高考数学高分秘籍数系的扩充与复数的引入含解析

数系的扩充与复数的引入1．如果复数z=2-1+i A．|z|=2 B．z的实部为1 C．z的虚部为﹣1 D．z的共轭复数为1+i【答案】C【解答】：由z=2-1+i=2(-1-i)所以|z|=2，z的实部为﹣1，z的虚部为﹣1z的共轭复数为﹣1+i，故选：C．【名师点睛】本题考查复数除法运算以及复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.复数的定义形如a+bi（a，b∈R）的数叫作复数，其中a叫作复数的实部，b叫作复数的虚部，i为虚数单位且规定i2=–1．注意：复数的虚部是b，而不是bi．2．复数21-i（i A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【答案】B【解答】：化简可得z=2=2(1+i)(1-i)(1+i)=1+i∴z的共轭复数z=1﹣i故选：B．【名师点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．共轭复数一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数．互为共轭复数的充要条件：a+bi与c+di互为共轭复数⇔a=c，b=–d（a，b，c，d∈R）．求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准代数形式，然后其实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．3．若i是虚数单位，复数z的共轭复数是z，且2i﹣z=4﹣i，则复数z的模等于（） A．5 B．25 C．5 D．17【答案】A【解答】：∵2i﹣z=4﹣i，∴z=﹣4+3i，∴z=﹣4﹣3i，∴|z|=(-4)2故选：A．【名师点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.复数的模向量的长度r叫作复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，则|z|=|a+bi|=r=（r≥0，r∈R），即复数a+bi的模表示点Z（a，b）与原点O的距离．特别地，b=0时，z=a+bi是实数a，则|z|=|a|．求复数的模时，直接根据复数的模的公式|a+bi|=和性质|z2|=||2=z·，|z1·z2|=|z1|·|z2|，||=，||=|z|等进行计算．1．己知点Z1，Z2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，若复数z对应的向量为Z1A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【解析】因为点Z1，Z2的坐标分别为(1，0)，(0，1)，所以Z1Z2=(-1,1)【名师点睛】本题考查了平面向量的坐标表示，向量的始点和终点的顺序很重要.复数的几何意义2．已知复数a+i2-i是纯虚数（i是虚数单位），则实数a A．﹣2 B．2 C．12 D．﹣【答案】C【解答】：∵a+i2-i=(a+i)(2+i)(2-i)(2+i)=∴&2a-1=0&a+2≠0，解得故选：C．复数的分类z=a+bi注意：（1）一个复数为纯虚数，不仅要求实部为0，还需要求虚部不为0；（2）两个不全是实数的复数不能比较大小；（3）复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示．3．已知i为虚数单位，则=（） A．﹣1+i B．﹣1 C．1﹣i D．0【答案】A【解答】：=i(1-i=2i1-i=2i(1+i)故选：A．复数的四则运算1．复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算，把含有虚数单位i的项看作一类同类项，不含i的项看作另一类同类项，分别合并即可；复数除法运算的关键是分母实数化，注意要把i的幂化成最简形式．2．复数运算中的常用结论：（1）（1±i）2=±2i；（2）=i；（3）=–i；（4）=b–ai；（5）i4n=1，i4n+1=i，i4n+2=–1，i4n+3=–i，i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0（n∈N）．1．下列命题中，假命题的是（） A．若z为实数，则z=z B．若z=z，则z为实数 C．若z为实数，则z•z为实数 D．若z•z为实数，则z为实数2．已知i为虚数单位，若复数（a+i）2i为正实数，则实数a的值为（） A．2 B．1 C．0 D．﹣13．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（） A．﹣2 B．- C．2 D．14．设复数z满足z+i1 A．2﹣i B．2+i C．3i D．2+i5．设z=﹣12+32i，则z A．﹣1 B．0 C．1 D．26．若z1=1+2i，z2=1﹣i，则|z1z2|=（） A．6 B．10 C．6 D．27．已知复数2i﹣3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是（） A．12，0 B．24，26 C．12，26 D．6，81、z2满足|z1|=|z2|=1，z1﹣z2=2-4i2+i，则z1 A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i9.若复数z满足（1﹣2i）z=2﹣i，则在复平面内z对应的点位于（） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10.已知复数z=2+bi（b∈R）（i为虚数单位）的共轭复数为z，且满足z2为纯虚数，则z⋅z A．22 B．23 C．8 D．1211.复平面上矩形ABCD的四个顶点中，A，B，C所对应的复数分别为2+3i，3+2i，-2- A.-2+3i B.-3-12.复数z1=3a+5+10-1.D【解答】：对于A、若z为实数，则z=z，正确；对于B、设z=a+bi（a，b∈R），则z=a-bi，由z=z，可得b=﹣b，则b=0，即z为实数，故对于C、若z为实数，则z•z=|z|2为实数，故C正确；对于D、对于任意复数z，都有z•z=|z|2为实数，故D错误．故选：D．2.D【解答】：∵（a+i）2i=（a2﹣1+2ai）i=﹣2a+（a2﹣1）i为正实数，∴，解得a=﹣1．故选：D．3.C【解答】：设z=bi（b≠0），由z（1﹣2i）=a+i，得bi（1﹣2i）=a+i，即2b+bi=a+i，∴b=1，a=2．故选：C．4.A【解答】：∵z+i1∴z+i=（1+i）（1﹣i）=2，∴z=2﹣i．故选：A．5.A【解答】：由z=﹣12+3得z2+z=z(z+1)=(-12故选：A．6.B【解答】：∵z1=1+2i，z2=1﹣i，∴|z1z2|=|1+2i|•|1﹣i|=5×故选：B．7.C【解答】：∵2i﹣3是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根，由实系数一元二次方程虚根成对定理，可得方程另一根为﹣2i﹣3，则q2﹣p2故选：C．8.A【解答】：z1﹣z2=2-4i2+i=(2由|z1|=|z2|=1，设z1=cosα+isinα，z2=cosβ+isinβ，∴cosα=cosβ，sinα﹣sinβ=﹣2，∴cosα=cosβ=0，sinα=﹣1，sinβ=1，∴z1=﹣i，z2=i，则z1•z2=﹣i•i=1．故选：A．9.A【