高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件省公开课一等奖新名师获奖课件

1.4.3正切函数性质与图象1/51【知识提炼】函数y=tanx图象和性质解析式y=tanx图象定义域___________________________值域__R2/51解析式y=tanx周期___奇偶性_______单调性在开区间___________________上都是增函数π奇函数3/51【即时小测】1.判断(1)正切函数定义域和值域都是R.(

)(2)正切函数在整个定义域上是增函数.(

)(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值.(

)(4)正切函数图象既是轴对称图形，也是中心对称图形.(

)4/51【解析】(1)错误.正切函数定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，值域为R.(2)错误.正切函数在(kπ-，kπ+)，k∈Z是增函数，在整个定义域上不含有单调性.(3)正确.正切函数在定义域内值域为R，无最大值、最小值.(4)错误.正切函数图象是中心对称图形，但不是轴对称图形.答案：(1)×(2)×(3)√(4)×5/512.函数y=tan(x-)定义域为______.【解析】函数自变量x应满足x-≠kπ+，k∈Z.即x≠kπ+，k∈Z.所以，函数定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}.答案：{x|x≠kπ+，k∈Z}6/513.函数y=tan(x-3)周期为_______.【解析】因为f(x)=tan(x-3)=tan(x-3+π)=tan[(x+4)-3]=f(x+4).所以函数周期为4.答案：47/514.函数y=tanx，x∈[]值域为______.【解析】因为y=tanx在[]上是增函数，且tan(-)=-1，tan=所以函数值域为［-1，

］.答案：［-1，

］8/515.比较大小：tan167°_____tan173°(填“>”或“<”).【解析】因为90°<167°<173°<180°，且y=tanx在(，π)上是增函数.所以tan167°<tan173°.答案：<9/51【知识探究】知识点1

正切函数性质观察如图所表示内容，回答以下问题：问题1：正切函数在定义域上是单调函数吗？是周期函数吗？问题2：正切函数是奇函数还是偶函数？10/51【总结提升】1.正切函数单调性三个关注点(1)正切函数在定义域上不含有单调性.(2)正切函数无单调递减区间，有没有数个单调递增区间，在(

),()，…上都是增函数.(3)正切函数每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间，也不能说正切函数在()∪()∪…上是增函数.11/512.确定正切函数奇偶性步骤(1)确定定义域{x|x≠kπ+，k∈Z}关于原点对称.(2)由诱导公式：tan(-x)=-tanx，知正切函数是奇函数.3.函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)周期计算公式普通地，函数y=Atan(ωx+φ)+k(ω≠0)最小正周期12/51知识点2正切函数图象观察图形，回答以下问题：问题1：画正切曲线关键点和关键线分别是什么？问题2：正切曲线是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？13/51【总结提升】1.正切函数图象两种作法(1)几何法：利用单位圆中正切线作图，该方法较为准确，但画图时较烦琐.(2)三点两线法：“三点”是指(-，-1)，(0，0)，(，1)，“两线”是指x=-和x=，大致画出正切函数在(-，)上简图后向左、向右扩展即得正切曲线.14/512.正切函数图象对称性(1)对称性：正切函数图象对称中心是(，0)(k∈Z)，不存在对称轴.(2)渐近线：直线x=kπ+(k∈Z)称为正切曲线渐近线，渐近线把正切曲线分成无数个不连续部分.正切曲线在渐近线右侧向下无限靠近渐近线，在渐近线左侧向上无限靠近渐近线.15/51【题型探究】类型一正切函数定义域问题【典例】(·益阳高一检测)若f(x)=，求函数定义域为.【解题探究】本例中解三角不等式tanx≥m基本方法是什么？提醒：数形结合，求y=tanx图象在y=m上方点横坐标取值范围.16/51【解析】由tanx-≥0，得tanx≥，利用图象知，所求定义域为[kπ+，kπ+)(k∈Z).答案：[kπ+，kπ+)，k∈Z17/51【延伸探究】1.(变换条件、改变问法)将本例函数改为f(x)=tan(2x+)，求与此函数图象不相交与x轴垂直直线方程.【解析】由得

，k∈Z，所以所求直线方程为x=，k∈Z.18/512.(变换条件)将本例函数改为“”，其定义域又是什么？【解析】依据题意，得解得所以函数定义域为19/51【方法技巧】求正切函数定义域方法及求值域注意点(1)求与正切函数相关函数定义域时，除了求函数定义域普通要求外，还要确保正切函数y=tanx有意义即x≠+kπ，k∈Z.而对于构建三角不等式，常利用三角函数图象求解.(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)定义域时，要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+，k∈Z，解得x.20/51(3)解形如tanx>a不等式步骤21/51【变式训练】函数定义域是______.【解析】x应满足所以所以0<x<或π≤x≤4，所以所求定义域为(0，)∪［π，4］．答案：(0，)∪［π，4］22/51【延伸探究】1.(变换条件)将本题中“tanx”改为“tanx+1”，其它条件不变，结果又怎样？【解析】x应满足即所以所以0<x<或≤x≤4.所以所求定义域为(0，)∪[，4].23/512.(变换条件、改变问法)，将本题函数改为“”试画出此函数在［0，π］上图象.【解析】由tanx≠0，x∈［0，π］，解得x≠0，且x≠且x≠π.其图象以下.24/51类型二正切函数单调性应用【典例】1.(·上海高一检测)函数y=tan(-x)单调递减区间是.2.利用正切函数单调性比较以下各组中两个正切值大小.(1)tan220°与tan200°.(2)tan与25/51【解题探究】1.典例1中y=tan(-x)单调性与y=tan(x-)单调性有什么关系？提醒：y=tan(-x)单调递减区间是y=tan(x-)单调递增区间.2．典例2中，比较两个正切值大小，首先要怎样变形？提醒：先用诱导公式将两个角转化到同一个单调区间上.26/51【解析】1.因为所以y=tan(-x)单调递减区间是y=tan(x-)单调递增区间.由kπ-<x-<kπ+，k∈Z得kπ-<x<kπ+，k∈Z，所以函数y=tan(-x)单调递减区间是(kπ-，kπ+)k∈Z.答案：(kπ-，kπ+)k∈Z27/512.(1)因为tan220°=tan(180°+40°)=tan40°，tan200°=tan(180°+20°)=tan20°，且y=tanx在0°＜x＜90°是增函数，所以tan40°>tan20°，即tan220°>tan200°.28/51(2)因为y=tanx在()上单调递增，所以即29/51【延伸探究】将本例1中函数改为，试求此函数单调递增区间.【解析】由k∈Z得k∈Z.所以函数单调递增区间为30/51【方法技巧】1.利用正切函数单调性比较大小方法(1)利用函数周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.(2)利用单调性比较大小关系.31/512.求函数y=Atan(ωx+φ)(A，ω，φ

都是常数)单调区间方法(1)若ω>0，因为y=tanx在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”思想，令kπ-<ωx+φ<kπ+，k∈Z，解得x范围即可.(2)若ω<0，可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan［-(-ωx-φ)］=-Atan(-ωx-φ)，即把x系数化为正值，再利用“整体代换”思想，求得x范围即可.32/51【变式训练】试用正切函数单调性比较tan8和tan()大小.【解题指南】先用诱导公式将已知角绝对值化小，再用单调性比较大小.33/51【解析】因为tan8=tan(-3π+8)=-tan(3π-8)，tan()=tan(-9π-)=-tan，因为3π-8-=-8=-1)>0，3π-8-=-8=(5π-16)<0，所以0<<3π-8<.又y=tanx在(0，)上为增函数，所以tan<tan(3π-8)，故-tan>-tan(3π-8)，即tan8<34/51【赔偿训练】tan1，tan2，tan3，tan4从小到大排列次序为________.【解析】y=tanx在区间()上是单调增函数，且tan1=tan(π+1)，又<2<3<4<π+1<，所以tan2<tan3<tan4<tan1.答案：tan2<tan3<tan4<tan135/51类型三正切函数奇偶性与周期性应用【典例】1.直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx(ω为常数，且ω≠0)相交两个相邻点间距离为()2.(1)求函数

与函数f(x)=tanx+|tanx|最小正周期.(2)判断函数g(x)=tan2x奇偶性.36/51【解题探究】1.典例1中，两个相邻交点距离有什么意义？提醒：两个相邻交点距离是周期.2.典例2(1)中，求周期方法是什么？(2)中判断奇偶性步骤是什么？提醒：求y=Atan(ωx+φ)周期可依据公式其它形式函数可考虑图象法.判断奇偶性首先要求定义域并判断其是否关于原点对称，若对称再判断f(-x)与f(x)关系，最终依据奇偶性定义回答.37/51【解析】1.选C.因为直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx相交相邻两点间距离就是正切函数周期，又因为y=tanωx周期是，所以直线y=a(a为常数)与正切曲线y=tanωx相交相邻两点间距离是38/512.(1)函数最小正周期为T=；f(x)=tanx+|tanx|=作出f(x)=tanx+|tanx|简图，如图所表示，易得函数f(x)=tanx+|tanx|周期T=π.39/51(2)函数g(x)=tan2x定义域是{x|x≠，k∈Z}，关于坐标原点对称，又g(-x)=tan(-2x)=-tan2x=-g(x)，所以函数g(x)=tan2x是奇函数.40/51【方法技巧】与正切函数相关函数周期性、奇偶性问题处理策略(1)普通地，函数y=Atan(ωx+φ)最小正周期为T=，经常利用此公式来求周期.(2)判断函数奇偶性要先求函数定义域，判断其是否关于原点对称.若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(-x)与f(x)关系.41/51【变式训练】1.(·南昌高一检测)给出以下四个函数①f(x)=5sin(x-)；②f(x)=cos(sinx)；③f(x)=xsin2x；④f(x)=，其中奇函数个数是()A.1个B.2个C.3个D.4个42/51【解析】选B.①是非奇非偶函数；②定义域为R.f(-x)=cos(sin(-x))=cos(-sinx)=cos(sinx)=f(x)是偶函数；③定义域为R，f(-x)=-xsin2(-x)=-xsin2x=-f(x)，是奇函数；④定义域由1-tan2x≠0得tanx≠±1，{x|x≠kπ±且x≠kπ+，k∈Z}，关于原点对称f(-x)==-f(x)是奇函数.43/512.已知函数f(x)=2tan(kx+)最小正周期T满足1<T<2，求自然数k值.【解析】T=，由1<<2得<k<π，而k∈N，所以k=2或3.44/51【赔偿训练】判断以下函数奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=【解析】(1)由得f(