高考数学复习第九章平面解析几何9.8曲线与方程市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§9.8曲线与方程1/77基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引2/77基础知识自主学习3/771.曲线与方程定义普通地，在直角坐标系中，假如某曲线C上点与一个二元方程f(x，y)＝0实数解建立以下对应关系：知识梳理那么，这个方程叫做

，这条曲线叫做

.曲线方程方程曲线这个方程解曲线上点4/772.求动点轨迹方程基本步骤任意x,y所求方程5/771.“曲线C是方程f(x，y)＝0曲线”是“曲线C上点坐标都是方程f(x，y)＝0解”充分无须要条件.2.曲线交点与方程组关系：(1)两条曲线交点坐标是两个曲线方程公共解，即两个曲线方程组成方程组实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.知识拓展6/77判断以下结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上充要条件.()(2)方程x2＋xy＝x曲线是一个点和一条直线.()(3)到两条相互垂直直线距离相等点轨迹方程是x2＝y2.()(4)方程y＝与x＝y2表示同一曲线.()(5)y＝kx与x＝y表示同一直线.()×××√×思索辨析7/77

考点自测1.(教材改编)已知点F(，0)，直线l：

，点B是l上动点，若过点B垂直于y轴直线与线段BF垂直平分线交于点M，则点M轨迹是答案解析A.双曲线 B.椭圆C.圆 D.抛物线由已知|MF|＝|MB|，依据抛物线定义知，点M轨迹是以点F为焦点，直线l为准线抛物线.几何画板展示8/77

A.两条直线 B.两条射线C.两条线段 D.一条直线和一条射线解析即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示曲线是一条射线和一条直线.答案9/77

3.(·南昌模拟)已知A(－2,0)，B(1,0)两点，动点P不在x轴上，且满足∠APO＝∠BPO，其中O为原点，则P点轨迹方程是A.(x＋2)2＋y2＝4(y≠0)B.(x＋1)2＋y2＝1(y≠0)C.(x－2)2＋y2＝4(y≠0)D.(x－1)2＋y2＝1(y≠0)答案解析由角平分线性质定理得|PA|＝2|PB|，整理得(x－2)2＋y2＝4(y≠0)，故选C.几何画板展示10/774.过椭圆(a>b>0)上任意一点M作x轴垂线，垂足为N，则线段MN中点轨迹方程是________________.答案解析设MN中点为P(x，y)，几何画板展示11/775.(·唐山模拟)设集合A＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝}，C＝{(x，y)|2|x－3|＋|y－4|＝λ}.若(A∪B)∩C≠∅，则实数λ取值范围是________.解析答案几何画板展示12/77由题意可知，集合A表示圆上点集合，集合B表示圆上点集合，集合C表示曲线2|x－3|＋|y－4|＝λ上点集合，这三个集合所表示曲线中心都在(3,4)处，集合A、B表示圆，集合C则表示菱形，能够将圆与菱形中心同时平移至原点，如图所表示，13/77题型分类深度剖析14/77题型一定义法求轨迹方程例1如图，动圆C1：x2＋y2＝t2，1<t<3，与椭圆C2：＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2左，右顶点.求直线AA1与直线A2B交点M轨迹方程.解答几何画板展示15/77由椭圆C2：＋y2＝1，知A1(－3,0)，A2(3,0).设点A坐标为(x0，y0)；由曲线对称性，得B(x0，－y0)，设点M坐标为(x，y)，16/7717/77应用定义法求曲线方程关键在于由已知条件推出关于动点等量关系式，由等量关系结合曲线定义判断是何种曲线，再设出标准方程，用待定系数法求解.思维升华18/77跟踪训练1已知两个定圆O1和O2，它们半径分别是1和2，且|O1O2|＝4.动圆M与圆O1内切，又与圆O2外切，建立适当坐标系，求动圆圆心M轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线.解答几何画板展示19/77如图所表示，以O1O2中点O为原点，O1O2所在直线为x轴建立平面直角坐标系.由|O1O2|＝4，得O1(－2,0)，O2(2,0).设动圆M半径为r，则由动圆M与圆O1内切，有|MO1|＝r－1；由动圆M与圆O2外切，有|MO2|＝r＋2.∴|MO2|－|MO1|＝3<4＝|O1O2|.∴点M轨迹是以O1、O2为焦点，实轴长为3双曲线左支.20/77题型二直接法求轨迹方程解答(1)求椭圆C标准方程；所以a＝3，b2＝a2－c2＝4，21/77(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C两条切线相互垂直，求点P轨迹方程.解答几何画板展示22/77若两切线斜率均存在，设过点P(x0，y0)切线方程是y＝k(x－x0)＋y0，Δ＝[18k(y0－kx0)]2－36(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0，23/77又所引两条切线相互垂直，设两切线斜率分别为k1，k2，若两切线中有一条斜率不存在，所以，动点P(x0，y0)轨迹方程是x2＋y2＝13.24/77直接法求曲线方程时最关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证实这五个步骤，但最终证实能够省略，假如给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线方程后还需注意检验方程纯粹性和完备性.思维升华25/77跟踪训练2在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆(a>b>0)左，右焦点.已知△F1PF2为等腰三角形.解答(1)求椭圆离心率e；设F1(－c,0)，F2(c,0)(c>0).由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即26/77(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上点，满足＝－2，求点M轨迹方程.解答几何画板展示27/77由(1)知a＝2c，b＝c，可得椭圆方程为3x2＋4y2＝12c2，直线PF2方程为y＝(x－c).消去y并整理，得5x2－8cx＝0.解得x1＝0，x2＝c，28/77设点M坐标为(x，y)，29/7730/77题型三相关点法求轨迹方程例3(·大连模拟)如图所表示，抛物线C1：x2＝4y，C2：x2＝－2py(p>0).点M(x0，y0)在抛物线C2上，过M作C1切线，切点为A，B(M为原点O时，A，B重合于O).当x0＝1－时，切线MA斜率为－.解答(1)求p值；31/77因为抛物线C1：x2＝4y上任意一点(x，y)切线斜率为y′＝，且切线MA斜率为－，由①②得p＝2.32/77(2)当M在C2上运动时，求线段AB中点N轨迹方程(A，B重合于O时，中点为O).解答几何画板展示33/77由N为线段AB中点，知所以切线MA，MB方程分别为34/77当x1＝x2时，A，B重合于原点O，AB中点N为点O，坐标满足x2＝y.所以AB中点N轨迹方程是x2＝y.35/77“相关点法”基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；(2)求关系式：求出两个动点坐标之间关系式(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点轨迹方程.思维升华36/77跟踪训练3设直线x－y＝4a与抛物线y2＝4ax交于两点A，B(a为定值)，C为抛物线上任意一点，求△ABC重心轨迹方程.解答几何画板展示37/77设△ABC重心为G(x，y)，点C坐标为(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).消去y并整理得x2－12ax＋16a2＝0.∴x1＋x2＝12a，y1＋y2＝(x1－4a)＋(x2－4a)＝(x1＋x2)－8a＝4a.∵G(x，y)为△ABC重心，38/77又点C(x0，y0)在抛物线上，(3y－4a)2＝4a(3x－12a)，∴将点C坐标代入抛物线方程得∴△ABC重心轨迹方程为39/77典例(12分)已知抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，椭圆＝1右焦点恰为抛物线焦点，且椭圆离心率为.分类讨论思想在曲线方程中应用思想与方法系列22(1)求抛物线与椭圆方程；(2)若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴直线上一点，＝λ(λ≠0)，试求Q轨迹.思想方法指导规范解答40/77(1)由含参数方程讨论曲线类型时，关键是确定分类标准，普通情况下，依据x2，y2系数与0关系及二者之间大小关系进行分类讨论.(2)等价变换是解题关键：即必须分三种情况讨论轨迹方程.(3)区分求轨迹方程与求轨迹问题.返回41/77解(1)因为抛物线y2＝2px经过点M(2，－2)，所以(－2)2＝4p，解得p＝2.所以抛物线方程为y2＝4x，其焦点为F(1,0)，即椭圆右焦点为F(1,0)，得c＝1.又椭圆离t心率为，所以a＝2，可得b2＝4－1＝3，故椭圆方程为(2)设Q(x，y)，其中x∈[－2,2]，设P(x，y0)，因为P为椭圆上一点，42/7743/77此轨迹是两条平行于x轴线段；[8分]此轨迹表示实轴在y轴上双曲线满足x∈[－2,2]部分；[10分]此轨迹表示长轴在x轴上椭圆满足x∈[－2,2]部分.[12分]返回44/77课时作业45/771.(·宜春质检)设定点M1(0，－3)，M2(0,3)，动点P满足条件|PM1|＋|PM2|＝a＋(其中a是正常数)，则点P轨迹是2345678910111213答案解析A.椭圆 B.线段C.椭圆或线段 D.不存在当|PM1|＋|PM2|＝6时，点P轨迹是线段M1M2；故选C.1√46/772.若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(－5,0)，B(5，0)距离之差绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”是12345678910111213答案解析A.x＋y＝5 B.x2＋y2＝9C. D.x2＝16y√47/77∵M到平面内两点A(－5,0)，B(5,0)距离之差绝对值为8，∴M轨迹是以A(－5,0)，B(5,0)为焦点双曲线，方程为.A项，直线x＋y＝5过点(5,0)，故直线与M轨迹有交点，满足题意；B项，x2＋y2＝9圆心为(0,0)，半径为3，与M轨迹没有交点，不满足题意；C项，右顶点为(5,0)，故椭圆与M轨迹有交点，满足题意；D项，方程代入，可得y－＝1，即y2－9y＋9＝0，∴Δ>0，满足题意.1234567891011121348/773.(·银川模拟)已知点P是直线2x－y＋3＝0上一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点轨迹方程是A.2x＋y＋1＝0 B.2x－y－5＝0C.2x－y－1＝0 D.2x－y＋5＝0√2345678910111213答案解析由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.149/774.(·太原模拟)已知圆锥曲线mx2＋4y2＝4m离心率e为方程2x2－5x＋2＝0根，则满足条件圆锥曲线个数为A.4 B.3 C.2 D.1√12345678910111213答案解析50/7712345678910111213∵e是方程2x2－5x＋2＝0根，当它表示焦点在x轴上双曲线时，当它表示焦点在x轴上椭圆时，当它表示焦点在y轴上椭圆时，51/7712345678910111213∴满足条件圆锥曲线有3个.52/775.已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－4，点R是直线l上一点，若，则点P轨迹方程为A.y＝－2x B.y＝2xC.y＝2x－8 D.y＝2x＋412345678910111213答案解析√53/7712345678910111213设P(x，y)，R(x1，y1)，由知，点A是线段RP中点，∵点R(x1，y1)在直线y＝2x－4上，∴y1＝2x1－4，∴－y＝2(2－x)－4，即y＝2x.54/776.平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足＝λ1＋λ2(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C轨迹是A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线√12345678910111213答案解析设C(x，y)，则＝(x，y)，＝(3,1)，＝(－1,3)，又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线.55/777.曲线C是平面内与两个定点F1(－1,0)和F2(1,0)距离积等于常数a2(a>1)点轨迹.给出以下三个结论：①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点P在曲线C上，则△F1PF2面积小于a2.其中，全部正确结论序号是________.12345678910111213答案解析②③56/7712345678910111213因为原点O到两个定点F1(－1,0)，F2(1,0)距离积是1，且a>1，所以曲线C不过原点，即①错误；因为F1(－1,0)，F2(1,0)关于原点对称，所以|PF1||PF2|＝a2对应轨迹关于原点对称，即②正确；57/778.(·西安月考)已知△ABC顶点A，B坐标分别为(－4,0)，(4,0)，C为动点，且满足sinB＋sinA＝sinC，则C点轨迹方程为________________.12345678910111213答案解析则|AC|＋|BC|＝10>8＝|AB|，∴满足椭圆定义.则a′＝5，c′＝4，b′＝3，则轨迹方程为58/7712345678910111213答案解析59/7712345678910111213设Q(x，y)，60/7734567891011121310.已知圆方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1，0)且以圆切线为准线，则抛物线焦点轨迹方程是________________.设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，∴|FA|＋|FB|＝4>2＝|AB|，故F点轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4椭圆(去掉长轴两端点).答案解析1261/7711.已知实数m>1，定点A(－m,0)，B(m,0)，S为一动点，点S与A，B两点连线斜率之积为－.12345678910111213解答(1)求动点S轨迹C方程，并指出它是哪一个曲线；∵m>1，∴轨迹C是中心在坐标原点，焦点在x轴上椭圆(除去x轴上两顶点)，其中长轴长为2m，短轴长为2.62/7712345678910111213解答(2)若m＝，问t取何值时，直线l：2x－y＋t＝0(t>0)与曲线C有且只有一个交点？消去y，得9x2＋8tx＋2t2－2＝0.令Δ＝64t2－36×2(t2－1)＝0，得t＝±3.∵t>0，∴t＝3.此时直线l与曲线C有且只有一个交点.63/7712345678910111213(1)求椭圆E方程；解答64/77解得a2＝2b2，故椭圆E方程可设为则椭圆E左焦点坐标为(－b,0)，过左焦点且倾斜角为45°直线方程为l′：y＝x＋b.设直线l′与椭圆E交点为A，B，1234567891011121365/77解得b＝1.1234567891011121366/77(2)若动直线l与椭圆E有且只有一个公共点，过点M(1，0)作l垂线，垂足为Q，求点Q轨迹方程.12345678910111213解答67/77①当切线l斜率存在且不为0时，设l方程为y＝kx＋m，联立直线l和椭圆E方程，得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.因为直线l和椭圆E有且只有一个交点，所以Δ＝16k2m2－4(2k2＋1)(2m2－2)＝0.化简并整理，得m2＝2k2＋1.因为直线MQ与l垂直，1234567891011121368/771234567891011121369/77把m2＝2k2＋1代入上