1)+ln(x-2)-ln(x-3)-ln(x-4)].求导y′=(+--)y′=(+--)当x<1时，y=；当2<x<3时，y=同理可求出y的导数.1），2）解：1）2）注：此例告知，解题时要充分利用对数的性质.设思路：分成两项，分别用对数求出函数的导数.求思路：此题首先是隐函数，同时是抽象的复合函数，且又是幂函数，为此先完成幂指函数的求导解：记下将原式两端对x求导解得，由参数方程所确定的函数的导数定义：由参数方程(t为参数)确定y是x的函数.此函数关系表示的函数为由参数方程所确定的函数.设y=ψ(t)可导，x=φ(t)单调连续可导，且φ′(t)≠0，则有:=·==上式是参数方程(t为参数)表示的函数.当x=φ(t)和y=ψ(t)二阶可导时，则有:=()=()·=·即=求椭圆在对应t=π/4处的切线方程.解：当t=π/4时，对应椭圆上的点M0的坐标为x0=a,y0=b曲线在M0处的切线斜率为：|x=π/4=|x=π/4=-切线方程为：y－b=－(x－a).计算由摆线的参数方程所确定的函数y=y(x)的二阶导数.图中:x=OP=弧QM-线段QM=at-asint; y=PM=a-acost解：====()·=-·=-(t≠2nπ,nN)设，求解：此题为参数方程，但参数方程中第二个方程确定了隐函数将第一个方程对t求导得，将第二个方程对t求导得，于是得：设，且，求解：给，求解：先化为参数方程：相关变化率设函数和为可导函数,而变量x和y之间存在某种关系，从而变化率和间存在关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.相关变化率的求法：求出变量x和y的关系，而此关系式中的x,y均是另一个变量t的函数对t求导得到变化率和之间的关系求出未知的相关变化率例15水入深8m上顶直径8m的正圆锥形容器中，其速率为4m3/min.当水深为5m时，其表面上升的速率为多少?解：设在时刻t时容器中水深为h(t)，水面半径为r，水的容积为V(t)，则由r/4=h/8得r=h/2.从而：V(t)=r2·πh=πh3;V′(t)=πh′(t).代入V′(t)=4，h=5，则得：h′(t)=(m/min).作业：高等数学A习题册习题十三教学后记：教学参考书：思考题：若，求.

讲授内容§2.5函数的微分教学目的与要求：1、理解微分的定义.2、了解微分的几何意义.3、掌握函数可微的条件.4、熟练掌握基本初等函数的微分公式，函数的微分法则，微分的形式不变性及求函数的微分.5、了解微分在近似计算中的应用，基本初等函数的微分公式.教学重难点：重点——微分的定义，函数可微的条件，函数的微分法则，微分的形式不变性.难点——微分的定义，微分的几何意义，微分的形式不变性.教学方法：讲授法教学建议：用实例引入微分的定义，利用微分形式的不变性求微分点到为至.学时：2学时微分的定义引例一块正方形金属薄片受温度的影响,其边长由x0变到x0+Δx,问此薄片的面积改变了多少?解：设边长为x，面积为S(x)，则有S(x)=x2，边长由x0变到x0+Δx，薄片面积的改变量为：ΔS=(x0+Δx)2-x02=2x0Δx+(Δx)2.当Δx→0时，(Δx)2是Δx的高阶无穷小.即有：(Δx)2=o(Δx).注：此例告知，函数的增量由两部分构成.主要项：Δx的一次项，剩下是Δx的高阶无穷小，即ΔS=AΔx+o(Δx).问：是否其它函数也是这样呢？什么样的函数才会这样呢？微分的定义:定义：设函数y=f(x)在某区间内有定义，x0及x0+Δx在这区间内，如果函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0)可表示为:Δy=A•Δx+o(Δx),其中A是不依赖于Δx的常数，而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小，那么称函数y=f(x)在点x0是可微的，而A•∆x叫做函数y=f(x)在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即 dy=A•Δx.当函数y=f(x)在开区间I内每一点都可微时，称函数是区间I内的可微函数.可微的充分必要条件定理：函数y=f(x)在点x0处可微函数y=f(x)在点x0处可导.证明：设函数y=f(x)在x0处可微,则由定义有:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=A·Δx+o(Δx),于是:==A+令Δx→0,则有:A==f′(x0).反之,若函数y=f(x)在点x0处可导,则有=f′(x0).从而:=f′(x0)+α,其中α=0.于是:Δy=f′(x0)Δx+αΔx.由于αΔx=o(Δx),f′(x0)是不依赖Δx的常数,从而函数在点x0处可微.注：当函数y=f(x)在点x0处可微时,有dy=f′(x0)Δx.当f′(x0)≠0时,因为:===1.因此当Δx→0时,Δy～dy,从而有:Δy=dy+o(dy).称dy是Δy的主部.当f′(x0)≠0时,由于dy=f′(x0)Δx是Δx的线性函数,故称dy是Δy的线性主部.由于=0,所以=0.称为以dy代替Δy时的相对误差.显然,当|Δx|很小时,有dy≈∆y.函数y=f(x)在任意点的微分称为函数的微分.记作dy或df(x).即:dy=df(x)=f′(x)Δx.通常将自变量的增量Δx称为自变量的微分,记作dx,即:dx=Δx.于是:dy=df(x)=f′(x)dx从而:=f′(x).即导数是微商.求函数y=x2在x=1和x=3处的微分.解：y=x2在x=1处的微分:dy=(x2)′|x=1Δx=2Δx;y=x2在x=3处的微分:dy=(x2)′|x=3Δx=6Δx;求函数y=x3当x=2,Δx=0.02时的微分.解：函数y=x3在任意点的微分为:dy=(x3)′Δx=3x2Δx.当x=2,Δx=0.02时的微分为:dy=3·22·0.02=0.24.微分的几何意义微分的几何意义是：当Δy是曲线y=f(x)上的点的纵坐标的增量时,dy是曲线上的切线上点的纵坐标的相应增量.即当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δx|小得多.从而在点M的附近,可以用切线段MP来近似代替曲线段MN基本初等函数的微分公式与微分运算法则.基本初等函数的微分公式:1) dC=0; 2) dxμ=μxμ-1dx;3) dsinx=cosxdx; 4) dcosx=-sinxdx;5) dtanx=secxtanxdx; 6) dcotx=-cscxcotxdx;7) dsecx=secxtanxdx; 8) dcscx=-cscxcotxdx;9) dax=axlnadx; 10) dex=exdx;11) dlogax=dx 12) dlnx=dx;13) darcsinx=dx; 14) darccosx=-dx;15) darctanx=dx; 16)darccotx=-dx.函数和差积商的微分1） d(u±v)=du±dv 2) d(Cu)=Cdu3) d(uv)=vdu+udv 4) d (v≠0)复合函数的求导法则:(一阶微分的形式不变性)设y=f(u)和u=φ(x)可导,则复合函数y=f[φ(x)]的微分为:dy=yx′dx=f′(u)φ′(x)dx.由于φ′(x)dx=du,所以复合函数的微分公式也写成:dy=f′(u)du或dy=yu′du此性质称为微分形式不变性.求下列函数的微分y=sin(2x+1);解：dy=2cos(2x+1)dx y=e1-3xcosx2;解：dy=d(e1-3x)•cosx2+e1-3xd(cosx2)=-e1-3x(3cosx2+2xsinx2)dx.y=[ln(1-x)]2;解：dy=2ln(1-x)•dln(1-x)=-2ln(1-x)•dxy=arctan.解：dy=d=•dx=dx.5）已知，求解：两边求微分：得，6）已知，求解： 7）设，确定函数，求 解：两边求微分：由得，代入得：填空：1）2)3)微分在近似计算中的应用如果y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)≠0且|Δx|很小时,有:Δy≈dy=f′(x0)Δx.即 Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈dy=f′(x0)Δx. 或 f(x0+Δx)≈f(x0)+f′(x0)Δx令 x0+Δx=x，则 f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x-x0)特别当x0=0时,有:f(x)≈f(0)+f′(0)x当|x|很小时，有常用近似计算公式：≈1+x;sinx≈x;tanx≈x;ex≈1+x; ln(1+x)≈x.计算:sin30°30′解：设f(x)=sinx,则f′(x)=cosx.取x0=π/6,则sin30°30′=sin(π/6+π/360)≈sin(π/6)+cos(π/6)•(π/360)≈0.5076.计算:.解：由≈1+x,则有 ≈1+•0.06=1.02有一批半径为1cm的球,为了提高球面的光洁度,要镀上一层铜,厚度定为0.01cm,试估计每只球需用多少克铜?(铜的密度为8.9g/cm3)解: V=4πR3/3, ∆V≈4πR02∆R,将 R0=1cm, ∆R=0.01cm代入得:∆V≈4×3.14×12×0.01≈0.13(cm3).所需铜为：0.13×8.9≈1.16(g)作业：高等数学A练习册习题十四教学后记：教学参考书：思考题：若，则.讲授内容 第二章习题课教学目的与要求：理解导数的概念，熟悉掌握求导运算法则及参数方程求导，隐函数求导，对数求导，基本类型的高阶导数.教学重难点：重点——各种类型的求导难点——导数的概念教学方法：以讲授法为主，课堂讨论为辅教学建议：留十分钟左右让学生进行讨论学时：