数学-湖南雅礼中学2023-2024学年高三上学期月考（二）带答案

大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学分.是符合题目要求的.2.全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，则阴影部分表示的集合是()xlog2xxlog2x2x+2一xA.B.C.D.A.3B.3C.4D.45.某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球第1页/共5页的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为1.5π~4.7）6.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，a1>0，则“公比q>0”是“对于任意neN*，Sn>0”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为()AπC.48.已知函数f(x)的定义域为R，xfx-1>0的解集为BπD.4f(2+x)=f(-x),f(-2)=-f(4)，且f(x)在[1,+构)上递增，则C.9.对于实数a，b，c，下列选项正确的是()10.已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+，则下列说法正确的是()A.f(x)=sin2x-第2页/共5页B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的对称轴方程为x=kπ+D.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移个单位长度得到11.设Sn是公差为d（d子0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是()A.若d<0，则S1是数列{Sn}的最大项B.若数列{Sn}有最小项，则d>0C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的：neN*，均有Sn<0D.若对任意的neN*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD一含端点则下列说法正确的是()A.四面体A1D1MN的体积为定值B.当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面A1MN平行C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的最小值为222D.当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则过A1，M，N三点作正方体的截面，所得截面为五边形14.在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分ZAOC，第3页/共5页(34)(34)15.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为.16.已知菱形ABCD中，对角线BD=2，将ΔABD沿着BD折叠，使得二面角A-BD-C为120°,AC=3，则三棱锥A-BCD的外接球的表面积为.证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=a+an.（2）若a=8，‘ABC的内切圆半径为，求‘ABC的周长.（2）求二面角A1-B1C1-A的正弦值.20.如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)上一点A(0,)，右焦点为F(c,0)，直线AF交椭圆于B第4页/共5页（2）若直线y=kx(k>0)与椭圆相交于C,D两点，求四边形ACBD面积的最大值.21.如图所示，ABCP是圆锥的一部分(A为圆锥的顶点)，O是底面圆的圆心，ZBOC=，P是弧BC上一动点（不与B、C重合满足ZCOP=θ.M是AB的中点，OA=2OB=2.（1）若MP//平面AOC，求sinθ的值；（2）若四棱锥M一OCPB的体积大于，求三棱锥A一MPC体积的取值范围.22.混管病毒检测是应对单管病毒检测效率低下的问题，出现的一个创新病毒检测策略，混管检测结果为阴性，则参与该混管检测的所有人均为阴性，混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中至少有一人为阳性．假设一组样本有N个人，每个人患病毒的概率相互独立且均为p(0<p<1)．目前，我们采用K人混管病毒检测，定义成本函数f(X)=+KX，这里X指该组样本N个人中患病毒的人数.<K<20．证明：某混管检测结果为阳性，则参与该混管检测的人中大概率恰有一人为阳性.第5页/共5页大联考雅礼中学2024届高三月考试卷（二）数学分.是符合题目要求的.【答案】C【解析】【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的定义求解.故选:C.2.全集U=R，集合A={2,3,5,7,9}，B={4,5,6,8}，则阴影部分表示的集合是()【答案】C【解析】【分析】根据给定的条件利用韦恩图反应的集合运算直接计算作答.第1页/共21页A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数的奇偶性和特殊点即得.f(x)，所以f(x)为奇函数，排除答案B，D；故选:A.A.3B.3C.4D.4【答案】A【解析】【分析】建立直角坐标系，写出相关点的坐标，得到，，利用数量积的坐标运算计算即可.【详解】以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示直角坐标系，第2页/共21页(2,3)，故选：A.5.某校科技社利用3D打印技术制作实心模型．如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台．其中半球的体积为144πcm3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半．打印所用原料密度为1.5g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为1.5π~4.7）【答案】C【解析】【分析】由题意可知所需要材料的体积即为半球体积与圆台体积之和，先求出圆台的体积，再利用组合体的体积乘以打印所用原料密度可得结果.【详解】设半球的半径为R，因为V半球=3,所以R=6，由题意圆台的上底面半径及高均是3，下底面半径为6，3，所以制作该模型所需原料的质量为207πx1.5~207x4.7=972.9g第3页/共21页2|a1-n1--n1|2|a1-n1--n1|2=a|1(1)1n|36.已知数列{an}为等比数列，其前n项和为Sn，a1>0，则“公比q>0”是“对于任意n=N*，Sn>0”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果.21=a13||nn|所以由对于任意n=N*，Sn>0，推不出q>0，故必要性不成立；所以“公比q>0”是“对于任意n=N*，Sn>0”的充分不必要条件.故选:A7.若存在实数a，对任意的x∈[0，m]，都有(sinx－a)·(cosx－a)≤0恒成立，则实数m的最大值为()BπBπD.4【答案】C【解析】2【分析】根据已知不等式得到，要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a=2余弦函数图象的性质进行解答即可.【详解】在同一坐标系中，作出y＝sinx和y＝cosx的图象，的同一侧，利用正弦函数、当m=时，要使不等式恒成立，只有a＝，第4页/共21页当m＞时，在x∈[0，m]上，必须要求y＝sinx和y＝cosx的图象不在y＝a＝的同一侧.∴由图可知m的最大值是.8.已知函数f(x)的定义域为R，f(2+x)=f(-x),f(-2)=-f(4)，且f(x)在[1,+构)上递增，则C.【答案】D【解析】【分析】根据f(2+x)=f(-x)可得f(x)关于直线x=1对称，根据f(-2)=-f(4)可得f(-2)=f(4)=0，结合函数f(x)的单调性可得函数图象，根据图象列不等式求解集即可.【详解】解：函数f(x)，满足f(2+x)=f(-x)，则f(x)关于直线x=1对称，所以f(-2)=f(4)=-f(4)，即f(-2)=f(4)=0，)上递增，所以f(x)在(-构,1)上递减，则可得函数f(x)的大致图象，如下图：.故选：D.第5页/共21页9.对于实数a，b，c，下列选项正确的是()【答案】ABD【解析】【分析】利用比较法、特例法逐一判断即可. 故选：ABD.10.已知函数f(x)=sinxcosx-cos2x+，则下列说法正确的是()A.f(x)=sin2x-B.函数f(x)的最小正周期为πC.函数f(x)的对称轴方程为x=kπ+D.函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移个单位长度得到【答案】AB【解析】【分析】利用二倍角公式及辅助角公式化简函数，再结合正弦函数的图像性质逐项判断.第6页/共21页,所以A正确；对于B，函数f(x)的最小正周期为=π,所以B正确；对于C，由2x-=+kπ,keZ，得x=+，keZ，所以函数f(x)的对称轴方程为x=+，keZ，所以C不正确；对于D，y=sin2x的图象向右平移个单位长度，得y=sin2x-=sin2x-，所以函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向右平移个单位长度得到，所以D不正确.故选：AB.11.设Sn是公差为d（d子0）的无穷等差数列{an}的前n项和，则下列命题正确的是()A.若d<0，则S1是数列{Sn}的最大项B.若数列{Sn}有最小项，则d>0C.若数列{Sn}是递减数列，则对任意的：neN*，均有Sn<0D.若对任意的neN*，均有Sn>0，则数列{Sn}是递增数列【答案】BD【解析】【分析】取特殊数列判断A；由等差数列前n项和的函数特性判断B；取特殊数列结合数列的单调性判断C；讨论数列{Sn}是递减数列的情况，从而证明D.【详解】对于A：取数列{an}为首项为4，公差为-2的等差数列，S1=4<S2=6，故A错误；数.当数列{Sn}有最小项，即Sn有最小值，Sn对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，d>0，B正确；对于C：取数列{an}为首项为1，公差为-2的等差数列，Sn=-n2+2n，第7页/共21页都为负数，不能保证对任意neN*，均有Sn>0.故若对任意neN*，均有Sn>0，有数列{Sn}是递增数列，故D正确.故选：BD12.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD一含端点则下列说法正确的是()A.四面体A1D1MN的体积为定值B.当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则在正方体中存在棱与平面A1MN平行C.直线MN与平面ABCD所成角的正切值的最小值为222D.当M，N分别为棱B1C1，CD的中点时，则过A1，M，N三点作正方体的截面，所得截面为五边形【答案】ACD【解析】【分析】求出四面体的体积判断A；把正方体的棱分成3类，再判断各类中的一条即可判断B；作出线面角，并求出其正切表达式判断C；利用线线、线面平行的性质作出截面判断D.【详解】点M，N在棱B1C1，CD上运动时，M到A1D1距离始终为2，N到平面A1D1M的距离始终为2，所以四面体A1D1MN的体积VN一A1MD1=x2xx2x2=恒为定值，A正确；第8页/共21页22又A1A,A1B1,A1D不与平面A1MN平行，则在正方体ABCD-A1B1C1D1中，不存在棱与平面A1MN平行，B错误；正方体棱长为2，如图1，过M作MM1LBC于M1，则有MM1L平面ABCD，于是MN与平面ABCD所成角即为ZMNM1，于是tanZMNM1==MN，2又M1N长度的最大值为2，所以MN与平面ABCD所成角的正切值的最小值为2如图2，取BC中点M,，连接AM,,MM,，有MM,//BB1//AA1，且MM,=BB1=AA1，则四边形AA1MM,是平行四边形，有AM,//A1M，过N作AM,的平行线交AD于点E，此时DE=DA，则EN//A1M，即EN为过A1，M，N三点的平面与平面ABCD的交线，连接A1E，在BC上取点F，使得CF=CB，同证AM,//A1M的方法得A1E//B1F，在棱CC1上取点G，使CG=CC1，连接MG并延长交直线BC于H，则CH=C1M=CF，即FH=C1M=B1M，而FH//B1M，于是四边形FHMB1是平行四边形，有MG//B1F//A1E，则MG为过A1，M，N三点的平面与平面BCC1B1的交线，连接NG，则可得五边形A1MGNE即为正方体中过A1，M，N三点的截面，D正确.故选：ABD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.13.若函数f(x)=x-alnx的图象在x=1处的切线斜率为3，则a=.第9页/共21页【答案】-2【解析】【分析】求导，利用f'(1)=3求解即可.【详解】解：因为f(x)=x-alnx，所以f'(x)=1-，又函数f(x)=x-alnx的图象在x=1处的切线斜率为3，故答案为：-214.在平面直角坐标系xOy中，圆O与x轴的正半轴交于点A，点B，C在圆O上，若射线OB平分ZAOC，(34)(34)(724)(724)【解析】【详解】由题意可知圆O的半径为((3)2(4)235cosQ35215.已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)+ex是偶函数，y=f(x)-3ex是奇函数，则f(x)的最小值为.【解析】第10页/共21页【分析】由题意可得fxex2ex，再结合基本不等式即可得答案.【详解】解：因为函数yfxex为偶函数，则fxexfxex，即fxfxexex，①又因为函数yfx3ex为奇函数，则fx3exfx3ex，即fxfx3ex3ex，②联立①②可得fxex2ex，由基本不等式可得fxex2ex22，当且仅当ex2ex时，即当xln2时，等号成立，故函数fx的最小值为2.故答案为：216.已知菱形ABCD中，对角线BD2，将ΔABD沿着BD折叠，使得二面角ABDC为120°,AC3，则三棱锥ABCD的外接球的表面积为.【答案】28【解析】【分析】将‘ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，得到AEC120，在△AEC中由余弦定理求出AE的长，进一步求出AB的长,分别记三角形ΔABD与ΔBCD的重心为G、F，记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，证明Rt△OGE与Rt‘OFE全等，求出OE，再推出BDOE，连接OB，由勾股定理求出OB，即可得出外接球的表面积.【详解】将‘ABD沿BD折起后，取BD中点为E，连接AE，CE，则AEBD，CEBD，所以AEC即为二面角ABDC的平面角，所以AEC120；设AEa，则AECEa,在△AEC中AC2AE2EC22AECEcos120，即272a22aa解得a3，即AE3，所以AB2所以ΔABD与ΔBCD是边长为2的等边三角形. 第11页/共21页分别记三角形ΔABD与ΔBCD的重心为G、F，则EG=AE=1，EF=CE=1；即EF=EG；因为ΔABD与ΔBCD都是边长为2的等边三角形，所以点G是ΔABD的外心，点F是ΔBCD的外心；记该几何体ABCD的外接球球心为O，连接OF，OG，根据球的性质，可得OFL平面BCD，OGL平面ABD，所以‘OGE与△OFE都是直角三角形，且OE为公共边，所以Rt△OGE与Rt‘OFE全等，因此ZOEG=ZOEF=ZAEC=60。，因为AELBD，CELBD，AEICE=E，且AE仁平面AEC，CE仁平面AEC，所以BDL平面AEC；又OE仁平面AEC，所以BDLOE，223连接OB，则外接球半径为OB223故答案为：28π【点睛】思路点睛：求解几何体外接球体积或表面积问题时，一般需要结合几何体结构特征，确定球心位置，求出球的半径，即可求解；在确定球心位置时，通常需要先确定底面外接圆的圆心，根据球心和截面外接圆的圆心连线垂直于截面，即可确定球心位置；有时也可将几何体补型成特殊的几何体（如长方体根据特殊几何体的外接球，求出球的半径.证明过程或演算步骤.17.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn=a+an.第12页/共21页4nnn（2）证明见解析.【解析】n,Sn的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果；（2）根据（1）中所求，利用裂项求和法求得Tn，即可证明.【小问1详解】1，annn1，两式相减，n}为正项数列，故可得anan1=1，所以数列{an}是以a1=1为首项，d=1为公差的等差数列，【小问2详解】T222222222222=+++...+++（2）若a=8，‘ABC的内切圆半径为，求‘ABC的周长.【解析】第13页/共21页【分析】（1）由正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出tanA的值，结合角A的取值范围可求得角A的值；（2）利用三角形的面积公式可得出b+c+8=bc，结合余弦定理可求得b+c的值，即可求得‘ABC的周长.【小问1详解】【小问2详解】2π.3解：由（1）知，A=，因为‘ABC内切第14页/共21页（2）求二面角A1-B1C1-A的正弦值.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质和判断定理可得B1CL平面ABC1，从而即可证明ABLB1C；（2）建立以O为原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为x，y，z轴的空间坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】因为BC=BB1，四边形BB1C1C是平行四边形，所以四边形BB1C1C是菱形，所以BC1LB1C.所以B1CL平面ABC1，因为AB仁平面ABC1，所以ABLB1C.【小问2详解】解：以O为原点，分别以OB，OB1，OA所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，-,0,0，，第15页/共21页设平面B1C1A1的一个法向量为=(x2,22)，设二面角A1B1C1A的大小为θ,------ x7---437所以sinθ=12=437所以43所以二面角A1B1C143720.如图，已知椭圆C:+=1(a>b>0)上一点A(0,)，右焦点为F(c,0)，直线AF交椭圆于B（2）若直线y=kx(k>0)与椭圆相交于C,D两点，求四边形ACBD面积的最大值.第16页/共21页 26【解析】标准方程；（2）直线AF的方程为x+y-=0，与椭圆联立求出B(,-)，求出点A,B到直线y=kx(k>0)的距离为d1=，d2=，联立直线y=kx与椭圆方程结合弦长公式求出CD，求出四边形ACBD的面积S=CD(d1+d2)，整理化简利用二次函数求出最值.,整理得：4x2-6x=2(x2-3x)= 22设点A(0,)，B(,-)到直线y=kx设点A(0,)，d2 2k .常常kk2x-..第17页/共21页k2+12k2+12 .362 .362222 【点睛】思路点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.21.如图所示，ABCP是圆锥的一部分(A为圆锥的顶点)，O是底面圆的圆心，ZBOC=，P是弧BC上一动点（不