八年级数学下册16.2二次根式的乘除(解析版)

16.2二次根式的乘除二次根式的乘法及积的算术平方根

乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.注意：

(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.题型1：二次根式的乘法1．（1）0.4×（2）1【答案】（1）解：0.4×（2）解：14【变式1-1】(1)5×7；(2)13×9；（3）【答案】(1)×=；(2)×==；

（3）5×920=5×【变式1-2】计算:（1）15（2）2（3）63（4）2a【答案】（1）解：原式=15×（2）解：原式=2×-3（3）解：原式=63×14×2（4）解：∵a≥0

∴原式=2a×8a=【变式1-3】计算：4ab【答案】2a2b2【解析】【解答】解：4ab3×12a【变式1-4】设2=a，10=b，用含a、b的式子表示20A．2a B．2b C．a+b D．ab【答案】D【解析】【解答】解：∵2=a∴20=故答案为：D．

【分析】根据20=2×积的算术平方根

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.注意：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.题型2：积的算术平方根2.化简：（1）49×121；（2）25×169；（3）49×0.16；（4）24；（5）12a（6）0.04×9×0.64×324.【答案】（1）解：原式=49×（2）解：原式=25×（3）解：原式=49×（4）解：原式=4×6（5）解：原式=3×4a（6）解：原式=0.2×3×0.8×2×9=8.64【解析】【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可，因式积的算术平方根等于各因式算术平方根的积。【变式2-1】计算与化简：（1）36×256（2）12【答案】（1）解：36×256=36×256=6×16=96（2）解：12x3二次根式的除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。注意：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.题型3：二次根式的除法3.（1）31【答案】解：（1）解：原式=10（2）112÷【答案】解：原式＝32÷＝18＝32【解析】【分析】用二次根式的乘除法法则计算即可求解。即原式=32【变式3-1】计算（1）2÷4；（2）4÷2．【答案】（1）2÷4＝＝×2＝1；（2）4÷2＝＝2＝．【变式3-2】72÷2的结果是【答案】6【解析】【解答】解：72÷故答案是6．计算40÷5的结果是．【答案】2【解析】【解答】解：40÷故答案为22．计算：6a÷2a=．【答案】3【解析】【解答】解：原式=6a2a=故答案为：3【分析】根据二次根式的乘除法则计算，原式=6a÷2a=3.商的算术平方根的性质:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.注意：运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.题型4：商的算术平方根4.（2022八下·兴仁月考）已知ab=ab，则实数aA．a≥0，b>0 B．a≥0，b≥0 C．a>0，b≥0 D．a>0，b>0【答案】A【解析】【解答】解：∵ab∴a≥0，故答案为：A.【分析】根据二次根式有意义的条件结合分式有意义的条件进行解答.【变式4-1】（2022八下·黄冈月考）如果ab>0，a+b<0，那么下面各式：①ab=ab，②aA．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】B【解析】【解答】解：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a＜0，b＜0，a∴①ab=a②ab×b③ab÷ab故答案为：B.【分析】由ab＞0，a＋b＜0，可得a＜0，b＜0，再分别将①、②、③的二次根式进行化简，即可得到正确选项.【变式4-2】（2021八下·召陵期末）使x-2x-3A．x≠3 B．x>3C．x≥2且x≠3 D．x≥3【答案】B【解析】【解答】解：根据题意得：x-2≥0x-3>0解得：x>3.故答案为：B.【分析】根据被开方数大于或等于0，分母不等于0列出不等式组，解不等式组即可.最简二次根式与分母有理化

（1）被开方数不含有分母，分母里不含根式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.注意：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.题型5:最简二次根式5.（2022八下·潜山期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A．24 B．13 C．27 D．4【答案】B【解析】【解答】解：A、24=2B、13是最简二次根式，故符合题意；C、27=3D、43故答案为：B．

【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。【变式5-1】下列根式中，不能再化简的二次根式是（）A．12 B．x2y C．8x【答案】D【解析】【解答】解：A、被开方数含分母，故A错误；B、含开的尽的因数或因式，故B错误；C、含开的尽的因数或因式，故C错误；D、被开方数不含分母，不含开的尽的因数或因式，故D正确；故选：D．【分析】根据最简二次根式的被开方数不含分母，不含开的尽的因数或因式，可得答案．【变式5-2】在，，，中，最简二次根式是（）A． B． C． D．【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．【解答】解：A.＝2，故A不符合题意；B.是最简二次根式，故B符合题意；C．＝，故C不符合题意；D.＝，故D不符合题意；故选：B．【变式5-3】若最简二次根式和能合并，则a、b的值分别是（）A．2和1 B．1和2 C．2和2 D．1和1【分析】根据题意得到两个二次根式是同类二次根式，列出方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值．【解答】解：∵最简二次根式和能合并，∴，即，①×2+②得：7a＝7，解得：a＝1，把a＝1代入②得：1+2b＝3，解得：b＝1．故选：D．题型6：二次根式的化简6.化简的结果是（）A．- B．- C．- D．-【答案】C【解析】解答：原式=－=－=－=－，故选C分析：利用有效的方法正确将二次根式化简成最简二次根式，方法基本有、完全平方数或完全平方式的正确开方；‚、分母有理化【变式6-1】（2022八下·虎林期末）化简二次根式b3A．baba B．-baba 【答案】A【解析】【解答】解：解：由题意得：b3∵a＜0，∴b3＜0，∴b＜0，∴b===b故答案为：A．

【分析】根据二次根式有意义的条件证得b的取值范围，再分母有理化即可解得。【变式6-2】分母有理化：＝．【分析】利用平方差公式将原式进行分母有理化，从而进行计算．【解答】解：原式＝＝＝＝，故答案为：．【变式6-3】化简：45【答案】45=3=4【解析】【分析】将题目的根式化简为最简二次根式，再将同类最简二次根式进行合并即可。【变式6-4】已知等式5-xx-3=5-x【答案】解：∵等式5-xx-3∴∴3<x≤5|x－6|＋(x-2)=6-x+x-2=4【解析】【分析】利用二次根式的除法法则，可得到关于x的不等式组，求出不等式组的解集，可得到x的取值范围，可得到x-6＜0，x-2＞0，再化简绝对值，然后合并同类项.题型7：二次根式乘除混合运算7.计算：61【答案】解：原式=6×==-6【解析】【分析】将各个二次根式化为最简二次根式，同时将除法转变为乘法，然后根据二次根式的乘法法则进行计算.计算：36【答案】解：原式=6×30=65=310【解析】【分析】利用二次根式的乘除法计算即可。【变式7-1】计算：24×413÷【答案】解：24=4=4=8【解析】【分析】利用二次根式的乘除法则计算求解即可。计算:2【答案】解：2=4=32【解析】【分析】先化简二次根式和将除法变成乘法，再相乘即可.【变式7-2】b【答案】解：原式=ba【解析】【分析】根据二次根式的乘除法则计算即可.计算：28÷12×18【答案】解：原式=42÷12×3=8×32=242．【解析】【分析】直接利用二次根式乘除运算法则计算得出答案．题型8：把根号外的非负因数（式）移到根号内8.若m＜0，n＞0，把代数式mn中的m移进根号内结果是（）A．m2n B．-m2n C．﹣【答案】C【解析】【解答】解：∵m＜0，∴mn=﹣m2故选C．【分析】根据二次根式的性质解答．【变式8-1】把中根号外面的因式移到根号内的结果是．【答案】－【解析】【解答】由题意a<0，所以<0，所以原式=－=－

【分析】能够根据题意判断代数式的正负，并正确选择正负号，同时进行因式的移进移出，是充分考查学生对于二次根式的认识程度的基本应用【变式8-2】把(a－2)12-a根号外的因式移到根号内后，其结果是【答案】－2-a【解析】【解答】解：根据题意可知，2-a＞0

∴a＜2

∴原式=-2-a。

故答案为：-2-a。

【分析】根据二次函数有意义的条件，即可得到a的取值范围，根据二次根式的性质将根号外的因式移动即可。22．题型9：二次根式的大小比较9.二次根式25，25，2A．25<25<25 B．25C．25<25<25 D．25【答案】C【解析】【解答】解：25=2×55×5=105；

2【变式9-1】比较大小.5665；12-【答案】＜；＞【解析】【解答】解：∵56=150，65=180，

∴56＜65，

∵12-3=2+32-3【变式9-2】（2022八下·浙江月考）设a=613，b=12-A．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a>c>b【答案】B【解析】【解答】解：a=613=23，b=12-3=2+3，

∵2+3>23>3一、单选题1．（2022八下·黄山期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．12 B．23 C．2 D．【答案】C【解析】【解答】解：A、12=23，则12的被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；B、23=63，则C、2是最简二次根式，故本选项符合题意；D、x2=|x|，则故答案为：C．

【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。2．（2020八下·蜀山期末）下列式子中，为最简二次根式的是（）A．0.5 B．2 C．9 D．12【答案】B【解析】【解答】解：A.0.5=B.被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故B符合题意；C.9=3D.12=2故答案为：B．【分析】根据最简二次根式的定义逐项判定即可。3．（2020八上·上海期中）下列二次根式中，最简二次根式是（）A．12x B．x-9 C．a+bb D．【答案】B【解析】【解答】解：A、不符合上述条件②，即12x＝23x，故不是最简二次根式；B、符合上述条件，故是最简二次根式；C、不符合上述条件①，即a+bb＝aD、不符合上述条件②，即5x2y故答案为：B．【分析】根据最简二次根式的定义对选项进行判断即可。4．（2022八上·奉贤期中）在式子4，0.5，12A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】【解答】4=212故答案为：B．

【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可。5．（2022·舟山九上月考）下列式子中，是最简二次根式的是（）A．15 B．25 C．45 D．50【答案】A【解析】【解答】解：A、15是最简二次根式，故A符合题意；

B、25=5，25不是最简二次根式，故B不符合题意；

C、45=35，45不是最简二次根式，故C不符合题意；

D、50=52，506．（2020八下·曾都期末）下列等式成立的是（）A．-5(-25C．24÷6=4【答案】A【解析】【解答】解：A、-5(-B、(-72C、24÷D、45故答案为：A.【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则及二次根式的性质计算得出答案.7．（2020八上·福田期末）设n为正整数，且n<65<n+1，则A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】【解答】解：根据题意可知，64＜65＜81

∴8＜65＜9

∵n为正整数

∴n=8故答案为：B.

【分析】根据题意，由二次根式的值，估算得到n的值即可。二、填空题8．（2022八上·嘉定期中）12×3【答案】6【解析】【解答】解：原式=23×3=6．故答案为6．

【分析】利用二次根式的乘法运算计算方法求解即可。9．（2020八下·安庆期中）下列二次根式中：①24；②227；③14；④13，是最简二次根式的是【答案】③【解析】【解答】①24不是最简二次根式，②227不是最简二次根式，③14是最简二次根式，④13所以，是最简二次根式的是14．故答案为：③．【分析】根据最简二次根式的定义分别进行判断即可得解．10．（2020八上·密山期末）在①14；②a2+b2；③27；④【答案】3个【解析】【解答】解：最简二次根式有①14；②a2+b2故答案为：3．【分析】如果一个二次根式符合下列两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式。根据最简二次根式的定义一一判断即可。11．（2021九上·秦安期中）13+1化简得【答案】3【解析】【解答】解：13故答案为：3-1【分析】给分子、分母同时乘以3-1，然后利用平方差公式对分母进行计算即可.12．（2022九上·清水月考）若实数x，y满足x2+【答