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文档简介

第五章

切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式二、大数定律第一节与大数定律(13)1/13怎样从理论上说明这一现象？这么作理论依据是什么？

问题1频率稳定性问题事件A发生频率在相同条件下进行n次重复试验，总是在[0,1]上一个确定常数p附近摆动，而且伴随试验次数n增大，越来越稳定地趋于p。问题2在精密测量时要重复测量然后再取平均值？引言:2/13问题1就能得以处理.（1）对于问题1，要说明频率趋于常数p，自然会想到极限概念.假如能证实即对任意存在正整数N，对于因为,其随机性使不论N取多大值,请看下面图示:3/134/13（3）（2）所以，只能求其次，去求证下面两式成立：为此,先来证实概率论中一个主要不等式——切比雪夫不等式.或或5/13一.切比雪夫不等式（4）（5）即有定理1（切比雪夫定理）设随机变量数学期望方差存在，则对任意有：证:仅就连续型随机变量情形进行证实.设X概率密度函数为则有6/13证毕.方差为由切比雪夫不等式有:解:试预计X落在(80,120)内概率.例1

已知随机变量X数学期望为7/13例2在每次试验中事件A发生概率为0.5.试用切比解：雪夫不等式预计在1000次独立试验中,事件A发生次数在450至550次之间概率.设X表示事件A在1000次独立试验中发生次数,则：由切比雪夫不等式有：8/13二.大数定律定理2用事件发生频率来近似地预计它概率.贝努里大数定律说明，在相同条件下独立地重复做n次当n较大时，事件A发生频率与在每概率可任意地小（靠近于0）.所以，在实践中能够通试验，次试验中发生概率p之差绝对值大于任意指定正数过重复试验，贝努里大数定律9/13所以由切比雪夫不等式，证:有下式成立两边取极限，得对任意10/13切比雪夫大数定理定理3：证：11/13由切比雪夫不等式，对任意有：从而：证毕.推论：12/13推论说明，若对同一随机现象进行重复观察，则其平均值与它期望值之差绝对值大于任意指定小数概率可任意地小.这一理论恰好回答了问题2.即在进行精密测量时，为降低测量误差，能够重复测量屡次，然后用测量值平均值来代替实际真值.当测

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