中考数学复习第四章图形的认识4.5特殊的平行四边形试卷市赛课公开课一等奖省名师获奖课件

§4.5特殊平行四边形中考数学

(广西专用)1/257考点一矩形五年中考A组-年广西中考题组五年中考1.(南宁,12,3分)如图,矩形纸片ABCD,AB=4,BC=3,点P在BC边上,将△CDP沿DP折叠,点C

落在点E处,PE、DE分别交AB于点O、F,且OP=OF,则cos∠ADF值为

()

A.

B.

C.

D.

2/257答案

C由题意得Rt△DCP≌Rt△DEP,所以DC=DE=4,CP=EP,在Rt△OEF和Rt△OBP中,∠EOF=∠BOP,∠B=∠E,OP=OF,所以Rt△OEF≌Rt△OBP(AAS),所以OE=OB,EF=BP,设EF=x,则BP=x,DF=DE-EF=4-x,又因为BF=OF+OB=OP+OE=PE=PC,PC=BC-BP=3-x,所以AF=AB-BF=4-(3-x)=1+x,在Rt△DAF中,AF2+AD2=DF2,即(1+x)2+32=(4-x)2,解得x=

,所以EF=

,DF=4-

=

,在Rt△DAF中,cos∠ADF=

.难点突破

折叠问题关键结论是折叠前后不改变图形形状和大小,所以题干中隐含了很

多相等关系,突破口在于利用折叠性质将相关联线段长用未知数表示,利用勾股定理得到

关于所求线段或相关线段方程,难度适中.3/2572.(贵港,16,3分)如图,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC对应边B'C'与CD交于点M,若∠B'

MD=50°,则∠BEF度数为

.

答案70°4/257解析由折叠可知∠B'=∠B=90°,∠BEF=∠B'EF.过B'作B'G∥AB交EF于G,则B'G∥CD∥AB.∴∠DMB'=∠MB'G=50°,∴∠AEB'=∠EB'G=90°-50°=40°.∴∠BEB'=180°-40°=140°.又∠BEF=∠B'EF,∴∠BEF=

∠BEB'=

=70°.

5/2573.(玉林,25,10分)如图,在▱ABCD中,DC>AD,四个角平分线AE,DE,BF,CF交点分别是E,

F,过点E,F分别作DC与AB间垂线MM'与NN',在DC与AB上垂足分别是M,N与M',N',连接EF.(1)求证:四边形EFNM是矩形;(2)已知:AE=4,DE=3,DC=9,求EF长.

6/257解析(1)证实:如图,过点E作EG⊥AD于点G,过点F作FH⊥BC于点H.

∵DE平分∠ADC,∴EG=EM,同理EG=EM',∴ME=M'E,则E为MM'中点.同理可证点F为NN'中点.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB∥CD∥EF.又MM'⊥CD,NN'⊥CD,∴ME∥NF,∴四边形EFNM为平行四边形,又∠EMN=90°,7/257∴四边形EFNM为矩形.(2)∵DE,AE分别为∠CDA和∠DAB平分线,∴∠2+∠3=

=90°,∴∠DEA=90°,∴在Rt△ADE中,AD=

=5.在△ADE和△EDM中,

∴△ADE∽△EDM.∴

=

,即

=

,∴DM=

.∴△ADE∽△AEM',∴

=

,即

=

,∴AM'=

,在△AEM'和△CFN中,

∴△AEM'≌△CFN,∴AM'=CN=

,∴MN=DC-DM-NC=9-

-

=4.∴EF=4.8/2574.(百色,22,8分)矩形ABCD中,E、F分别是AD、BC中点,CE、AF分别交BD于G、H两

点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形;(2)EG=FH.

9/257证实(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,∵E、F分别是AD、BC中点,∴AE=

AD,CF=

BC,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)∵四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠AHD=∠BHF,∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH,在△DEG和△BFH中,

10/257∴△DEG≌△BFH(AAS),∴EG=FH.思绪分析

(1)依据一组对边平行且相等四边形是平行四边形证实即可;(2)证实EG所在△DEG与FH所在△BFH全等即可得出EG=FH.11/2575.(南宁,22,8分)如图,矩形ABCD对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF;(2)若AB=6,∠COD=60°,求矩形ABCD面积.

12/257解析(1)证实:∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,OB=OD,∵BE=DF,∴OE=OF,又∵∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(SAS),

(3分)∴AE=CF.

(4分)(2)∵四边形ABCD为矩形,∴∠BCD=90°,AB=CD=6,OD=OC.

(5分)∵∠COD=60°,∴△OCD为等边三角形,∴OD=OC=CD=6,∴BD=2OD=12.

(6分)在Rt△BCD中,BC2+DC2=BD2,∴BC=

=6

.

(7分)∴S矩形ABCD=BC·CD=6

×6=36

.

(8分)13/257思绪分析

(1)证△AOE≌△COF,可得AE=CF;(2)要求矩形ABCD面积,只要求BC即可,因为

四边形ABCD是矩形,∠COD=60°,所以△OCD是等边三角形,从而得出OD=6,故BD=12,再利用

勾股定理即可求出BC,从而求出矩形ABCD面积.14/2576.(玉林,25,10分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,点P是AB边上一点(不与A,B重合),连接

CP,过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q,连接CQ.(1)当△CDQ≌△CPQ时,求AQ长;(2)取CQ中点M,连接MD,MP,若MD⊥MP,求AQ长.

15/257解析(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴CP=CD=5,则PB=

=4,故AP=5-4=1.设AQ=x,则PQ=QD=3-x,在Rt△QAP中,QP2=QA2+AP2,即(3-x)2=x2+1,∴x=

,∴AQ=

.(2)由题意知MD,MP分别是Rt△CDQ与Rt△CPQ公共斜边CQ中线,∴MD=MC=MP=MQ,∴∠5=∠6,∠7=∠8,又∠1+∠3=90°,∴∠5+∠6+∠7+∠8=360°-90°=270°,∴∠6+∠7=135°,∴∠AQP=180°-135°=45°,∴∠APQ=45°.∴∠CPB=180°-90°-45°=45°,16/257∴△QAP与△PBC均是等腰直角三角形,∴PB=BC=3,则AQ=AP=5-3=2.

17/257一题多解

(1)∵△CDQ≌△CPQ,∴CP=CD=5,则PB=

=4,AP=5-4=1.易证△QAP∽△PBC,∴

=

,∴AQ=

.(2)由题意知MD,MP分别是Rt△CDQ与Rt△CPQ公共斜边CQ中线,∴MD=MC=MP=MQ,∴∠1=2∠2,∠3=2∠4,∠1+∠3=2(∠2+∠4).∴∠2+∠4=

(∠1+∠3)=45°,∴∠PCB=90°-45°=45°.∴PB=BC=3,∠APQ=45°,∴AQ=AP=5-3=2.18/257考点二菱形1.(贵港,11,3分)如图,在菱形ABCD中,AC=6

,BD=6,E是BC边中点,P、M分别是AC,AB上动点,连接PE,PM,则PE+PM最小值是

()

A.6

B.3

C.2

D.4.519/257答案

C在菱形ABCD中,设AC,BD交于点O,则OC=

AC=3

,OB=

BD=3,∵AC⊥BD,∴BC=

=3

,S菱形=

AC·BD=

×6

×6=18

.作E关于AC对称点E',则E'为CD中点.作E'M⊥AB交AC于点P,交AB于点M,此时PM+PE最小,且PM+PE=E'M.∵AB=BC=3

,∴ME'=

=2

.∴PM+PE最小值为2

.故选C.20/2572.(桂林,10,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,则菱形ABCD面积是

()

A.18

B.18

C.36

D.36

21/257答案

B过点A作AF⊥BC于F,

∵在菱形ABCD中,AB=6,∠ABD=30°,∴∠ABC=60°,BC=AB=6.∴AF=ABsin60°=6×

=3

.∴菱形ABCD面积S=BC·AF=6×3

=18

.故选B.22/2573.(南宁,16,3分)如图,菱形ABCD对角线相交于点O,AC=2,BD=2

,将菱形按如图方式折叠,使点B与点O重合,折痕为EF,则五边形AEFCD周长为

.

答案7解析∵四边形ABCD是菱形,∴OA=OC=

AC=1,OD=OB=

BD=

,AC⊥BD,∴AD=

=2,tan∠ADO=

=

,∴∠ADO=30°,∴∠ADC=60°=∠ABC,∴△ABC是等边三角形.由折叠及菱形性质可得OB与EF相互垂直平分,则OE=EB=BF=FO,∴∠EOB=∠EBO=

∠ADO=30°,∠AOE=90°-30°=60°=∠OAE,∴△AOE和△BEF均为等边三角形,故EF=EB=EO=

AE=1,由此可知FC=1,∴五边形AEFCD周长为AE+EF+FC+CD+DA=1+1+1+2+2=7.23/257思绪分析

依据菱形对角线相互垂直平分及勾股定理,求出菱形边长,再依据折叠性质

求出AE,EF,FC长,进而求出五边形AEFCD周长.24/2574.(钦州,16,3分)如图,在菱形ABCD中,AB=4,线段AD垂直平分线交AC于点N,△CND周

长是10,则AC长为

.

答案6解析∵线段AD垂直平分线交AC于点N,∴NA=ND.∵△CND周长是10,∴CD+DN+NC=10,∴CD+NA+NC=10.∴CD+AC=10.又CD=AB=4,∴AC=6.25/2575.(柳州,23,8分)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB=2.(1)求菱形ABCD周长;(2)若AC=2,求BD长.

解析(1)菱形ABCD中,AB=AD=BC=CD=2,∴菱形ABCD周长为4AB=4×2=8.(2)在菱形ABCD中,AO=OC=

AC=1,BO=OD=

BD,且AC⊥BD,∴在Rt△AOB中,BO=

=

=

.∴BD=2BO=2

.26/2576.(南宁,23,8分)如图,在▱ABCD中,AE⊥BC,AF⊥CD,垂足分别为E,F,且BE=DF.(1)求证:▱ABCD是菱形;(2)若AB=5,AC=6,求▱ABCD面积.

27/257解析(1)证实:∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠B=∠D.∵AE⊥BC,AF⊥DC,∴∠AEB=∠AFD=90°,又∵BE=DF,∴△AEB≌△AFD(ASA).∴AB=AD,∴▱ABCD是菱形.(2)如图,连接BD交AC于点O,

28/257由(1)知四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AO=OC=

AC,∵AC=6,∴AO=

×6=3,∵AB=5,∴在Rt△AOB中,BO=

=

=4,∴BD=2BO=8,∴S▱ABCD=

AC·BD=

×6×8=24.方法总结

证实菱形方法有很多,考查频率较高是一组邻边相等平行四边形是菱形.求

菱形面积主要有两种方法:1.对角线乘积二分之一;2.底乘高,详细方法需结合详细条件和题设

灵活利用.29/2577.(贺州,24,8分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,O、D分别是边AC、AB中点,过点C作CE

∥AB交DO延长线于点E,连接AE,CD.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若四边形AECD面积为24,tan∠BAC=

,求BC长.

30/257解析(1)证实:∵O是AC中点,∴OA=OC,∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO,在△AOD和△COE中,

∴△AOD≌△COE,∴AD=CE,又∵CE∥AB,∴四边形AECD是平行四边形,∵CD是Rt△ABC斜边AB上中线,∴CD=AD,∴四边形AECD是菱形.31/257(2)由(1)知,四边形AECD是菱形,∴AC⊥ED.在Rt△AOD中,tan∠DAO=

=tan∠BAC=

.设OD=3x(x>0),OA=4x,则ED=2OD=6x,AC=2OA=8x,依题意得

×6x×8x=24,解得x=1(负值舍去).∴OD=3,∵O,D分别是AC,AB中点,∴OD是△ABC中位线,∴BC=2OD=6.32/2578.(贺州,23,9分)如图,AC是矩形ABCD对角线,过AC中点O作EF⊥AC,交BC于点E,交

AD于点F,连接AE,CF.

(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)若AB=

,∠DCF=30°,求四边形AECF面积.(结果保留根号)33/257解析(1)证实:∵O是AC中点,且EF⊥AC,∴AF=CF,AE=CE,OA=OC.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠AFO=∠CEO.在△AOF和△COE中,∵

∴△AOF≌△COE(AAS).∴AF=CE.∴AF=CF=CE=AE.∴四边形AECF是菱形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴CD=AB=

.在Rt△CDF中,CF=

=

=2.∵四边形AECF是菱形,∴CE=CF=2.∴四边形AECF面积为EC·AB=2

.34/257思绪分析

(1)由O是AC中点,且EF⊥AC,得AF=CF,AE=CE,OA=OC,由矩形对边平行得∠

AFE=∠CEF,可证△AOF≌△COE,得AF=CE,再利用四边相等四边形是菱形得结论.(2)用底乘高求菱形面积.主要考点

矩形性质,菱形判定,锐角三角函数.35/257考点三正方形1.(桂林,11,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=3,点M在CD边上,且DM=1,△AEM与△ADM关

于AM所在直线对称,将△ADM按顺时针方向绕点A旋转90°得到△ABF,连接EF,则线段EF长

为

()

A.3

B.2

C.

D.

36/257答案

C连接BM,如图所表示.

由对称和旋转可知,△ADM≌△AEM≌△ABF,∴AD=AE=AB,AF=AM,∠FAB=∠MAD=∠MAE,∴∠FAB+∠BAE=∠MAE+∠BAE,∴∠FAE=∠MAB,在△FAE和△MAB中,

∴△FAE≌△MAB(SAS).37/257∴EF=BM,又在正方形ABCD中,AB=DC=BC=3,而DM=1,∴MC=2,∴在Rt△BCM中,依据勾股定理得BM=

=

=

,∴EF=

,故选C.38/2572.(贵港,12,3分)如图,在正方形ABCD中,O是对角线AC与BD交点,M是BC边上动点(点

M不与B,C重合),CN⊥DM,CN与AB交于点N,连接OM,ON,MN.以下五个结论:①△CNB≌△

DMC;②△CON≌△DOM;③△OMN∽△OAD;④AN2+CM2=MN2;⑤若AB=2,则S△OMN最小值是

,其中正确结论个数是

()

A.2

B.3

C.4

D.539/257答案

D∵正方形ABCD中,CD=BC,∠BCD=90°,∴∠BCN+∠DCN=90°,又∵CN⊥DM,∴∠CDM+∠DCN=90°,∴∠BCN=∠CDM,又∵∠CBN=∠DCM=90°,∴△CNB≌△DMC(ASA),故①正确;依据△CNB≌△DMC,可得CM=BN,又∵∠OCM=∠OBN=45°,OC=OB,∴△OCM≌△OBN(SAS),∴OM=ON,∠COM=∠BON,∴∠DOC+∠COM=∠COB+∠BON,即∠DOM=∠CON,又∵DO=CO,∴△CON≌△DOM(SAS),故②正确;40/257∵∠BON+∠BOM=∠COM+∠BOM=90°,∴∠MON=90°,即△MON是等腰直角三角形,又∵△AOD是等腰直角三角形,∴△OMN∽△OAD,故③正确;∵AB=BC,CM=BN,∴BM=AN,又∵Rt△BMN中,BM2+BN2=MN2,∴AN2+CM2=MN2,故④正确;∵△OCM≌△OBN,∴四边形BMON面积=△BOC面积=1,即四边形BMON面积是定值1,∴当△MNB面积最大时,△MNO面积最小,设BN=x=CM,则BM=2-x,∴△MNB面积=

x(2-x)=-

x2+x,41/257∴当x=1时,△MNB面积有最大值

,此时,S△OMN最小值是1-

=

,故⑤正确.总而言之,正确结论个数是5,故选D.42/2573.(贵港,8,3分)以下命题中错误是

()A.两组对角分别相等四边形是平行四边形B.矩形对角线相等C.对角线相互垂直四边形是菱形D.对角线相互垂直平分且相等四边形是正方形答案

C

A、B、D所述命题正确,C所述命题错误,故选C.43/2574.(贺州,18,3分)如图,正方形ABCD边长为12,点E在边AB上,BE=8,过点E作EF∥BC,分别

交BD、CD于G、F两点,若点P、Q分别为DG、CE中点,则PQ长为

.

答案2

44/257解析如图所表示,过P作PM⊥CD于M,

过Q作QN⊥CD于N,过P作PH⊥QN于H.在正方形ABCD中,AB=CD=12,AD∥CB,∠ADC=∠BCD=90°,又EF∥BC,∴AD∥EF∥BC,∴EF⊥CD,∴PM∥EF∥QN.∴M、N分别为DF、FC中点,45/257∴MN=

CD=6,DM=

DF=2,NC=

FC=4,QN=

EF=6.又BD为正方形ABCD对角线,∴∠BDC=45°,∴PM=DM=2=HN.∴QH=6-2=4,∴PQ= =

=2

.46/2575.(北海,16,3分)如图,已知正方形ABCD边长为4,对角线AC与BD相交于点O,点E在DC边

延长线上,若∠CAE=15°,则AE=

.

答案8解析∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=45°,AB∥DC,∠ADC=90°,∴∠E=∠BAE=∠BAC-∠CAE=45°-15°=30°.∵在Rt△ADE中,∠ADE=90°,∠E=30°,∴AE=2AD=8.评析利用正方形性质求出∠E=30°是解题关键.47/2576.(南宁,16,3分)如图,在正方形ABCD外侧,作等边△ADE,则∠BED度数为

°.

答案45解析∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°.∵三角形ADE为等边三角形,∴AD=AE,∠DAE=∠AED=60°.∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=90°+60°=150°.∵AB=AE,∴∠AEB=∠ABE=(180°-∠BAE)÷2=15°.∴∠BED=∠DEA-∠AEB=60°-15°=45°.48/2577.(河池,22,8分)(1)如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,AE⊥BF于点M,求证:AE=BF;(2)如图2,将(1)中正方形ABCD改为矩形ABCD,AB=2,BC=3,AE⊥BF于点M,探究AE与BF数

量关系,并证实你结论.

49/257解析(1)证实:∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠C,AB=BC.∵AE⊥BF,∴∠AMB=90°,∴∠BAM+∠ABM=90°,∵∠ABM+∠CBF=90°,∴∠BAM=∠CBF.在△ABE和△BCF中,

∴△ABE≌△BCF(ASA),∴AE=BF.(2)AB=

BC.证实:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠C,∵AE⊥BF,50/257∴∠AMB=90°,∴∠BAM+∠ABM=90°,∵∠ABM+∠CBF=90°,∴∠BAM=∠CBF,∴△ABE∽△BCF,∴

=

=

,∴AB=

BC.51/257B组—年全国中考题组考点一矩形1.(甘肃兰州,8,4分)如图,矩形ABCD对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC

=

()

A.5

B.4

C.3.5

D.3答案

B因为四边形ABCD为矩形,所以AC=BD,OC=

AC.已知∠ADB=30°,故在直角三角形ABD中,BD=2AB=8,所以AC=8,所以OC=

AC=4,故选B.52/2572.(四川成都,14,4分)如图,在矩形ABCD中,按以下步骤作图:①分别以点A和C为圆心,以大

于

AC长为半径作弧,两弧相交于点M和N;②作直线MN交CD于点E.若DE=2,CE=3,则矩形对角线AC长为

.

53/257答案

解析如图,连接AE,由作图方法得MN垂直平分AC,∴EA=EC=3.∴在Rt△ADE中,AD=

=

=

.∴在Rt△ADC中,AC=

=

=

.

思绪分析

连接AE,依据题中作图方法,可得MN垂直平分AC,则EA=EC=3,用勾股定理先计

算出AD,再计算出AC,得解.解题关键

本题考查了矩形性质,基本作图(作已知线段垂直平分线),勾股定理,识别基本

作图并熟练应用勾股定理计算是解题关键.54/2573.(黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥

AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM长为

.

答案

解析∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°,∴△ADE∽△MAB.∴

=

,即

=

.∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0),则BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=

(舍负),∴BM=2x=

.55/2574.(安徽,14,5分)如图,在矩形纸片ABCD中,AB=6,BC=10.点E在CD上,将△BCE沿BE折叠,点

C恰落在边AD上点F处;点G在AF上,将△ABG沿BG折叠,点A恰落在线段BF上点H处.有下

列结论:①∠EBG=45°;②△DEF∽△ABG;③S△ABG=

S△FGH;④AG+DF=FG.其中正确是

.(把全部正确结论序号都选上)

答案①③④56/257解析∵∠ABG=∠HBG,∠FBE=∠CBE,∠ABC=90°,∴∠EBG=45°,①正确;∵AB=6,BF=BC=10,∴AF=8,∴FD=AD-AF=10-8=2,设DE=x,则EF=CE=6-x,在Rt△DEF中,∵DF2+DE2=EF2,∴22+x2=(6-x)2,∴x=

,即DE=

,∴EF=

,∵BH=AB=6,∴HF=BF-BH=10-6=4,又易知Rt△DEF∽Rt△HFG,∴

=

,即

=

,57/257∴GF=5,∴AG=3,若△DEF∽△ABG,则

=

,但

≠

,故②不正确;∵BH=6,HF=4,∴S△BGH=

S△FGH,∵△ABG≌△HBG,∴S△ABG=

S△FGH,③正确;∵△FHG∽△EDF,∴

=

,∴

=

,∴FG=5,∴AG+DF=5,∴AG+DF=FG,④正确.58/2575.(天津,24,10分)在平面直角坐标系中,四边形AOBC是矩形,点O(0,0),点A(5,0),点B(0,3),以

点A为中心,顺时针旋转矩形AOBC,得到矩形ADEF,点O,B,C对应点分别为D,E,F.(1)如图a,当点D落在BC边上时,求点D坐标;(2)如图b,当点D落在线段BE上时,AD与BC交于点H.①求证△ADB≌△AOB;②求点H坐标;(3)记K为矩形AOBC对角线交点,S为△KDE面积,求S取值范围(直接写出结果即可).

图a图b59/257解析(1)∵点A(5,0),点B(0,3),∴OA=5,OB=3.∵四边形AOBC是矩形,∴AC=OB=3,BC=OA=5,∠OBC=∠C=90°.∵矩形ADEF是由矩形AOBC旋转得到,∴AD=AO=5.在Rt△ADC中,有AD2=AC2+DC2,∴DC=

=

=4.∴BD=BC-DC=1.∴点D坐标为(1,3).(2)①证实:由四边形ADEF是矩形,得∠ADE=90°.又点D在线段BE上,得∠ADB=90°.由(1)知,AD=AO,又AB=AB,∠AOB=90°,∴Rt△ADB≌Rt△AOB.60/257②由Rt△ADB≌Rt△AOB,得∠BAD=∠BAO.又在矩形AOBC中,OA∥BC,∴∠CBA=∠OAB.∴∠BAD=∠CBA.∴BH=AH.设BH=t(0<t<5),则AH=t,HC=BC-BH=5-t.在Rt△ACH中,有AH2=AC2+HC2,∴t2=32+(5-t)2,解得t=

.∴BH=

.∴点H坐标为

.(3)

≤S≤

.61/257思绪分析

(1)依据点坐标及旋转性质得AD=AO=5,在直角△ACD中利用勾股定理可求

CD长,从而可确定D点坐标.(2)①依据直角三角形全等判定方法进行判定;②由①知∠

BAD=∠BAO,再依据矩形性质得∠CBA=∠OAB,从而∠BAD=∠CBA,故BH=AH,在Rt△ACH

中,利用勾股定理可求得AH长,得出H点坐标.(3)在矩形旋转过程中,依据点K与直线DE

距离范围即可确定S取值范围.62/257提醒

如图1,当矩形顶点D在线段AB上时,点K到直线DE距离最小,最小值为线段DK长,DK=AD-

AB=5-

,S=

DK·DE=

.

图1如图2,当矩形顶点D在BA延长线上时,点K到直线DE距离最大,最大值为线段DK长,63/257DK=AD+

AB=5+

,S=

DK·DE=

.所以

≤S≤

.

图264/2576.(云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°,将△

ADP沿AP翻折得到△AD'P,PD'延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.(1)求证:AD2=DP·PC;(2)请判断四边形PMBN形状,并说明理由;(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若

=

,求

值.

65/257解析(1)证实:在矩形ABCD中,AD=BC,∠C=∠D=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∵∠APB=90°,∴∠CPB+∠APD=90°,∴∠DAP=∠CPB,

(1分)∴△ADP∽△PCB,∴

=

,

(2分)∴AD·CB=DP·PC.∵AD=BC,∴AD2=DP·PC.

(3分)(2)四边形PMBN为菱形,理由以下:

(4分)在矩形ABCD中,CD∥AB,∵BN∥PM,∴四边形PMBN为平行四边形,66/257∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P,∴∠APD=∠APM,∵CD∥AB,∴∠APD=∠PAM,∴∠APM=∠PAM,

(6分)∵∠APB=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∠APM+∠BPM=90°,又∵∠APM=∠PAM,∴∠PBA=∠BPM,∴PM=MB.又∵四边形PMBN为平行四边形,∴四边形PMBN为菱形.

(7分)(3)解法一:∵∠APM=∠PAM,∴PM=AM,67/257∵PM=MB,∴AM=MB,∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

,∵CD∥AB,∴∠ABF=∠CPF,∠BAF=∠PCF,∴△BFA∽△PFC,∴

=

=

=

,

(9分)∴

=

,同理可得△MEA∽△PEC,68/257∴

=

=

=

,∴

=

,

(10分)∴

=

-

=

-

=

,

(11分)∵

∶

=

,∴

=

∶

=

.

(12分)解法二:过点F作FG∥PM,交MB于点G.

∵∠APM=∠PAM,69/257∴PM=AM,∵PM=MB,∴AM=MB,∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

.∵CD∥AB,∴∠CPF=∠ABF,∠PCF=∠BAF,∴△PFC∽△BFA,∴

=

=

=

,

(9分)∵FG∥PM,70/257∴

=

=

,

(10分)∴

=

,∵AM=MB,∴

=

,∵FG∥PM,∴

=

=

.

(12分)71/257思绪分析

(1)依据矩形性质以及所给条件,证实△ADP∽△PCB,从而得AD2=DP·PC;(2)由

翻折得∠APD=∠APM,由等角余角相等得∠PBA=∠BPM,从而得PM=MB,进而易得四边形

PMBN为菱形;(3)解法一:设DP=a,则可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,由CD∥AB,可得△BFA∽△

PFC,△MEA∽△PEC,所以

=

,

=

,进而可得

值.解法二:过点F作FG∥PM,交MB于点G,设DP=a,可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=

,依据CD∥AB,FG∥PM,AM=MB这些条件可求得

值.解题关键

本题主要考查了矩形性质,轴对称,菱形判定,相同三角形判定与性质等知

识,题目综合性强、计算量大,属难题.解题关键在于从复杂条件中确定处理问题所需条

件,进而推理、论证、计算,使题目得以解答.72/257考点二菱形1.(陕西,8,3分)如图,在菱形ABCD中,点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA中点,

连接EF、FG、GH和HE.若EH=2EF,则以下结论正确是

()

A.AB=

EF

B.AB=

EFC.AB=2EF

D.AB=

EF73/257答案

D如图,连接AC、BD交于O,

∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,∵点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD和DA中点,∴EF=

AC,EH=

BD,∵EH=2EF,∴BD=2AC,∴OB=2OA,∴AB=

=

OA,易知OA=EF,∴AB=

EF,故选D.思绪分析

首先依据菱形性质得到AC⊥BD,OA=OC,OB=OD,然后依据三角形中位线定理

得出EF=

AC,EH=

BD,进而得到OB=2OA,最终依据勾股定理求得AB=

OA,即得AB=

EF.74/2572.(河南,10,3分)如图1,点F从菱形ABCD顶点A出发,沿A→D→B以1cm/s速度匀速运

动到点B.图2是点F运动时,△FBC面积y(cm2)随时间x(s)改变关系图象,则a值为

()

图1

图2A.

B.2

C.

D.2

75/257答案

C如图,作DE⊥BC于点E,在菱形ABCD中,当F在AD上时,y=

BC·DE,即a=

·a·DE,∴DE=2.

由题意知DB=

,在Rt△DEB中,BE=

=1,∴EC=a-1.在Rt△DEC中,DE2+EC2=DC2,∴22+(a-1)2=a2.解得a=

.故选C.76/257思绪分析

当点F在AD上运动时,y不变,值为a,可求得菱形BC边上高为2,由点F在BD上运

动时间为

,得出BD长,作出菱形BC边上高,由勾股定理可求a值.解后反思

本题为菱形中动点和函数图象问题,关键要依据菱形各边都相等以及y意义

求出菱形BC边上高和BD长,再结构直角三角形,用勾股定理求解.77/2573.(宁夏,5,3分)菱形ABCD对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD,CD边上中点,连接

EF.若EF=

,BD=2,则菱形ABCD面积为

()

A.2

B.4

C.6

D.8

答案

A因为E,F分别是AD,CD边上中点,所以EF∥AC,且EF=

AC,所以AC=2EF=2

.所以S菱形ABCD=

AC·BD=

×2

×2=2

.故选A.78/2574.(北京,21,5分)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC,BD交于点O,AC平分

∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB=

,BD=2,求OE长.

79/257解析(1)证实:∵AB∥CD,∴∠OAB=∠DCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAB=∠DAC,∴∠DCA=∠DAC,∴CD=AD.又∵AB=AD,∴AB=CD,∴四边形ABCD为平行四边形.又∵CD=AD=AB,∴四边形ABCD为菱形.(2)∵四边形ABCD为菱形,∴OA=OC,BD⊥AC.∵CE⊥AE,∴OE=AO=OC.∵BD=2,∴OB=

BD=1.在Rt△AOB中,AB=

,OB=1,∴OA=

=2,∴OE=2.80/2575.(辽宁沈阳,18,8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O,过点C作BD平行线,

过点D作AC平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则菱形ABCD面积是

.

81/257解析(1)证实:∵四边形ABCD为菱形,∴AC⊥BD,∴∠COD=90°,∵CE∥OD,DE∥OC,∴四边形OCED是平行四边形,∵∠COD=90°,∴平行四边形OCED是矩形.(2)4.思绪分析

(1)依据菱形对角线相互垂直可得∠COD=90°,依据平行四边形及矩形定义可证.(2)依据平行四边形对边相等,可得OC=2,OD=1;依据菱形对角线相互垂直平分,可得BO=1,AO=

2,可求四个直角三角形面积均为1,菱形ABCD面积为4.82/2576.(新疆乌鲁木齐,18,10分)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC中点,AD∥BC,AE

∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=6,BC=10,求EF长.

83/257解析(1)证实:∵AD∥BC,AE∥DC,∴四边形AECD是平行四边形.∵∠BAC=90°,E是BC中点,∴AE=CE=

BC,∴四边形AECD是菱形.

(5分)(2)过点A作AH⊥BC于点H,

∵∠BAC=90°,AB=6,BC=10,∴AC=8,∵S△ABC=

BC·AH=

AB·AC,∴AH=

.∵点E是BC中点,BC=10,四边形AECD是菱形,∴CD=CE=5.∵S▱AECD=CE·AH=CD·EF,∴EF=AH=

.

(10分)84/257思绪分析

(1)先证四边形AECD是平行四边形,再由直角三角形斜边上中线等于斜边一

半即可证四边形AECD是菱形;(2)过点A作AH⊥BC于点H,由三角形面积公式求出AH,再由

平行四边形面积公式求出EF.85/2577.(江西,22,9分)在菱形ABCD中,∠ABC=60°,点P是射线BD上一动点,以AP为边向右侧作

等边△APE,点E位置伴随点P位置改变而改变.(1)如图1,当点E在菱形ABCD内部或边上时,连接CE,BP与CE数量关系是

,CE与AD

位置关系是

;(2)当点E在菱形ABCD外部时,(1)中结论是否还成立?若成立,请给予证实;若不成立,请说明

理由(选择图2,图3中一个情况给予证实或说理);

(3)如图4,当点P在线段BD延长线上时,连接BE,若AB=2

,BE=2

,求四边形ADPE面积.图486/257解析(1)相等(或BP=CE);垂直(或CE⊥AD).(2)成立.证实:如图,连接AC,交BD于点O.

当点P在线段OD上时,∵四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°,△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC.∵△APE为等边三角形,∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC.87/257即∠BAP=∠CAE.在△APB与△AEC中,

∴△ABP≌△ACE,∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ACD为等边三角形,∴∠ACE=∠DCE=30°,∴CE⊥AD.当点P在BD延长线上时,证实方法同第一个情况.(3)如图,连接AC,CE,设AD与CE交于点M,

88/257由(2)可得△BAP≌△CAE,BP=CE,CE⊥AD,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ABC为等边三角形,∴∠ACB=60°,∴∠BCE=90°.∵BC=AB=2

,BE=2

,∴CE=

=

=8.∴BP=8.∵△ADC为等边三角形,且边长为2

,∴AM=

,CM=3.∴EM=8-3=5.∴AE=

=

=

=2

.∴S等边△AEP=

×(2

)2=7

.设AC与BD交于点O,∵菱形ABCD边长为2

,∴BD=6,AO=

,∴DP=8-6=2.∴S△ADP=

×2×

=

.∴S四边形ADPE=7

+

=8

.89/257思绪分析

(1)依据菱形ABCD中,∠ABC=60°,可得△ABC和△ACD为等边三角形,∠ABP=30°,

因为△APE为等边三角形,可利用SAS证得△BAP≌△CAE,进而得出PB=EC,∠ABP=∠ACE=3

0°,深入得出∠DCE=∠ACE=30°,依据等边三角形性质可得CE⊥AD;(2)结论依然成立,证

明方法同上;(3)首先依据AB=BC=2

,BE=2

,求出CE=BP=8,进而求出EM,AE长,最终分别求出△DAP和△PAE面积,即可得解.方法指导

几何中类比探究关键在于找到处理每一问通法,类比探究第一问往往是特

殊图形,处理方法可能不止一个,但总有一个方法是能够照搬到后面几问,其中所包括三角

形全等或相同,要寻找等量关系或添加辅助线均类似.同时,要注意挖掘题干中不变几何

特征,依据特征寻方法.90/2578.(北京,22,5分)如图,在四边形ABCD中,BD为一条对角线,AD∥BC,AD=2BC,∠ABD=90°,E

为AD中点,连接BE.(1)求证:四边形BCDE为菱形;(2)连接AC,若AC平分∠BAD,BC=1,求AC长.

91/257解析(1)证实:∵E为AD中点,∴AD=2ED.∵AD=2BC,∴ED=BC.∵AD∥BC,∴四边形BCDE为平行四边形.又∵在△ABD中,E为AD中点,∠ABD=90°,∴BE=ED,∴▱BCDE为菱形.(2)设AC与BE交于点H,如图.

∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠DAC,92/257∴∠BAC=∠ACB,∴BA=BC,由(1)可知,BE=AE=BC,∴AB=BE=AE,∴△ABE为等边三角形,∴∠BAC=30°,AC⊥BE,∴AH=CH.在Rt△ABH中,AH=AB·cos∠BAH=

,∴AC=2AH=

.93/257考点三正方形1.(河北,12,2分)用一根长为a(单位:cm)铁丝,首尾相接围成一个正方形.要将它按下列图

方式向外等距扩1(单位:cm),得到新正方形,则这根铁丝需增加

()

A.4cmB.8cmC.(a+4)cmD.(a+8)cm答案

B将正方形按如题图所表示方式向外等距扩1cm得到新正方形,新正方形边长

增加2cm,周长增加8cm,则这根铁丝需增加8cm,故选B.94/2572.(天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC中点,P为对角线BD上一个

动点,则以下线段长等于AP+EP最小值是

()

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF95/257答案

D在正方形ABCD中,连接CE、PC.

∵点A与点C关于直线BD对称,∴AP=CP,∴AP+EP最小值为EC.∵E,F分别为AD,BC中点,∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE.故选D.96/257思绪分析

点A关于直线BD对称点为点C,连接CE,AP+EP最小值就是线段CE长度;通

过证实△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE最小值等于线段AF长.解后反思

本题考查轴对称,正方形性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或

点E)关于直线BD对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得线段长为两条线段和最小值.97/2573.(湖北武汉,14,3分)以正方形ABCD边AD作等边△ADE,则∠BEC度数是

.答案30°或150°解析①当点E在正方形ABCD外时,如图,

∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=AD=AE,∠BAD=90°,∠AED=∠DAE=60°,∴∠BAE=150°,∴∠AEB=∠ABE=15°,同理可得∠DCE=∠DEC=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠DEC=30°.98/257②当点E在正方形ABCD内时,如图,∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=AD=AE,∠BAD=90°,∠AED=∠DAE=60°,∴∠BAE=30°,∴∠AEB=∠ABE=75°,同理可得∠DCE=∠DEC=75°,则∠BEC=360°-∠AED-∠AEB-∠DEC=150°.综上,∠BEC=30°或150°.解题关键

熟记正方形性质、等边三角形性质并准确作图是解题关键.易错警示

此题没有给出图形,需按点E位置分类讨论,学生往往只画出点E在正方形外而导

致漏解.99/2574.(江西,12,3分)在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若

PD=2AP,则AP长为

.答案2,

-

或2

100/257解析∵四边形ABCD是正方形,AB=6,∴AC⊥BD,AC=BD=6

,OA=OD=3

.有三种情况:①点P在AD上时,

∵AD=6,PD=2AP,∴AP=

AD=2;②点P在AC上时,不妨设AP=x(x>0),则DP=2x,

在Rt△DPO中,由勾股定理得DP2=DO2+OP2,101/257即(2x)2=(3

)2+(3

-x)2,解得x=

-

(负值舍去),即AP=

-

;③点P在AB上时,∵∠PAD=90°,PD=2AP,∴∠ADP=30°,

∴AP=ADtan30°=6×

=2

.总而言之,AP长为2,

-

或2

.思绪分析

依据正方形性质得出AC⊥BD,AC=BD,OB=OA=OC=OD,画出符合题意三种情

况,依据正方形性质、勾股定理及锐角三角函数求解即可.解题关键

熟记正方形性质,分析符合题意情况,并准确画出图形是解题关键.易错警示

此题没有给出图形,需将点P位置分类讨论,做题时,往往会因只画出点P在正方

形边上而致错.102/2575.(山东青岛,13,3分)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC上一点,CE

=5,F为DE中点.若△CEF周长为18,则OF长为

.

答案

解析∵四边形ABCD是正方形,∴BO=DO,BC=CD,∠BCD=90°.在Rt△DCE中,∵F为DE中

点,∴CF=

DE=EF=DF.∵△CEF周长为18,∴CE+CF+EF=18,又∵CE=5,∴CF+EF=18-5=13,∴DE=DF+EF=13,∴DC=

=12,∴BC=12,∴BE=12-5=7.在△BDE中,∵BO=DO,F为DE中点,∴OF为△BDE中位线,∴OF=

BE=

.103/2576.(北京,27,7分)如图,在正方形ABCD中,E是边AB上一动点(不与点A,B重合),连接DE,点

A关于直线DE对称点为F,连接EF并延长交BC于点G,连接DG,过点E作EH⊥DE交DG延长

线于点H,连接BH.(1)求证:GF=GC;(2)用等式表示线段BH与AE数量关系,并证实.

104/257解析(1)证实:如图,连接DF.

∵四边形ABCD为正方形,∴DA=DC=AB,∠A=∠C=∠ADC=90°.又∵点A关于直线DE对称点为F,∴△ADE≌△FDE,∴DA=DF=DC,∠DFE=∠A=90°,∴∠DFG=90°.在Rt△DFG和Rt△DCG中,105/257

∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL),∴GF=GC.(2)线段BH与AE数量关系:BH=

AE.证实:在线段AD上截取AM,使AM=AE,连接ME.

∵AD=AB,∴DM=BE.由(1)得∠1=∠2,∠3=∠4,106/257∵∠ADC=90°,∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∴2∠2+2∠3=90°,∴∠2+∠3=45°,∴∠EDH=45°.∵EH⊥DE,∴DE=EH,∵∠DEH=90°,∠A=90°,∴∠1+∠AED=90°,∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.在△DME和△EBH中,

∴△DME≌△EBH(SAS),∴ME=BH.∵∠A=90°,AM=AE,107/257∴ME=

AE,∴BH=

AE.思绪分析

本题第(1)问需要经过正方形性质和轴对称性质处理;本题第(2)问需要经过构

造全等三角形,利用等腰直角三角形性质处理.解题关键

处理本题第(2)问关键是要经过截取得到等腰直角三角形,并借助SAS证实三角

形全等,从而将BH和AE转化到△AME中证实数量关系.108/2577.(陕西,19,7分)如图,在正方形ABCD中,E、F分别为边AD和CD上点,且AE=CF,连接

AF、CE交于点G.求证:AG=CG.

证实∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADF=∠CDE=90°,AD=CD.∵AE=CF,∴DE=DF.

(2分)∴△ADF≌△CDE.∴∠DAF=∠DCE.

(4分)又∵∠AGE=∠CGF,AE=CF,∴△AGE≌△CGF,∴AG=CG.

(7分)109/257C组教师专用题组考点一矩形1.(四川南充,8,3分)如图,对折矩形纸片ABCD,使AB与DC重合得到折痕EF,将纸片展平;再

一次折叠,使点D落到EF上点G处,并使折痕经过点A,展平纸片后∠DAG大小为

()

A.30°

B.45°

C.60°

D.75°110/257答案

C如图,依据第二次折叠可知,∠1=∠2,∠MGA=90°,由第一次折叠可知,MN=AN,即NG

是Rt△AMG中线,故AN=GN,所以∠2=∠3.又EF∥AB,所以∠3=∠4,故∠1=∠2=∠4,又因为

∠1+∠2+∠4=90°,所以∠1=∠2=∠4=30°,所以∠1+∠2=∠DAG=60°,故选C.

111/2572.(内蒙古呼和浩特,9,3分)已知矩形ABCD周长为20cm,两条对角线AC,BD相交于点O,

过点O作AC垂线EF,分别交两边AD,BC于E,F(不与顶点重合),则以下关于△CDE与△ABF判

断完全正确一项为

()A.△CDE与△ABF周长都等于10cm,但面积不一定相等B.△CDE与△ABF全等,且周长都为10cmC.△CDE与△ABF全等,且周长都为5cmD.△CDE与△ABF全等,但它们周长和面积都不能确定112/257答案

B∵AO=CO,EF⊥AC,即EF垂直平分AC,∴EA=EC,

∴△CDE周长=CD+DE+CE=CD+AD=10cm,同理可求出△ABF周长为10cm.在△AOE和△COF中,∵

∴△AOE≌△COF,∴AE=CF.∵AD=BC,∴DE=BF.113/257在△CDE和△ABF中,

∴△CDE≌△ABF,故选B.评析

本题考查了矩形性质,线段垂直平分线性质,全等三角形判定,属轻易题.114/2573.(安徽,9,4分)如图