海南市重点中学2024年高考适应性考试数学试卷含解析

海南市重点中学2024年高考适应性考试数学试卷请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上的图象大致为()A． B．C． D．2．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，则下列结论正确的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B3．函数的图象可能为（）A． B．C． D．4．下列选项中，说法正确的是（）A．“”的否定是“”B．若向量满足，则与的夹角为钝角C．若，则D．“”是“”的必要条件5．一个正三角形的三个顶点都在双曲线的右支上，且其中一个顶点在双曲线的右顶点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．运行如图所示的程序框图，若输出的值为300，则判断框中可以填（）A． B． C． D．7．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A． B． C． D．8．已知双曲线C的两条渐近线的夹角为60°，则双曲线C的方程不可能为（）A． B． C． D．9．甲乙两人有三个不同的学习小组，，可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（）A．B．C．D．10．二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是()A．180 B．90 C．45 D．36011．已知底面为边长为的正方形，侧棱长为的直四棱柱中，是上底面上的动点.给出以下四个结论中，正确的个数是（）①与点距离为的点形成一条曲线，则该曲线的长度是；②若面，则与面所成角的正切值取值范围是；③若，则在该四棱柱六个面上的正投影长度之和的最大值为.A． B． C． D．12．某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误的是（）．A．收入最高值与收入最低值的比是B．结余最高的月份是月份C．与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D．前个月的平均收入为万元二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.14．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，内切球半径为，则__________．15．如图，在正四棱柱中，P是侧棱上一点，且.设三棱锥的体积为，正四棱柱的体积为V，则的值为________.16．已知数列为等比数列，，则_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若在上恒成立，求的取值范围．18．（12分）已知是抛物线的焦点，点在轴上，为坐标原点，且满足，经过点且垂直于轴的直线与抛物线交于、两点，且.（1）求抛物线的方程；（2）直线与抛物线交于、两点，若，求点到直线的最大距离.19．（12分）网络看病就是国内或者国外的单个人、多个人或者单位通过国际互联网或者其他局域网对自我、他人或者某种生物的生理疾病或者机器故障进行查找询问、诊断治疗、检查修复的一种新兴的看病方式.因此，实地看病与网络看病便成为现在人们的两种看病方式，最近某信息机构调研了患者对网络看病，实地看病的满意程度，在每种看病方式的患者中各随机抽取15名，将他们分成两组，每组15人，分别对网络看病，实地看病两种方式进行满意度测评，根据患者的评分（满分100分）绘制了如图所示的茎叶图：（1）根据茎叶图判断患者对于网络看病、实地看病那种方式的满意度更高？并说明理由；（2）若将大于等于80分视为“满意”，根据茎叶图填写下面的列联表：满意不满意总计网络看病实地看病总计并根据列联表判断能否有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关？（3）从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，求这2人平分都低于90分的概率.附，其中.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82820．（12分）若函数为奇函数，且时有极小值.（1）求实数的值与实数的取值范围；（2）若恒成立，求实数的取值范围.21．（12分）已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.（1）求证：.（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.附：多项式因式分解公式：22．（10分）在四棱锥中，是等边三角形，点在棱上，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值；（3）设直线与平面相交于点，若，求的值．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值即可利用排除法解得；【详解】解：依题意，，故函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C；而，排除B；，排除D.故选：.【点睛】本题考查函数图象的识别，函数的奇偶性的应用，属于基础题.2、C【解析】试题分析：集合考点：集合间的关系3、C【解析】

先根据是奇函数，排除A，B，再取特殊值验证求解.【详解】因为，所以是奇函数，故排除A，B，又，故选：C【点睛】本题主要考查函数的图象，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.4、D【解析】

对于A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，即可判断出；对于B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角；对于C当m=0时，满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立；对于D根据元素与集合的关系即可做出判断．【详解】选项A根据命题的否定可得：“∃x0∈R，x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2-x＞0”，因此A不正确；选项B若向量满足，则与的夹角为钝角或平角，因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2，但是a≤b不一定成立，因此不正确；选项D若“”，则且，所以一定可以推出“”，因此“”是“”的必要条件，故正确.故选：D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等，属于简单题.5、D【解析】

因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线可解得．【详解】因为双曲线分左右支，所以，根据双曲线和正三角形的对称性可知：第一象限的顶点坐标为，，将其代入双曲线方程得：，即，由得．故选：．【点睛】本题考查了双曲线的性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．6、B【解析】

由，则输出为300，即可得出判断框的答案【详解】由，则输出的值为300，，故判断框中应填？故选：．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．7、B【解析】

由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，由此求出四棱锥的体积．【详解】由三视图知该四棱锥是底面为正方形，且一侧棱垂直于底面，画出四棱锥的直观图，如图所示：则该四棱锥的体积为.故选：B.【点睛】本题考查了利用三视图求几何体体积的问题，是基础题．8、C【解析】

判断出已知条件中双曲线的渐近线方程，求得四个选项中双曲线的渐近线方程，由此确定选项.【详解】两条渐近线的夹角转化为双曲渐近线与轴的夹角时要分为两种情况．依题意，双曲渐近线与轴的夹角为30°或60°，双曲线的渐近线方程为或.A选项渐近线为，B选项渐近线为，C选项渐近线为，D选项渐近线为.所以双曲线的方程不可能为.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线方程，属于基础题.9、A【解析】依题意，基本事件的总数有种，两个人参加同一个小组，方法数有种，故概率为.10、A【解析】试题分析：因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.考点：1.二项式定理；2.组合数的计算.11、C【解析】

①与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，利用弧长公式，可得结论；②当在（或时，与面所成角（或的正切值为最小，当在时，与面所成角的正切值为最大，可得正切值取值范围是；③设，，，则，即，可得在前后、左右、上下面上的正投影长，即可求出六个面上的正投影长度之和．【详解】如图：①错误，因为，与点距离为的点形成以为圆心，半径为的圆弧，长度为；②正确，因为面面，所以点必须在面对角线上运动，当在（或）时，与面所成角（或）的正切值为最小（为下底面面对角线的交点），当在时，与面所成角的正切值为最大，所以正切值取值范围是；③正确，设，则，即，在前后、左右、上下面上的正投影长分别为，，，所以六个面上的正投影长度之，当且仅当在时取等号.故选：.【点睛】本题以命题的真假判断为载体，考查了轨迹问题、线面角、正投影等知识点，综合性强，属于难题．12、D【解析】由图可知，收入最高值为万元，收入最低值为万元，其比是，故项正确；结余最高为月份，为，故项正确；至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同，故项正确；前个月的平均收入为万元，故项错误．综上，故选．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．14、【解析】

该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，由此能求出，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，从而内切球半径为，由此能求出．【详解】四棱锥为阳马，侧棱底面，且，，设该阳马的外接球半径为，该阳马补形所得到的长方体的对角线为外接球的直径，，，侧棱底面，且底面为正方形，内切球在侧面内的正视图是的内切圆，内切球半径为，故．故答案为．【点睛】本题考查了几何体外接球和内切球的相关问题，补形法的运用，以及数学文化，考查了空间想象能力，是中档题．解决球与其他几何体的切、接问题，关键是能够确定球心位置，以及选择恰当的角度做出截面.球心位置的确定的方法有很多，主要有两种：（1）补形法（构造法），通过补形为长方体（正方体），球心位置即为体对角线的中点；（2）外心垂线法，先找出几何体中不共线三点构成的三角形的外心，再找出过外心且与不共线三点确定的平面垂直的垂线，则球心一定在垂线上.15、【解析】

设正四棱柱的底面边长，高，再根据柱体、锥体的体积公式计算可得.【详解】解：设正四棱柱的底面边长，高，则，即故答案为：【点睛】本题考查柱体、锥体的体积计算，属于基础题.16、81【解析】

设数列的公比为，利用等比数列通项公式求出，代入等比数列通项公式即可求解.【详解】设数列的公比为，由题意知，因为，由等比数列通项公式可得，，解得，由等比数列通项公式可得，.故答案为：【点睛】本题考查等比数列通项公式；考查运算求解能力；属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）【解析】

（1）,对函数求导,分别求出和,即可求出在点处的切线方程;（2）对求导,分、和三种情况讨论的单调性,再结合在上恒成立,可求得的取值范围.【详解】（1）因为,所以,所以,则,故曲线在点处的切线方程为.（2）因为,所以,①当时,在上恒成立,则在上单调递增,从而成立,故符合题意;②当时,令,解得,即在上单调递减,则,故不符合题意;③当时,在上恒成立,即在上单调递减,则,故不符合题意.综上,的取值范围为.【点睛】本题考查了曲线的切线方程的求法,考查了利用导数研究函数的单调性,考查了不等式恒成立问题,利用分类讨论是解决本题的较好方法,属于中档题.18、（1）；（2）.【解析】

（1）求得点的坐标，可得出直线的方程，与抛物线的方程联立，结合求出正实数的值，进而可得出抛物线的方程；（2）设点，，设的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合求得的值，可得出直线所过定点的坐标，由此可得出点到直线的最大距离.【详解】（1）易知点，又，所以点，则直线的方程为.联立，解得或，所以.故抛物线的方程为；（2）设的方程为，联立有，设点，，则，所以.所以，解得.所以直线的方程为，恒过点.又点，故当直线与轴垂直时，点到直线的最大距离为.【点睛】本题考查抛物线方程的求解，同时也考查了抛物线中最值问题的求解，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.19、（1）实地看病的满意度更高，理由见解析；（2）列联表见解析，有；（3）.【解析】

（1）对实地看病满意度更高，可以从茎叶图四个方面选一个回答即可；（2）先完成列联表，再由独立性检验得有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关；（3）利用古典概型的概率公式求得这2人平分都低于90分的概率.【详解】（1）对实地看病满意度更高，理由如下：（i）由茎叶图可知：在网络看病中，有的患者满意度评分低于80分；在实地看病中，有的患者评分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（ii）由茎叶图可知：网络看病满意度评分的中位数为73分，实地看病评分的中位数为87分，因此患者对实地看病满意度更高.（iii）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分平均分低于80分；实地看病的满意度的评分平均分高于80分，因此患者对实地看病满意度更高.（iV）由茎叶图可知：网络看病的满意度评分在茎6上的最多，关于茎7大致呈对称分布；实地看病的评分分布在茎8，上的最多，关于茎8大致呈对称分布，又两种看病方式打分的分布区间相同，故可以认为实地看病评分比网络看病打分更高，因此实地看病的满意度更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一一种或其他合理理由均可得分.（2）参加网络看病满意度调查的15名患者中共有5名对网络看病满意，10名对网络看病不满意；参加实地看病满意度调查的15名患者中共有10名对实地看病满意，5名对实地看病不满意.故完成列联表如下：满意不满意总计网络看病51015实地看病10515总计151530于是，所以有的把握认为患者看病满意度与看病方式有关.（3）网络看病的评价的分数依次为82，85，85，88，92，由小到大分别记为，从网络看病的评价“满意”的人中随机抽取2人，所有可能情况有：；；；共10种，其中，这2人评分都低于90分的情况有：；；共6种，故由古典概型公式得这2人评分都低于90分的概率.【点睛】本题主要考查茎叶图的应用和独立性检验，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20、（1），；（2）【解析】

（1）由奇函数可知在定义域上恒成立，由此建立方程，即可求出实数的值；对函数进行求导，，通过导数求出，若，则恒成立不符合题意，当，可证明，此时时有极小值.（2）可知，进而得到，令，通过导数可知在上为单调减函数，由可得，从而可求实数的取值范围.【详解】（1）由函数为奇函数，得在定义域上恒成立，所以，化简可得，所以.则，令，则.故当时，；当时，，故在上递减，在上递增，若，则恒成立，单调递增，无极值点；所以，解得，取，则又函数的图象在区间上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间上，存在为函数的零点，为极小值，所以，的取值范围是.（2）由满足，代入，消去可得.构造函数，所以，当时，，即恒成立，故在上为单调减函数，其中.则可转化为，故，由，设，可得当时，则在上递增，故.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了奇函数的定义，考查了转化的思想.对于恒成立的问题，常转化为求的最小值，使；对于恒成立的问题，常转化为求的最大值，使.21、（1）证明见解析（2）【解析】

（1）由得令可得，进而得到，同