2021-2022学年辽宁省葫芦岛市建昌县九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年辽宁省葫芦岛市建昌县九年级（上）期末

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数学试卷

一、选择题（共10小题，共30.0分）

1.下列事件中，属于不可能事件的是（）

A.射击运动员射击一次，命中靶心

B.经过红绿灯路口，遇到绿灯

C.班里的两名同学，他们的生日是同一天

D.从只装有8个白球的袋子中摸出红球

2.已知。。的半径为5cm,若点4到圆心。的距离为4cm,则点4（）

A.在。。内B.在0。上

C.在。0外D.与©O的位置关系无法确定

3.抛物线沙=7+22—3与轴的交点坐标是（）

A.（0,-3）B.（-3,0）C.（0,2）D.（2,0）

4,下列是北京大学、中国科学院大学、中国药科大学和中南大学的标志中的图案，其

中是中心对称图形的是

A.2B.V3C.1

6.如图，四边形4BCD内接于©O,//7=80°，则/。为（

A.40°

B.80°

C.100°

D.160°

7.点P⑵—1）关于原点对称的点P，的坐标是（）

A.(-2,1)B.(-2,-1)C.(-1,2)D.(1,-2)

8.如图，A,B,。是0O上的三个点，若/73=66°，则/OAC

的度数为（）

O

B

A.24°

B.29°

C.33°

D.132°

9,二次函数y=-/-I的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法正确的是

（）

A.开口向上B.当2=0时，函数的最大值是一1

C.对称轴是直线;E=1D.抛物线与立轴有两个交点

10.如图，四边形4BCO是边长为2的正方形，点E是射线43

上的动点（点E不与点4,点3重合），点E在线段的

延长线上，且4F=4E,连接KF,FB.^AE=x,

的面积为9，下列图象能正确反映出?与立的函数关

系的是（）

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.抛物线g=3（工一5）2+4的顶点坐标为.

12.一个扇形的圆心角为90°，半径为2,则扇形面积=

13.一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上,

如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在黑砖上的

概率是.

14.将抛物线y=3/先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线为

15.若关于c的一元二次方程/+加工―6=0的一个根是2,则另一个根为

16.如图，PA,是©O的切线，A,B为切点,

ZOAB=30°,则乙4PB=.

第2页，共23页

17.AB,CO是。。的两条平行弦，。。的直径为10cm,AB=8cm,CD=6cm,

则43,间的距离为.

18.如图所示，△48。内接于©O,且圆心。在△4BC外部，^

O。，BC交于点D则以下结论中：产冷(

①/ABC=NA。。；②BC=2C。；③>l。平分N8AC；k07

@AB=CD.、/

所有正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共8小题，共96.0分)

19.已知关于x的一元二次方程mx2+3x+2=0有实数根.

(1)求m的取值范围；

(2)当m为正整数时，求此时方程的根.

20.如图，在边长为1的正方形组成的网格中建立直角坐标系，△408的顶点均在格

点上，点O为原点，点4,B的坐标分别是4(3,2),5(1,3).

(1)若将△AOB向下平移3个单位，则点B的对应点坐标为；

(2)将△力08绕点。逆时针旋转90°后得到△4。功，请在图中作出△小。场，

并求出这时点4的坐标为；

(3)求旋转过程中，线段。4扫过的图形的弧长.

yk

B/A

/

00

21.为了继续宣传新冠疫苗接种的重要性，某小区物业部门准备在已经接种疫苗的居民

中招募2名志愿宣传者，现有2名男性2名女性共4名居民报名.

(1)从4人中抽取1人为男性的概率是；

(2)请用列表或画树状图的方法，求要从这4人中随机挑选2人，恰好抽到一名男性

和一名女性的概率.

22.为了执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零

售价由100元降为81元.平均每次降价的百分率是多少？

第4页，共23页

23.如图，4B为。。的直径，点C,E为。O上两点，且瑟=00,连接4E,AC,

过点。作。。_LAE交AE的延长线于点D.

(1)求证：直线CO是00的切线.

(2)连接CE,若4B=4,ZEAC=30°，求阴影部分的面积.

24.“燃情冰雪，拼出未来”,北京冬奥会将于2022年2月4日如约而至.某商家已提

前开始冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品的销售.每个纪念品进价40元，规定销售

单价不低于44元，且不高于52元.销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天

可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个.现商家决定提价销售,

设每天销售量为9个，销售单价为立元.

(1)直接写出“与工之间的函数关系式和自变量r的取值范围；

(2)求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利2400元；

(3)将纪念品的销售单价定为多少元时，商家每天销售纪念品获得的利润2元最大?

最大利润是多少元？

25.如图①，在△48。中，ZA=90°,48=47,点。，E分别在边43,ACh,

且力。=4E.则CE=BD.现将△4DE绕点4顺时针方向旋转，旋转角为

a(0°<a<180°).如图②，连接CE,BD.

(1)如图②，请直接写出CE与BD的数量关系.

(2)将△4DE旋转至如图③所示位置时，请判断CE与BD的数量关系和位置关

系，并加以证明.

(3)在旋转的过程中，当△3。。的面积最大时，a=______.(直接写出答案即可)

D

图②

备用图

图③

第6页，共23页

26.如图，抛物线y=—/+bz+c与立轴交于A(LO),3(-3,0)两点，与V轴交于点

C,P是抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式；

(2)当点P在直线上方的抛物线上时，求△P8C的最大面积，并直接写出此时

P点坐标；

⑶若点"在抛物线的对称轴上，以B,C,P,时为顶点、为边的四边形

能否是平行四边形？若能，请直接写出点P的坐标；若不能，请说明理由.

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故A不符合题意；

及经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故8不符合题意；

C.班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，故C不符合题意；

D从只装有8个白球的袋子中摸出，是不可能事件，故。符合题意；

故选：D.

根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可.

本题考查了随机事件,熟练掌握随机事件,必然事件，不可能事件的特点是解题的关键.

2.【答案】A

【解析】解：；③。的半径为5cm,点4到圆心。的距离为4cni,5cm>4cm,

.•.点P在圆内.

故选：A.

直接根据点与圆的位置关系即可得出结论.

本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的三种位置关系是解答此题的关键.

3.【答案】A

【解析】解：•.■抛物线沙=/+2,—3,

.,.当r=0时，y=-3,

即抛物线y=x2+2x—3与V轴的交点坐标是(0,-3),

故选：A.

令r=0,求出相应的的值，即可得到抛物线沙=/+4/—1与犷轴的交点坐标.

本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确抛物

线与次轴交点，就是求出当z=0时9的值.

4.【答案】B

第8页，共23页

【解析】解：4不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

A是中心对称图形，故本选项符合题意；

C.不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D不是中心对称图形，故本选项不符合题意.

故选：B.

把一个图形绕某一点旋转180°,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图

形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解.

本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图

重合.

5.【答案】A

【解析】解：如图，连接OB,OC,过点。作0H±BC于H,

•.•六边形是正六边形，

:2BOC=ix360°=60°,

6

:OB=OC,

是等边三角形,

,-,BC=OB=OC=2,

.•・它的半径为2,

故选：A.

首先根据题意作出图形，然后可得是等边三角形，从而确定正六边形的半径.

本题考查了圆的内接正六边形的性质、正多边形的内角和、等边三角形的判定与性质.此

题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用

6.【答案】C

【解析】解：■.•四边形4BCD内接于。。，N3=80°，

ND=180°-ZB=180°-80°=100°,

故选：C.

运用圆内接四边形对角互补计算即可.

本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解答此题的关

键.

7.【答案】A

【解析】解：点P⑵一1)关于原点对称的点P，的坐标是(—2,1),

故选：A.

根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直

接写出答案.

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律.

8.【答案】A

【解析】解：=66°，

ZAOC=2ZB=2x66°=132°,

■,OA=OC,

：.ZOAC=|(180°—ZAOC)=1x(180°-132°)=|x48°=24°.

故选：A.

根据圆周角定理，由/8=66°，可得乙40。=2/3的度数，再由。4=0。，根据等

腰三角形的性质进行计算即可得出答案.

本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理进行计算是解决本题的关键.

9.【答案】B

【解析】解：•.•二次函数的解析式为“1，

.•.图象开口向下，故选项A错误，不符合题意；

当c=0时，函数的最大值为-1,故选项B正确，符合题意；

对称轴是直线z=0,故选项C错误，不符合题意；

令，=0时，—/-1=0,

x2=—1>无解，

.•.抛物线与2轴没有交点，故选项。错误，不符合题意.

故选：B.

先由函数的解析式可以判断选项A、B、C,然后令夕=0判断选项D

第10页，共23页

本题考查了二次函数的性质，解题的关键是会通过函数的顶点式得到函数的开口方向、

对称轴和最值.

10.【答案】B

【解析】解：•.•四边形是边长为2的正方形，

/.DAB=90°,AD=AB,

在△ADE和AAB尸中，

[AD=AB

<NDAE=/BAF,

(AE=AF

/\ADE三△ABF(SAS),

AADE=AABF,DE=BF,

•「ADEG=90°,

/ADE+NAED=NAED+ABEG,

ABEG=/ADE,

/BEG=AABF，

:.EG//BF,

：DE=BF,DE=GE,

：,EG=BF,

厂.四边形BFEG是平行四边形，

/.4BEF的面积=^BE-AF,

设4石=力，BEF的面积为沙，

当0<①<2时，y=|(2—xyx=—+x；

当工•>2时，y=(x—2)-2：=/—2,；

综上可知，当()WiW2时，函数图象是开口向下的抛物线；当7>2时，函数图象是

开口向上的抛物线，

符合上述特征的只有3,

故选：B.

分两种情况求出函数的解析式，再由函数解析式对各选项进行判断.

本题综合考查了正方形的性质和二次函数图象及性质，分段求出函数的解析式是解题的

关键.

11.【答案】(5,4)

【解析】解：•.・抛物线0=3(z—5产+4,

.•.该抛物线的顶点坐标为(5,4)，

故答案为：(5,4).

根据的抛物线的顶点式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决.

本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

12.【答案】7T

【解析】解：根据扇形的面积公式可得：扇形的面积=9°“*22=7r.

360

故答案为亓.

利用扇形的面积公式即可求解.

本题主要考查了扇形的面积公式的计算，正确理解公式是解题的关键.

13.【答案】|

【解析】解：•.•总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为5个小正方形的面

积，

二小球停在阴影部分的概率是,

故答案为：,

根据几何概率的求法：小球落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.

本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域

表示所求事件(4);然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件

(4)发生的概率.

14.【答案】？=3(工+1)2+2

第12页，共23页

【解析】解："=3/向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线为

y=3(z+l)2+2.

故答案为：y=3(工+I)?+2.

按照“左加右减，上加下减”的规律解答.

此题主要考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减.

15.【答案】-3

【解析】解：设方程另一根为力，

根据题意得2t=—6,

解得力=一3.

故答案为-3.

设方程另一根为t，根据根与系数的关系得到2t=-6,然后解一次方程即可.

本题考查了一元二次方程a/+故+c=0(a^0)的根与系数的关系：若方程的两根为

„,bc

①1,x2,贝1JN1+工2=——，xl'x2—~.

aa

16.【答案】60°

【解析】解：•；P4,PB是。。的切线，A,B为切点，

ZPAO=ZPBO=90°,

：OA=OB,

：.AOAB=AOBA=30°,

AAOB=180°-AOAB-AOBA=120°,

ZAPB=360°-APAO-2PBO-ZAOB=60°,

故答案为：60°.

根据切线的性质求出APAO=NPBO=90°，再利用等腰三角形的性质求出ZAOB的

度数，最后利用四边形的内角和进行计算即可.

本题考查了切线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

17.【答案】1cm或7cm

【解析】解：作于E,延长EO交CO于连接。4、OC,如图，

AB//CD,OELAB,

：,OFLCD,

AE=BE==4cm,

CF=DF=-CD=3cm,

2

在Rt/XOAE中，OE=\/AO2-AE2=y52-4=3cm，

在Rt/\OCF中，OF=yJCO2-CF2=y52-32=4cm，

当点。在4B与。。之间时，如图1,EF=OF+OE=4+3=7cmi

当点。不在AB与。。之间时，如图2,EF=OF—OE=4—3=1cm；

综上所述，与之间的距离为1cm或7cm.

故答案为1cm或7cm.

作于E,延长EO交。。于F,连接。4、OC，如图，利用平行线的性质

OFLCD,根据垂径定理得到AE=BE=4,CF=DF=3,则利用勾股定理可

计算出OE=3,OF=4,讨论：当点。在43与。。之间时，EF=OF+OE；当

点。不在43与。。之间时，EF=OF-OE.

本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.注意分

类讨论.

18.【答案】①③

【解析】解：•.•同弧所对圆周角相等,

AABC=AADC,故①正确；

：OD±BC,O。是0O的半径，

，----/---X

/.BD=CD，

：,BD=CD,

：.BC#2CD,故②错误；

/---N----

BD=CD，

：.ABAD=ZCAD,

二4。平分/氏4。，故③正确；

@-：^ABy=CD>

第14页，共23页

：.AB^CD,故④错误.

.•.所有正确结论的序号是①③.

故答案为：①③.

根据同弧所对圆周角相等，可以判断①正确；根据垂径定理可得&=33，所以

BD=CD,进而可以判断②；根据等弧所对圆周角相等可得乙84。=NC4D,进而

可以判断③；根据弧不等，它所对弦也不等，进而可以判断④，即可解决问题.

本题考查了三角形外接圆与外心，垂径定理，圆周角定理，解决本题的关键是掌握垂径

定理.

19.【答案】解：(1)根据题意得M/)且4=32—4mx220,

()

解得mW3且m^O.

O

Q

故m的取值范围为mW己且"必。；

8

9

⑵•••加且小片)，7兀为正整数，

8

771=1，

原方程化为X2+3X+2=0,

即(x+l)(a;+2)=0,

.,.z+l=O或工+2=0,

X!=—1,X2=~2.

【解析】(1)先根据根的判别式的意义得到4=32-4加义220,然后解不等式即可;

⑵先确定m=L然后利用因式分解法解方程.

本题考查了根的判别式：一元二次方程a/+比+c=0(a#0)的根与△=/一4ac有如

下关系：当△>()时，方程有两个不相等的实数根；当△=()时，方程有两个相等的实

数根；当△<()时，方程无实数根.也考查了解一元二次方程.

20.【答案】(1,0)(-2,3)

【解析】解：(1)点B的对应点坐标为(1,0),

故答案为：(1,0)；

⑵如图，△4O8i即为所求，这时点4的坐标为(一2,3),

故答案为：(—2：3)；

(3)*/OA=，22+32=61，

线段。4扫过的图形的弧长=22m=巫［

⑴利用平移变换的性质解决问题即可；

⑵利用旋转变换的性质分别作出4,B的对应点Ai，5即可；

(3)利用勾股定理求出OA,利用弧长公式求解即可.

本题考查作图-旋转变换，平移变换，弧长公式等知识，解题的关键是掌握旋转变换,

平移变换的性质，属于中考常考题型.

21.【答案】

【解析】解：(1)从4人中抽取1人为男性的概率是(2=1

故答案为:g；

(2)画树状图如下:

开始

男男女女

ZNZN/1\/K

男女女男女女男男女男男女

共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种,

二两人恰好是一男一女的概率为蒋=|.

■1/O

(1)直接利用概率公式求解即可;

第16页，共23页

(2)画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，再

由概率公式求解即可.

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从

中选出符合事件4或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

22.【答案】解：设平均每次降价的百分率是八

依题意得：100(1—7)2=81,

解得：a；i=0.1=10%,22=L9(不合题意，舍去).

答：平均每次降价的百分率是10%.

【解析】设平均每次降价的百分率是八利用经过两次降价后的价格=原价x(l-平均

每次降价的百分率产，即可得出关于X的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得

出结论.

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

23.【答案】(1)证明：连接OC,

：CDLAE,

：.ND=90°,

/------------，----S

•/BC=EC，

AEAC=ZCAB,

AOAC=AOCA,

AEAC=Z.OCA,

:.AD//OC,

ZD+ZPCO=180°,

ADCO=180°-ZD=90°,

・••OC是0。的半径，

直线CD是的切线；

(2)连接。E,过点。作。F_1.CE,垂足为F,

ZEAC=30°，

：.AEOC=2AEAC=60°，

:OE=OC,

△EOC是等边三角形，

EC=OE=OC=^AB=2,

EF=^EC=1,

OF=y/OE2-EF2=322—J=V3，

,阴影部分的面积=扇形EOC的面积一△EO。的面积

607rx221c

=-----------------x2xV3

3602

=%一\/3,

O

o

,阴影部分的面积为：3-瓜

O

【解析】(1)连接OC,利用等弧所对的圆周角相等NEAC=NCAB,再利用等腰三

角形的性质证出=从而证明4。〃。。，即可解答；

(2)利用圆周角定理求出/EOC=60°，然后证明△EOC是等边三角形，最后利用扇

形EOC的面积减去4EOC的面积进行计算即可解答.

本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，扇形面积的计算，勾股定理,

第18页，共23页

根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键.

24.【答案】解：（1）根据题意得：u=300—10Q—44）=—10工+740,

，V与1之间的函数关系式为4=-10a:+740（44（a:W52）；

（2）根据题意得：（一10立+740）（a;-40）=2400,

整理得：a:2-114^+3200=0，

解得：xi=50,x2=64,

-.-44W力（52,

力=50,

当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元；

⑶根据题意得：

w=（-10a:+740）（X-40）=-10x2+1140a:-29600=-10（^-57）2+2890,

•1--10<0,

.•.当工<57时，"随工的增大而增大，

■.-44W工（52,

.•.当c=52时，"有最大值，最大值为2640,

,将纪念品的销售单价定为2640元时，商家每天销售纪念品获得的利润2元最大，最

大利润是2640元.

【解析】（1）根据题意直接写出沙与工之间的函数关系式和自变量的取值范围；

⑵根据销售量x（售价-进价）=2400,解方程求出在自编量范围内的解即可；

（3）根据销售利润=销售量x（售价-进价），列出平均每天的销售利润〜（元）与销售价

4元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润.

本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问

题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结

合实际选择最优方案.其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），

也就是说二次函数的最值不一定在/=-2时取得.

25.【答案】135°

【解析】解：(l)CE=g。，理由如下：

・.・Z.CAB=/LEAD=90°，4CAB-ABAE=LEAD-4BAE,

/CAE=ABAD,

在△ZCE与△ABO中，

fAC=AB

</CAE=4BAD,

[AE=AD

.•.△ACE三△ABO(SAS),

，CE=BD；

0CE=BD,CELBD,

理由如下：设BO与CE的交点为R,

图③

・.・/.CAB=/LEAD=90°,/CAB-/BAE=LEAD-4BAE,

/./CAE=ABAD，

在△ACE与△AB。中，

'AC=AB

</CAE=LBAD,

AE=AD

：.^ACE^^ABD(SAS),

:.NACE=NABD,CE=BD,

：,ACAB=ACFB=90°，

：,CE=BD,CE±BD;

⑶在△3。。中，边BC的长是定值，则BC边上的高最大时，△BCD的面积最大,

当点。在线段BC的垂直平分线上时，△8CD的面积最大，如图所示，

第20页，共23页

：AB=AC,ACAB=90°-OG_LBC^G,

AGAB=45°,

匕DAB=180°-45°=135°,

即当△BCD的面积最大时，旋转角a=135°，

故答案为：135°.

(1)利用SAS证明AACEmAABD,可得结论；

(2)设与CE的交点为F,同理利用S4s证明△力CE三△AB。，得

AACE=AABD,CE=BD,则/CAB=/CFB=90°;

(3)根据边的长是定值，则BC边上的高最大时，△BCD的面积最大，则当点。在

线段的垂直平分线上时，△BCD的面积最大，画出图形即可解决问题.

本题是几何变换综合题，