2023年广东省汕头市成考专升本数学(理)自考真题(含答案带解析)

2023年广东省汕头市成考专升本数学（理）

自考真题（含答案带解析）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.函数Y=sin4x-cos4x的最小正周期是（）

A.A.71

B.2n

2.已知f(x)是定义域在［—5,5］上的偶函数，且f(3)>f(l),则下列各式-定

成立的是

A.f(-1)<f(3)B,f(0)<f(5)C,f(3)>f(2)D,f(2)>f(0)

/<.r)=^±2

3.设函数］，则f(x-l)=()

o-4-l

4.已知全集U=R,A={x|x>l},B={x|-l<x<2},则已

A.{x|x<2}B,{x|x<2}C.{x|-1<x<2}D.{x|-1<x<1}

过点（1,2），陵斜角a的正弦值为方的直线方程是

(A)4x-3y+2=0(B)4x+3y-6=0

4

(C)3*-4y+6=0(D)y=±y(*-1)+2

任选一个小于10的正整数，它恰好是3的整数倍的概率是（）

A,0,3

7.已知角a的顶点与直角坐标系的原点重合始边在X正半轴上，终边

经过点（L—1），则sina的值是（）

A.A.-1/2

B.

C.1/2

%

D.、

8.复数x=n+bi（a,b£R且a,b不同时为0）等于它的共轨复数的倒数的

充要条件是（）

A.A.a+b=lB.a2+b2=lC.ab=lD.a=b

9.不等式|2x-3|>5的解集是

A.{x|x>4}B.{x|x<—1}C.{x|x<-l或x>4}D.{x|-l<x<4}

10.在(《■+')的展开式中，/的系数和常数项依次矩A.20,20B,15,20C,20,15

D.15,15

11.巳他正三枪柱的底面枳等于、后,儡面积等于30,J8此正三梭柱的体积为

A.20

B.5招

C.10

D.15,。

在△A8C中，若MM=+8=30。,8c=4,则48=()

(A)24(B)6#

12.(C)2g(D)6

13.

f0

14.已知平面向量a=(-2,1)与b=(入，2)垂直，则入=()o

A.4B.-4C.lD.1

15.()

A.A.4B.4iC.-4D.0

16.^p:x=l;q:x2-l=0,贝lj（）

A.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件

B.p是q的充要条件

C.p是q的必要条件但不是充分条件

D.p是q的充分条件但不是必要条件

17.函数的图像与函数①=log21y的图像

A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=x对称D.是同一条曲

线

18.已知向量：则1=（）

A.-lB.2C.-2D.1

19.对满足a>b的任意两个非零实数，下列不等式成立的是

A.B.Iga?>lg62C.a4>64口（打〈伍］

如祟神1«,1♦2=］上的一点解到它的左焦点的距禹是12.郡么M到它的右准

10036

20.线的距阍是)

B.竽

C.24

z=2cos。

（6为参数）

21.直线3x-4y-9=0与圆y=2sin。的位置关系是

A.相交但直线不过圆心B.相交但直线通过圆心C.相切D.相离

22.下列等式中，成立的是()

A.arctanI=»-74*

Rarctan

4

C.stn(arcsin>/2)=

D.aresin(sin学)"*竿

A.A.AB.BC.CD.D

已知正方形46Cb,以4C为焦点，且过B点的椭圆的离心率为（）

（A）&（B）包尹

（C）?

23.2・2

24.()

A.A.1B.-lC.252D.-252

已知点「（sina-coja,tana）在第一象限，则在［0,2ir）内a的取值范围是（）

⑷信片M词⑻信孙（唔）

©俘竽）U传号）（D）（f,f）u（^,.）

26.

设函数/(5T)=bgM/J与'•则/(1

*vz

A.A.

1

B.

C.2

D.-2

27.若a,B是两个相交平面，点A不在a内，也不在0内，则过A且

与a和p都平行的直线()

A.A.只有一条B.只有两条C.只有四条D.有无数条

28.下列四组中的函数f(x),g(x)表示同一函数的是()

A.A.'

B.'

C.

D.Ax)=x5.<(«)

29.若sina>tana,a2(-兀/2,兀/2),贝lja£()

A.(-兀/2,兀/2)B.(-n/2,0)C.(0,n/4)D.(n/4,7r/2)

巳知在线/|0-4,=0,。：3工-2旷+5=0.过/|与。的交点且与L垂直的直线方

30.

A.A.8x-4y+25=OB.8x+4y+25=0C.8x-4y-25=0D.8x+4y-25=0

二、填空题(20题)

31.若a=(Lt,1-t,t),b=(2,t,t),贝！)|b-a|的最小值是

为了检查一批零件的长度，从中抽取10件,量得它们的长度如下（单位:mm）：

22.3622.3522.3322.3522.3722.3422.3822.3622.3222.35

则样本的平均数（结果保留到小数点第二位）为这组数据的方差

32.为

33.直线3X+4y-12=0与X轴、Y轴分别交于A,B两点，0为坐标原

点，则AOAB的周长为.

34.直线3x+4y-12=0与x轴，y轴分别交于A,B两点，0为坐标原

点，则aOAB的周长为

35.从新一届的中国女子排球队中随机选出5名队员，其身高分别为（单

位:cm）

196,189,193,190,183,175,

则身高的样本方差为cm2（精确到0.1cm2）.

36.设“N+1）="+2行十1,则函数f（x）=.

a7过IW/+/=25上一点黑（-3,4）作该圆的切线，则此切线方程为•

38.

若二次函数/（x）=ax2+2x的最小值为一则。=

38

39.已知数列｛aj的前n项和为.,则a3=。

40.从一批某种型号的电子元件中随机抽取样本进行使用寿命测试,测得

数据如下(单位：h):

245256247255249260

则该样本的样本方差为———(保留小数点后一位).

41.若"“1+l有负值，则a的取值范围是.

43.一束光线从点A(-3,4)发出，经x轴反射后，光线经过点B(2,6),入

射光线所在的直线方程是

45.一个底面直径为32em的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放人桶

中完全淹没，水面上升了9cm,则这个球的表面积是

__________cm2.

46.

甲乙两人独立地解决同一问题,甲解决这个问题的概率是:，乙解决这个问题的

4

概率是:，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是.

47.

函数y=sinx8Sx+7^8sG的最小正周期等于.

48.已知A(2,l),B(3,-9)直线L:5x+y-7=0与直线AB交于P点，点P分

AB所成的比为

49化筒而+QP+MN-MP=.

50.正方体ABCD—A'B'C'D'中，A'C'与B'C所成的角为

三、简答题(10题)

51.

(本小题满分13分)

2sin^cos0+—

设函数/网=.e[O.f]

⑴求/(—;

(2)求/“)的最小值.

52.（本小题满分12分）

椭圆2x2+y2=98内有一点A（-5,0）,在椭圆上求一点B,使|AB|最大.

53.

（本小题满分12分）

△A8c中，已知a'+J.=叫且lo&sinX+lo&sinC=-I,面积为万cm'，求它-

出的长和二个角的度数•

54.（本小题满分13分）

三角形两边之和为10,其夹角的余弦是方程2x2-3x-2=0的根，求这个

三角形周长的最小值.

55.（本小题满分12分）

已知等比数列前」中.%=16.公比g=1.

（I）求数列la.I的通项公式；

（2）若数列；的前n项的和S.=124.求n的俏

56.

（本小题满分12分）

已知数列I。1中・5=2.Q..I=yaa.

（I）求数列I。」的通项公式；

（H）若数列电|的前"项的和s.=祟求/＞的值•

57.(本小题满分12分)

设一次函数f(x)满足条件2/(l)+3f(2)=3且2/(-l)-f(O)=-1,求f(x)的

解析式.

58.

(本小题满分12分)

已知叁效方程

y=—e'1)sinft

■

(1)若，为不等于零的常量，方程表示什么曲线？

(2)若由&keN.)为常量.方程表示什么曲线？

(3)求证上述两个方程所表示的曲线有相同的焦点.

59.

(本小题满分12分)

已知等比数到｛an｝的各项都是正数，al=2,前3项和为14.

(1)求｛an｝的通项公式；

(2)设bn=log2an,求数列｛bn｝的前20项的和.

60.(本小题满分12分)

分别求曲线y=-3x2+2x+4上满足下列条件的点

⑴过这些点的切线与x轴平行；

⑵过这些点的切线与直线y=x平行.

四、解答题(10题)

61.

已知双曲线卷一£=1的两个焦点为F：.6.点P在双曲线上,若PF.1PF：,求：

if10

(1)点「到1轴的距离；

(DJAPF.F,的面积.

62.电流强度I随时间t的变化的函数关系式是I=Asin(ot,设0=100^

(弧度/秒)A=5(安倍)

I.求电流强度I变化周期与频率

n.当t=0,l/200,l/100,3/200,l/50(秒)时，求电流强度I(安培)

in.画出电流强度I随时间t的变化的函数的图像

63.已知正六棱锥的高和底的边长都等于a

(I)求它的对角面(过不相邻的两条侧棱的截面)的面积、全面积和体

积；

(II)求它的侧棱和底面所成的角，侧面和底面所成的角.

64.已知数列同｝的前n项和Sn=n(2n+1)

⑴求该数列的通项公式；

(II)判断39是该数列的第几项

65.设函数f(x)=-xex,求：

(I)f(x)的单调区间，并判断它在各单调区间上是增函数还是减函

数；

(II)f(x)在［20］上的最大值与最小值

66.某城有东西方向的街道七条，相邻两街的距离为b,南北方向的街道

八条，相邻两街的距离为a,形成-个矩形.

(I)从A到D的最短途径有多少条？

(II)从A经B和C到D的最短途径有多少条？

67.某城有东西方向的街道七条，相邻两街的距离为b南北方向的街道

八条，相邻两街的距离为a,形成一个矩形。

I.从A到D的最短途径有多少条？解析：每一条最短途径有6段b

及7段a,因此从A到D的最短途径共1716条。H.从A经B和C到

D的最短途径有多少条？

68.

求以曲线2/+,-4x-l0=0和y=2x-2的交点与原点的连线为渐近线,且实

轴在x轴上，实轴长为12的双曲线的方程.

己知公比为g（q#l）的等比数列｛4｝中，a,=-1,前3项和S,=-3.

（I）求9；

69.II）求口｝的通项公式.

70.某县位于沙漠边缘，到1999年底全县绿化率已达到30%,从2000

年开始，每年出现这样的局面；原有沙漠面积的16%被栽上树改为绿

洲，而同时原有绿地面积的4%又被侵蚀，变为沙漠

I.设全县的面积为1,1999年底绿洲面积为al=3/10,经过一年绿洲面

积为a2,经过n年绿洲面积为册'求证：=亏而

II.问至少经过多少年的绿化，才能使全县的绿洲面积超过60%（年取

整数）

五、单选题（2题）

71.（x-a-2）6展开式中，末3项的系数（a,x均未知）之和为

A.22B.12C.10D.-10

72.使函数y=x2-2x-3为增函数的区间是()

A.A.(1,+oo)B.(—oo,3)C.(3,+oo)D.(-oo.1)

六、单选题(1题)

俨u2pt2

73.关于参数t的方程1v"的图形是()

黑圆B.双曲线C.抛物线D.椭圆

参考答案

1.A

2.A由偶函数定义得:f(-l)=f(l),/.f(3)>f(l)=f(-l).

3.D

该小题主要考查的知识点为复合函数.【考试指导】

“"=书'则/(x-1)=

工-1+1=工

工一】x-r

4.A补集运算应明确知道是否包括端点.A在U中的补集是x<l,如图

VCuA{x|x<1},CuAUB={x|x<1}U{x|-l<x<2}={x|x<2}

5.D

6.B

R公式P⑷-登试验中等可能川现的结呆

”=a.事件A包含的结果“，一壮

所以p^=g-i-T

【分析】本也考查等可能事件，率的求法.是历

年考试的内客.

7.A

8.B

9.C不等式|2x-3|>5可化为:2x-3>5或2x-3<-5,解得x>4或x<-l.应

选(C).

【解题指要】本题主要考查解不等式的知识.对于Iax+b|>c(c>O)型

的不等式，可化为ax+

b>c或ax+b<-c;对于|ax+b|<c(c>0)型的不等式，可化为-c<ax+b<c.

10.C

二项式］展开式的通项为

严C：(十广„；尸.

当「.I为/项时.r=3,此时

7“产7,=C：』=20X'.

当73为常数项时,「=2,此时

T,.,=C：=I5.

故选(C).

【解题指要】本胸主要考代二项式(a+6厂展开式的通项公式注意这是凝

开式的笫r+1项.在学习中还饕注意二项式系数与系数的区别与联系.

11.B

设正三梭柱的底面的边长为心底面积为•劣=O.得a=2.

设正三核柱的高为机侧面积为3XaX/>=3X2X/i=3O.得A=5.

则比正三棱柱的体积为底而积Xj«=56.(答案为B)

12.D

13.C

14.D该小题主要考查的知识点为向量的数量积的性质.【考试指导】因

为a与b垂直，所以a+b=-2k+2=0,入=1.

15.D

（L：），=『一2i（：）+（：/=-1-2-1=-4....虚部为0.（答案为D）

16.Dx=l=>x2-l=0,而x2-l=0=>x=l或x=-l,故p是q的充分但不必要

条件.

17.D

函数1y=2’与函数工=1。8»,是指对

国般的两种书写方式，不是互为反函数，故是同一

条曲线，但在1y=2，中，工为自变量力为函数，在

x=logzy中，y为自变量为函数.

18.D

AC"AB*BC-（1,6+'-LL।-।：.21,故有t+l=2=>t=l.

19.D

A错误,例如：-2>—4,而7|-2|<

错误.例如：-10>一100,而lg（-10）2<

lg（=100）2.

C”课.例如，-1>—2,而（-1）'V（-2）'.

（十）°=2-

D对；•一a〈一b.又丁，•

（十）'=2T

.,.2--<2-*Sp(y)-<(y).

A解析：发”1。4.厂Z0,忸星《41«族育金0十林为（-*.0）.南同点朗印11公式得（】*1®#.，：

+（6〈3/•144.”得3=：.匈）*到具右位城和即*为l°x；♦竽|■世

21.A

方法一：

E-2CO船①

•：<,

y=2»\ne②

①'+②2得:h?+八4,

圆心0（0,0）.r=2,则B）心O到直线的距离为

10-0-91-9

73'+4?—5<2.

0VdV2,.•.直线与圆相交,而不过圆心.

方法二.1a图可得出结论,直线,与圆相交而不过

圆心（如图）.

22.A

23.C

24.D

77+l«Q>（―-<-iy.CJ,•令20—3r=5,得r=5,

所以T.一（一D'•/•工’=一25".（答案为口）

25.B

26.B

令5工=一1.得F.WJ

/20X(—.

/(-1)=/(5工)—logl'----七------=log172=k>gj2*=log)(y)-^=一■

27.A

28.D

29.B首先做出单位圆，然后根据问题的约束条件，利用三角函数线找出

满足条件的«角取值范围.

sina>tana,aG(-兀/2,兀/2),又Vsina=MP,tana=AT,(l)O<a<7r/2,sina<

tana.(2)-n/2<a<0,sina>tana.

30.B

31.

竽【解析】fr-fl=(l+r.2/-l,0).

\b-a=/(l+Qi+eLD'+O2

—2f+2

=J5(T)T)挈

3222.35,0.00029

33.

34.

12【解析】令y=0,糊A点坐标为（4.0）；令

r=0.得B点坐标为（0.3）.由此得AB|-

厅钎=5.所以△QAB的同长为3+4+5=12

35.

『二47.91使用科学计算器计算）.（答案为，

36.

工十2二1

<.科它的收入人工+1》-*+2々+1+•得

/“KLi+zy^i+iT+zyn^N/<x)-x+2yrn'.

3X-425=0

J/・7+

38.【答案】3

【解析】该小题主要考查的知识点为二次函数的最小值.

【考试指导】

由于二次函数/（jr）=ar2+21有支

.v,nW,4aX0—2Z1

小值，故a>0.故-----：---------r-=*a=30.

4a3

39.9

由题知S”=，故有a1=-1-,42=S2-a\=4------=3,

4乙LL

40.

±=252,『=28.7（使用科学计算器计算）.（谷案为28.7）

41.

<a|a<.2或a>2）

M因为A（.»）=2f-u/7次负依.

所以A-<-a）!-4x1X1

解之得a<-2^a>2.

【分析】本题看蚕对二次函数的图象与性盾、二

次不寻式的健法的掌捱.

42.

43.答案：2x+y+2=0

20题答案图

作8点关于了轴对•称的点连接

A4即为入射光蝶所在直比.由两点式知

x+3

料3一二6一41+y+2=0.

44.

45.

1

T

46.

47.

y=sinxcoir+VScos1x=-yy-»in(4r十不

函数yNsiozwtr+^cos1］的・小正周期为当f(答案为G

48.答案:4解析:由直线方程的两点式可得，过A(2,l)B(3,-9)的方程

为:

彳-2.y-1

10x+y-21=0

则《

5j"+y-7=0

0=-7

4+M2+3•3

•即

1+A1+A

1424-3A,..

H=TTT6=4.

514A

49.

50.

答案：60°【解析】正方体中A'C'与B'C为异面直线，因为AC

〃A'C',所以AC与B'C所成的角，即为A7C'与B'C所成的

角.又4AB'C为等边三角形.所以NACB7=60。。即A‘C'与B'C

成60o的角.求异面直线所成的角关键是将其转移至同一平面内.并表示

出该角，再求解.

1+2din0cos6+—

由题已知

(sin9+cos。)'+/

sin0♦COB^

令二=葡n6+costf,得

X>3

=*+^-=[7*-+2Vx,-=^

f(6)=一

G-+而

<2x

由此可求得J（看）=瓜/（G最小值为而

52.解

设点8的坐标为（苞,%）,则

1,

1481=y（»,+5）+y1①

因为点B在插BI上.所以24+yj=98

yJ=98-2*J②

将②ft人①，得

1481=/（阳+5）、98-21

1

=v/-（x,-10xl+25）+148

=7-（*,-5）i+148

因为・但-5）匕0,

所以当巧=5时，-3-5/的值最大，

故M8I也最大

当阳=5时.由②.得y严士4息

所以点8的坐标为（5.4万）或（5.-46）时M8I最大

53.

,-_,.,a3+J-hi21

24.M因为1+/-川=*所以一^一=万

即cos0=；■.而B为△48C内角，

所以B=60。.又logtsin.4+log4sinC=-1所以sin4•sinC=­.

则y[a»(4-C)-CT»(^+C)]=^-.

所以cos(4-C)-CT»120°=y.liflcos(4-C)=0

所以4-C=90°或A-C=-90°.又A+C=120。,

解得A=105°,C=15°;或4=15°,C=105".

5.=-LoARinC—2/?^sitvlsin/?ftinC

因为"2

=2片.\瓦亨.石^亭

所以和3所以R=2

所以a=2&in4=2x2xsinl05°=(#'+&j(cm)

b=2/tsinB=2x2x»in60°=27T(cm)

o

c=2/?»inC=2x2x8inl5=(76-v5)(cm)

或a=(石-左)(《n16=2"(cm)c=(而+&)(cm)

».二中长分别为(豆+4)cm,273cm、(区-A)cm.它们的对角依次为:13°⑻。,15”.

54.

设三角形三边分别为a,6.c且。+6=10川6=10-a.

方程2x2-3x-2=0可化为(2r♦I)(“-2)=0.所以.产,町=2.

因为a、b的夹角为8,且Icoe^Yl,所以costf=

由余弦定理,得

c*-2a(10-a)x(—---)

=2。'♦100—20a+10a-a1=a*—10。+100

=(a-5)J+75.

因为(a-5)\0.

所以当a-5=0,即a=5叫c的值最小,其值为历=56

又因为a+〃=10,所以c取得ft小值,a+b+e也取得最小值.

因此所求为10+5万：

55.

(I)因为a,=.d.即16=5x；,得%=64.

所以,该数列的通项公式为a.=64x(4-)-,

2

⑵由公式s「华g得,=丝孕，

g1.x

2

化初得2”=32,解得n=5.

56.

(1)由已知得。.射。.：125〒•

所以la]是以2为首项.4•为公比的等比数列.

所以a.=2(倒,BPa.=2^2-

632[i-(in小.小，

(U)由已知可得评」一号上所以由=(y).

,-T

解得n=6.12分

57.

设共外的解析式为，(幻^ax+b,

f2(a+6)4-3(2a46)=3,..41

依题意得,/,,._.解方程组，得a=亍,b=-5.

■,•〃工)=%/•

58.

（1）因为"0.所以e'+e^0,e*-eV0.因此原方程可化为

,•产；=C08g,①

e>e

=siM②

le-e

这里e为参数.①>+®,消去参数心得

44

所以方程表示的曲线是椭圆.

（2）由"竽,&eN.知c«，KO.sin'"O,而，为参数,原方程可化为

①2-②1,得

笔-练尸―亍.

<x»6sin6

因为21/'=2/=2,所以方程化简为

因此方程所表示的曲线是双曲线.

（3）证由（1）知,在椭圆方程中记》=.（巨芋工N=超？

则J=/-6、I,c=I,所以焦点坐标为（*1.0）.

由（2）知，在双曲线方程中记a'=88".炉=sin、.

'则J“'+配=1,c=l.所以焦点坐标为（±1,0）.

因此（I）与（2）中的两方程所表示的曲线有相同的焦点.

59.

(I)设等比数列的公比为小则2+2q+2g：=14,

即g5+-6=0,

所以g,=2,先=-3(舍去).

通项公式为4=2”.

(2)6.=lofea.=log}2*=n,

设q=%+&+•••+%

=I+2+…+20

=5x20x(20+l)=210.

2

60.

⑴设所求点为（"J.・..一一;扁明

y*=-6x+2.y'

1

由于二轴所在直线的斜率为0,则+2=OtZo=y

因此兀=-3.得尸+2.»4=号.

又点（上.号）不在x轴上，故为所求.

（2）设所求为点（%.九）.

*（1）./=-6q+2.

由于y=N的斜率为1.则-6*0+2=1.与=/.

因此%=—£+2•看+4耳

又点（看为不在直线'=工上•故为所求•

61.

（I）设所求双曲线的焦距为2c,由双曲线的标准方程可知<?=9由=】6,

得《二,所以你点^（-5,0）.^（5,0）.

设点P（4，”）（N©>0，M>0）.

因为点p—x）在双曲线上，则有,Y=i,①

又PF」PF：,则小,•%尸1町朱•瓷石=一，②

①②联立,消去工。.得改=学，即点P到工轴的距离为4=号.

（U）SA/F>F,=y|FlFl|•A=yX^Xl0=16.

62.

⑴丁=称［=念=枭"7=50(「).

所以电流强度/变化的周期为.频率为

50次/$.

（口）列表如下:

1131

，（秒）0

200Too20050

/=5sinl00xz050-50

T

-2

-3

-4

-5

63.

总正六•**$ABClJEF.SOfi^.SK»・SFFH・育.建楼AC4D.

■A5A(\A&4D.AD-U.AC-MB•MntfCf・C・.S4・SC-，前吓人。■〃•・

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<1>V»L<«,AZS4OlltM与*窗所成*禽.

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.%ZSKO«BSEF与底■及成的二・禽的干■禽.

-s»段•“不

•%SKO«arctM4

64.(1)当n>2时，an=Sz-Sn-i=2a2+n-2(n-l)2-(n-l)=4n-l

当n=l时，ai=3,满足公式an=4n-L所以数列｛an｝的通项公式为

an=4n-l

(II)设39是数列｛an｝的第a项,4n-l=39,解得n=10,即39是该数列

的第10项

65.本小题满分13分

解：(I)F(x)=-ex-xex=-(l+x)x

令P(x)=0,解得经x=-l

当x变化时，f(x)的变化情况如下表:

X(一8,1)-1(1,+8)

*(x)+0一

f(x)/1/e\

即f(X)的单调区间为(-00,