计算机组成原理

计算机组成原理

数值型数据：可用来表示数量的多少，可比较其大小，具有特定值的一类数据。

非数值型数据：主要指字符数据、逻辑数据等。在一些专用处理器上指令集可对多媒体信息进行处理，此时图形、声音和活动图象数据看成非数值型数据。

信息：根据ISO定义，可以通俗认为，信息是对人有用的数据，这些数据可能影响到人们的行为和决策。

计算机信息处理，简言之由计算机进行数据处理，处理主要目标是获取有用信息。即通过数据采集和输入、有效地把数据组织到计算机中，由计算机系统对数据进行相应的处理加工(如存储、建库、转换、合并、分类、计算统计、汇总、传送等操作)，最后提供有用的信息给用户。媒体—承载信息的载体。根据ITU下属CCITT的定义，与计算机信息处理有关的媒体有5种：第2页,共119页，2024年2月25日，星期天⑴感觉媒体⑵表示媒体⑶存储媒体⑷表现媒体：⑸传输媒体：通信载体数字计算机内部所处理的所有数字都是“数字化编码”了的数据，即都是一种表示媒体信息。第3页,共119页，2024年2月25日，星期天

“数字化编码”过程：指对感觉媒体信息进行定时采样，将现实世界中的连续信息转换成计算机中的离散的“样本”信息。然后对这些离散的“样本”信息用“0”或“1”这两个基本符号进行数字化编码，即对样本值进行二进制编码。

编码：就是用少量简单的基本符号，对大量复杂多样的信息进行一定规律的组合。

基本符号和组合规则是一切信息编码的两大要素。

计算机内部采用二进制表示的原因有以下三个原因：⑴二进制只有两种基本状态，与两个稳定状态的物理器件的状况相符，易实现。⑵二进制的编码、计数和运算规则简单易行。⑶“0”和“1”两个符号正好与逻辑命题的两个逻辑值“假”和“真”相对应，为计算机应用于逻辑判断提供了方便。

计算机内部处理的对象分为两大类：数值型数据和非数值型数据。数值数据的编码表示

输入到计算机内部的数据若有确定的值，即在数轴上能找到其对应的点，则称为数值数据。第4页,共119页，2024年2月25日，星期天

计算机内部的数值数据的表示方法有两大类：直接用二进制数表示或采用二进制编码的十进制(BCD码—BinaryCodedDecimalNumber)表示。2.1进位计数制与数制之间的转换

进位计数制—用少量的符号(也称数码)，按先后次序把它们排列成序列，由低到高进行计数，计满进位。

基数—计数制中所用到的数字符号个数。

位权(权数)—以基数为底的指数，指数的幂是数位的序号。一般而言，在任一个进位计数制中，若具有0，1，…，R-1共R个数字字符，则称该数字系统为R进制数字系统，其基数为R，采用的是“逢R进一”的运算规则，第i位上的位权为Ri。其位权展开式如下：=xn-1

Rn-1+

xn-2

Rn-2+

…+

x1

R1+

x0

R0+x-1

R-1+

x-2

R-2+

…

+

x-m

R-m（2-1）第5页,共119页，2024年2月25日，星期天

一般地，一个十进制数D=dn-1dn-2…d1d0.d-1d-2…

d-m

其对应值为：

V(D)10=dn-210n-2

+dn-110n-1+…+

d1101+d0100+d-110-1+d-210-2+

…

+

d-m

10-m

其中di(i=n-1，…，1，0，-1，-2，…，-m)可是0~9十个数字符号中任何一个，故基数为“10”。10i为第i位上的位权。在十进制数进行运算时，每位计满十之后要向高位进一。

例：十进制数2059.65代表的实际值用位权展开为V(2059.65)10=2103+0102+5101+9100+610-1+510-2

同理，二进制数的基数是2，只有两个数字符号“0”和“1”，采用“逢二进一”的规则。

例：二进制数(100101.01)2的实际值(100101.01)2=125+024+023+122+021+

020+02-1+12-2

一般地，一个二进制数B=bn-1

bn-2…b1b0.b-1b-2…

b-m第6页,共119页，2024年2月25日，星期天

其对应值为：

V(B)2=bn-1

2n-1+bn-2

2n-2+…+b121+b020+b-12-1+b-22-2+…+b-m

2-m

其中bi(i=n-1，n-2，…，1，0，-1，-2，…，-m)可是0或1两个数字之一。

例2.1计算机系统中常用的进位计数制有：

二进制数：基数为2，各位数字的取值范围是0～l，计数规则是“逢二进一”，后缀为B。如(10100011.1101)2=10100011.1101B。

八进制数：基数为8，各位数字的取值范围是0～7，计数规则是“逢八进一”，后缀为O或Q。如(137.67)8=137.67Q。

十进制数：基数为10，各位数字的取值范围是O～9，计数规则是“逢十进一”，后缀为D或不用后缀。如(2357.89)10=2357.89或(2357.89)10=2357.89D。

十六进制数：基数为16，基本符号0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，A，B，C，D，E，F。计数规则是“逢十六进一”，后缀为H，如(A9BF.36E)16=A9BF.36EH。第7页,共119页，2024年2月25日，星期天四种进位计数制之间的关系见下表。F15171111E14161110D13151101C12141100B11131011A10121010991110018810100077701116660110555010144401003330011222001011100010000000十六进制十进制八进制二进制四种进位计数制之间对应关系表第8页,共119页，2024年2月25日，星期天

在进行不同进制数的转换时，应注意以下几个方面的问题：

1)不同进制数的基数不同，所使用的数字的取值范围也不同。

2)将任意进制数转换为十进制数的方法是“按权相加”，即利用按权展开多项式将系数xi与位权值相乘后，将乘积逐项求和。

例(100101.01)2=(125+024+023+122+021+120+02-1+12-2)10=(37.25)10

例(307.4)8=(382+081+780+48-1)10=(199.5)10

例(4A.2)16=(416+10160+416-1)10=(74.125)10

3)将十进制数转换为任意进制数时，整数部分与小数部分需分别进行转换。整数部分的转换方法是“除以基取余”，小数部分的转换方法是“乘以基取整”。第9页,共119页，2024年2月25日，星期天

(1)利用除以基取余法将十进制整数转换为R进制整数的规则：①把被转换的十进制整数除以基数R，所得余数即为R进制整数的最低位数字。②将前次计算所得到的商再除以基数R，所得余数即为R进制整数的相应位数字。③重复步骤②，直到商为0为止。

(2)利用乘以基取整法将十进制小数转换为R进制小数的规则：①把被转换的十进制小数乘以基数R，所得乘积的整数部分即为R进制小数的最高位数字。②将前次计算所得到的乘积的小数部分再乘以基数R，所得新的乘积的整数部分即为R进制小数的相应位数字。③重复步骤②，直到乘积的小数部分为0或求得所要求的位数为止。

4)因为23=8，24=16，所以二进制数与八进制数、十六进制数之间的转换可以利用它们之间的对应关系直接进行转换。第10页,共119页，2024年2月25日，星期天

(1)将二进制数转换为八进制数的方法：①将二进制数的整数部分从最低有效位开始，每三位二进制数对应一位八进制数，不足三位，高位补0。②将二进制数的小数部分从最高有效位开始，每三位二进制数对应一位八进制数，不足三位，低位补0。

(2)将二进制数转换为十六进制数的方法：①将二进制数的整数部分从最低有效位开始，每四位二进制数对应一位十六进制数，不足四位，高位补0。②将二进制数的小数部分从最高有效位开始，每四位二进制数对应一位十六进制数，不足四位，低位补0。

例2.2将二进制数110011.101转换为十进制数。

解：利用按权展开多项式，采用“按权相加”的方法进行转换。

(110011.101)2=25+24+21+20+2-1+2-3

=32+16+2+1+0.5+0.125=(51.625)10

第11页,共119页，2024年2月25日，星期天8104……………0

例2.3将(10101.0110101)2转换为八进制数和十六进制数。

解：①根据二进制数转换为八进制数的方法可得

(10101.0110101)2=(010101.011010100)2=(25.324)8

②根据二进制数转换为十六进制数的方法可得

(10101.0110101)2=(00010101.01101010)2=(15.6A)8

例2.4①将十进制数834转换成八进制数余数低位8834……………281……………1813……………50高位

所以(834)10=(1502)8

②将十进制数834转换成二进制数第12页,共119页，2024年2月25日，星期天0高位2834

………………02417

………………12208

………………02104

………………0252………………0226………………0213………………026………………023………………121………………1

所以，所以(835)10=(1101000010)2余数低位第13页,共119页，2024年2月25日，星期天

1

………1.50

2

0

………0.75

2

1………

1.375

2

例①将(0.6875)10转换为二进制数。高位整数位0.6875

2

1

………1.0

低位故(0.6875)10=(0.1011)2第14页,共119页，2024年2月25日，星期天

②将(0.6875)10转换为八进制数。

高位

整数位

低位

故(0.6875)10=(0.54)8

注意：由于计算机的位数限制，或者被转换的十进制实数不一定表达成

2-i的形式，其转换的结果，一般为近似值。

例:将(0.15)10转换为二进制数，设计算机系统为8位二进制，则小数为7位，转换过程如下：0.6875

8

5………5.5

8

4………4.0

第15页,共119页，2024年2月25日，星期天0.15

2

0…………0.30

20…………0.60

2

0…………0.40

2

高位整数位

1…………1.20

2

0…………0.80

2

1…………1.20

1…………1.60

2

低位故(0.15)10≈(0.0010011)2第16页,共119页，2024年2月25日，星期天2.2带符号数的表示2.2.1机器数与真值采用二进制表示形式的连同数符一起代码化了的数据，在计算机中统称为机器数或机器码。

真值-用正、负符号加绝对值来表示的实际数值。

机器数可分为无符号数和带符号数两种。

无符号数-是指计算机字长的所有二进制位均表示数值。

带符号数-是指机器数分为符号和数值部分，且均用二进制代码表示。

例2．5设某机器的字长为8位，无符号整数在机器中的表示形式为：

70数据带符号整数在机器中的表示形式为：70S数据第17页,共119页，2024年2月25日，星期天

分别写出机器数10011001作为无符号整数和带符号整数对应的真值。

解：10011001作为无符号整数时，对应的真值是(10011001)2=(153)10

10011001作为有符号整数时，其最高位的数码1代表符号“-”，所以与机器数10011001对应的真值是(-0011001)2=(-25)10

综上所述，可得机器数的特点为：

(1)数的符号采用二进制代码化，0代表“+”，1代表“-”。通常将符号的代码放在数据的最高位。

(2)小数点本身是隐含的，不占用存储空间。

(3)每个机器数数据所占的二进制位数受机器硬件规模的限制，与机器字长有关。超过机器字长的数值要舍去。第18页,共119页，2024年2月25日，星期天

例如，如果要将数x=+0.101100111在字长为8位的机器中表示为一个单字长的数，则只能表示为01011001，最低位的两个1无法在机器中表示。因为机器数的长度是由机器硬件规模规定的，所以机器数表示的数值是不连续的。

例如8位二进制无符号数可以表示256个整数：00000000～11111111可表示0～127；

8位二进制带符号数中：

00000000～01111111可表示正整数0～127，

11111111～10000000可表示负数-127～0，共256个数，其中00000000表示+0，10000000表示-0。

2.2.2原码表示

编码系统

确定一个数值数据的三要素是：进位计数制、定点/浮点表示和编码表示。它们分别用来解决数值数据的基本符号、小数点位置和数的正负号。第19页,共119页，2024年2月25日，星期天

设n+1位机器数X的数字化编码后的机器数X表示为：xnxn-1…x1x0。其中xi为0或1。

机器数X的第一位xn为数的符号，它的取值与真值XT有关。大多数情况下，取值0表示该数为正，取值1表示该数为负。机器数X中除了xn之外的后n位：xn-1…x1x0是数值部分，各位取值与编码有关，各位取值规定如下：

⑴当XT＞0时，xi=xi

(X为定点整数)，或xi=xi-n

(X为定点小数)

⑵当XT≤0时，数值部分各位取值依赖于相应的编码方式，常用的编码方式有原码、补码和反码三种。

⒈原码表示法

原码表示法也称“数值-符号”表示法。符号用“0”表示“+”，“1”表示“-”。

⑴设有定点小数

0.x1x2

…

xn

，其原码用n+1位字长表示形式为xs.x1x2

…

xn，其中xs为符号位。那么，原码的定义如下：第20页,共119页，2024年2月25日，星期天⑵设有定点整数

xnxn-1

…

x0

，其原码用n+1位字长表示形式为xs，xn-1xn-2

…

x0，其中xs为符号位。那么，原码的定义如下：

例2.6已知x，求x的原码[x]原。①x=+0.1010110②x=-0.1010110③x=+1010110④x=+1010110

解：根据原码的定义，可得①[x]原=x=0.1010110②[x]原=1-x=1+|x|=1+0.1010110=1.1010110③[x]原=x=01010110

④[x]原=2n-x=2n+|x|=10000000+01010110=11010110第21页,共119页，2024年2月25日，星期天

由例2.6的结果可知：

(1)[x]原的表示形式x0.x1x2

…

xn为符号位加上x的绝对值。

当x≥0时，符号位x0=0；当x≤0时，符号位x0=1。

(2)当x为纯小数时，[X]原中的小数点默认在符号位x0和数值最高位x1之间；

当x≥0时，[x]原=x；

当x≤0时，

[x]原=l+|x|，即符号位加上x的小数部分的绝对值。

当x为纯整数时，[x]原中的小数点默认在数值最低位xn之后；当x≥0时，[x]原=x；

当x≤0时，[x]原=2n-x=2n+|x|，其中2n是符号位的权值，2n+|x|相当于使符号为l。

(3)将[x]原的符号取反，即可得到[-x]原。

2．原码中0的表示

纯小数+0和-0的原码表示：

[+0]原=0.00…0[-0]原=1.00…0第22页,共119页，2024年2月25日，星期天

纯整数+0和-0的原码表示：

[+0]原=000…0[-0]原=100…0

3．原码的左移和右移对于二进制纯小数x=0.x1x2

…

xn

求2x时，只需将0.x1x2

…

xn依次左移一位，最低位的空位填0即可，即2x=x1.x2

…

xn0。当然，为了保证x左移后仍然是纯小数，0.x1x2

…

xn中的x1应为0，否则2x就会大于1，而不是纯小数了。只需将x1x2…xn依次右移一位，移出的最高位的空位填0即可

原码的移位规则是：符号位不变，数值部分左移或右移，移出的空位填0。

例2.7已知[x]原，求[2x]原、[x/2]原。

第23页,共119页，2024年2月25日，星期天①[x]原=0.0101001②[x]原=10011010

解：①[2x]原=0.1010010

左移后，符号位保持不变，最高位移出，最低位填0。

[x/2]原=1.0010100右移后，符号位保持不变，最高位填0，末尾的1移出。②[2x]原=10110100[x/2]原=10001101

在原码的左移过程中，注意不要将高位的有效数值位移出，否则将会出错(称为上溢)。

4．原码的特点

(1)原码表示直观、易懂，与真值的转换容易。

(2)原码表示中0有两种不同的表示形式，给使用带来了不便。

(3)原码表示法的缺点：原码表示的加减运算复杂。

第24页,共119页，2024年2月25日，星期天2.2.3补码表示补码表示法也称“符号-2”表示法。也就是补码表示的机器数由符号后跟上真值的模2补码构成。

⒈模运算①剩下的低n位不能正确反映运算结果，也即舍弃的高位是运算的一部分，意味着计算结果超出了计算机所能表示的范围，我们称之为“溢出”。②剩下的n位数能正确表示运算结果，也即舍弃的高位是并不影响运算结果。

对于一个多于n位的数丢弃高位而保留低n位数的过程，实际上是等价于将这个多于n位的数去除以2，然后丢去商保留余数，这种操作运算就是模运算。

在模运算中，若A，B，M满足下列关系：A=B+K

M(K为整数)

则记为A≡B(modM)

上式表示A和B分别除以M后所得余数相同。称B和A关于模M同余。也就是说，一个数与除以一个模M后所得的余数是等价的。第25页,共119页，2024年2月25日，星期天

例：时钟系统的模数是12。设现在时间是6点，而表停在10点上，则有两种校正方法：①10-4=6②10+8=18=10+(12-4)≡6

(mod12)

所以在模12系统中：10-4≡10+8

(mod12)，即

-4≡8

(mod12)

称8是-4对模12的补码。同理称9是-3对模12的补码。…

由上例可得如下结论：对于一个确定的模，某数减去小于模的一个数，总可以用该数加上模与减数的绝对值之差来代替，即用该数加上另一数对于模的补码来代替。对于任意x，在模M的条件下的补数[x]补，可由式(2-4)给出：

[x]补=m+x(modM)(2-4)

例时钟系统

10-4≡10+(12-4)≡10+8≡6

(mod12)

第26页,共119页，2024年2月25日，星期天

例4位十进制计数器

9828-1928≡9828+(104-1928)≡9828+8072

≡7900

(mod104)

根据式(2-4)可知：

(1)当x≥0时，m+x大于M，把M丢掉，得[x]补=x，即正数的补数等于其本身。

(2)当x＜0时，[x]补＝m+x＝M-|x|，即负数的补数等于模与该数绝对值之差。

例2.8求模M=2时，二进制数x的补数。

①x＝+0.10110101②x＝-0.10110101

解：

①因为x≥0，把模2丢掉，所以[x]补=2+x=0.10110101(mod2)②因为x＜0，所以[x]补=2+x=2-|x|=10.00000000-0.10110101=1.01001011(mod2)

2．补码的定义

设补码的位数为n+1位(其中符号占1位)，数值部分为n位。则补码定义如下：第27页,共119页，2024年2月25日，星期天

①设有定点小数

0.x1x2

…

xn

，其补码用n+1位字长表示形式为xs.x1x2

…

xn

，其中xs为符号位。那么，其补码的定义如下：

②设有定点整数

xnxn-1

…

x0

，其原码用n+1位字长表示形式为xs，xn-1xn-2

…

x0，其中xs为符号位。那么，补码的定义如下：

例2.9已知x，求x的补码[x]补

①x=+0.1010110②x=-0.1010110③x=+1010110④x=-1010110

解：根据补码的定义，可得

①[x]补=x=0.1010110②[x]补=2+x=10.0000000+(-0.1010110

)=1.0101010

③[x]补=x=01010110④[x]补=27+x=10000000+(-1010110

)=1010101049第28页,共119页，2024年2月25日，星期天

3．特殊数的补码表示

(1)真值0的补码表示

根据补码的定义可知，真值0的补码表示是惟一的，即：

[+0]补=[-0]补=2±0.00….0=0.00…0(纯小数)[+0]补=[-0]补=2n+1±000…0=000…0(纯整数)(2)-1和-2n的补码表示在纯小数补码表示中，[-1]补=2+(-1.00….0)=1.00…0在纯整数补码表示中，[-2n]补=100….0

+(-100….0)=100…0

n+1个0n个0n个0

4．补码的简便求法给定一个二进制数x，如果需要求其补码，可以直接根据定义求得。但当x＜0时，根据定义需要做减法运算，不太方便，因此可采用以下简便方法：

(1)若x≥0，则[x]补=x，并使符号位为0。

(2)若x＜0，符号固定为1，数值部分的各位取反，末位加1。即得[x]补第29页,共119页，2024年2月25日，星期天

例2.10证明补码的简便求法。

证：设x为纯小数，根据式(2-5)的定义，有当x=+0.x1x2

…

xn

时，[x]补=0.x1x2

…

xn

，这时符号位x0=0，表示x≥0；当=-0.x1x2

…

xn时，[x]补=2+x=2-0.x1x2

…

xn=1.11…1+0.00…1-0.x1x2

…

xn=1.11…1-0.x1x2

…

xn+0.00…1所以当x＜0时，将x的各位取反，再在最低位上加1，即可求得x的补码[x]补。

还有一种简单的方法求负数x的补码：

x＜0，符号位固定为1，从右往左查其原码，遇到第1个时，其右各位0和该位1照写，该位1之左各位取反即可。

例2.11用简便方法求出例2.9中x的补码。

①x=+0.1010110，∵x≥0，∴[x]补=0.1010110②x=-0.1010110，∵x＜0，∴[x]补=1.0101010

③x=+1010110，∵x≥0，∴[x]补=01010110④x=-1010110，∵x＜0，∴[x]补=10101010

第30页,共119页，2024年2月25日，星期天

例已知[x]补=10100110，求x。

解：∵

x0=1，表明x＜0，可用下面两种方法求x真值。

①将x的各位取反，再在最低位上加1，即可求得

[x]补的真值xx=-(1011001+1)=-1011010

②符号位为1，则真值符号取“-”，数值位从右往左遇到第1个时，其右各位0和该位1照写，该位1之左各位取反即可。x=-1011010表2-1n=3位时所有整数的补码真值补码真值补码+111(+7)0111-001(-1)1111+110(+6)0110-010(-2)1110+101(+5)0101-011(-3)1101+100(+4)0100-100(-4)1100+011(+3)0011-101(-5)1011+010(+2)0010-110(-6)1010+001(+1)0001-111(-7)1001+000(+0)0000-1000(-8)1000第31页,共119页，2024年2月25日，星期天图2-1补码的几何性质

补码的几何性质说明了以下两点：

(1)正数的补码表示就是其本身，负数的补码表示的实质是把负数映像到正值区域，因此加上一个负数或减去一个正数可以用加上另一个数(负数或减数对应的补码)来代替。(2)从补码表示的符号看，补码中符号位的值代表了数的正确符号，0表示正数，1表示负数；而从映像值来看，符号位的值是映像值的一个数位，因此在补码运算中，符号位可以与数值位一起参加运算。第32页,共119页，2024年2月25日，星期天

6．补码的几个关系⑴补码与原码的转换关系①若x≥0，则[x]原=[x]补。②若x＜0，则将[x]原除符号位以外的各位取反后(即符号位不变)，再在最低位上加1，即可得到[x]补；反之，将[x]补除符号位以外的各位取反后，再在最低位上加1，即可得到[x]原。

例2.12将下列x的原码表示转换为补码表示。①[x]原=0.1010110②[x]原=1.1010110③[x]原=01010110④[x]原=11010110

解：根据原码与补码的转换原则，得

①[x]原=0.1010110，∵x≥0∴[x]补=0.1010110

②[x]原=1.1010110，∵x＜0∴[x]补=1.0101010③[x]原=01010110，∵x≥0∴[x]补=01010110④[x]原=11010110

，∵x＜0∴[x]补=10101010

例2.13将下列x的补码表示转换为原码表示，并求出对应的真值。①[x]补=1.10110②[x]补=1.11101第33页,共119页，2024年2月25日，星期天

解：①∵[x]补=1.10110∴[x]原=1.01010，x=-0.01010②∵[x]补=1.11101∴[x]原=1.00011，x=-0.00011⑵补码与机器负数的关系

由[x]补求[-x]补规则是：连符号位一起取反，末位加1。证明如下：设[x]补=1.0100110，求[-x]补

[x]原=1.1011010

x

=-0.1011010

则-x

=+0.1011010

所以[-x]补=0.1011010

例2.14已知[x]补，求[-x]补。①[x]补=01001101②[x]补=10110010。解：根据对[X]补求补的规则，得①∵[x]补=01001101,∴[-x]补=10110011②∵[x]补=10110010,∴[-x]补=01001110第34页,共119页，2024年2月25日，星期天⑶补码的左移和右移例：由[x]补求[x/2]补。设[x]补=x0.x1x2

…

xn

当x0=0时，即x值为正，[x]补=0.x1x2

…

xn=

即x=1.x1x2

…

xn-2=-1+0.x1x2

…

xn=-1+

故x=-x0+

而

当x0=1时，即x值为负，[x]补=1.x1x2

…

xn=2+x

写成补码形式，即得：

[x/2]补=x0.x0x1x2

…

xn第35页,共119页，2024年2月25日，星期天

由此可见，[x/2]补是[x]补连同符号一起右移1位，依此类推求[2-ix]补，则[x]补连同符号一起右移i位即可。

根据二进制数的移位规则和补码的定义，可知补码的移位规则：

①补码的左移：符号位不变，数值部分左移，最低位移出的空位填0。

②补码的右移：符号位不变，数值部分右移，最高位移出的空位填补与符号位相同的代码。

例2.15已知[x]补，求[2x]补，[x/2]补

①[x]补=0.0101001

②[x]补=11011010

解：①∵[x]补=0.0101001，∴[2x]补=0.1010010

左移后，符号位保持不变，数值最高位移出，最低位填0。

[x/2]补=0.0010100

右移后，符号位保持不变，数值最高位填与符号位相同的0，末尾的1移出。第36页,共119页，2024年2月25日，星期天②∵[x]补=1

1011010，

∴[2x]补=10110100

左移后，符号位保持不变，数值最高位移出，最低位填0。

[x/2]补=11101101

右移后，符号位保持不变，数值最高位填与符号位相同的1，末尾的0移出。☆设[X]补=1.0100110，则

[X/2]补=1.1010011，[X/4]补=1.1101001，…。

7．补码的特点

(1)在补码表示中，用符号位x0表示数值的正负，形式与原码表示相同，即0为正；l为负。但补码的符号可以看做是数值的一部分参加运算。

(2)在补码表示中，数值0只有一种表示方法，即00…0。

(3)负数补码的表示范围比负数原码的表示范围略宽。纯小数的补码可以表示到-l，纯整数的补码可以表示到-2n。第37页,共119页，2024年2月25日，星期天2.2.4反码表示反码表示也是一种机器数，它实质上是一种特殊的补码，其特殊之处在于反码的模比补码的模小一个最低位上的1。

1．反码的定义根据补码的定义可以推出反码的定义如式(2-7)和式(2-8)所示。

①设有定点小数

0.x1x2

…

xn

，其反码用n+1位字长表示形式为x0.x1x2

…

xn

，其中x0为符号位。那么，其反码的定义如下：

②设有定点整数

xnxn-1

…

x0

，其反码用n+1位字长表示形式为xn，xn-1xn-2

…

x0，其中xn为符号位。那么，反码的定义如下：其中，n为数值位的长度。第38页,共119页，2024年2月25日，星期天

根据反码的定义可得反码表示的求法：

(1)若x≥0，则使符号位为0，数值部分与x相同，即可得到[x]反。

(2)若x≤0，则使符号位为1，x的数值部分各位取反，即可得到[x]反。

例2.16已知x

，求[x]反。①x=+0.0101001②x=+1011010③x=-0.0101001④x=-1011010

解：根据反码的定义，可得

①[x]反=0.0101001②[x]反=01011010

③[x]反=1.1010110④[x]反=10100101

设[x]反=x0.x1x2

…

xn，根据反码表示和原码表示的特点，可以得到反码与原码的关系：

(1)若x≥0，即x0=0，则[x]反=[x]原=

x0.x1x2

…

xn

。(2)若x≤0，即x0=1，则[x]反=

，即保持[x]原的符号不变，将[x]原的其他位取反，就可得到[x]反。第39页,共119页，2024年2月25日，星期天

例2.17已知[x]原和[x]补，求[x]反。①[x]原=0.0101001②[x]原=11011010③[x]补=0.0101001④[x]补=11011010

解：

①∵[x]原=0.0101001，∴x＞0，[x]反=[x]原=0.0101001②∵[x]原=11011010，∴x＜0，保持[x]原的符号不变，将[x]原的其他位取反，得[x]反=10100101

③∵[x]补=0.0101001，∴x＞0，[x]反=[x]原=[x]补=0.0101001④∵[x]补=11011010，∴x＜0，根据[x]原与[x]补的关系，得[x]原=

10100110，再根据[x]反与[x]原的关系，得[x]反=11011001。

2．反码的特点

(1)在反码表示中，用符号位x0表示数值的正负，形式与原码表示相同，即0为正；1为负。

(2)在反码表示中，数值0有两种表示方法：第40页,共119页，2024年2月25日，星期天

纯小数的+0和-0的反码表示：

[+0]反=0.00…0[-0]反=1.11…1

纯整数的+0和-0的反码表示：

[+0]反=000…0[-0]反=111…1(3)反码的表示范围与原码的表示范围相同。注意，纯小数的反码不能表示-1，纯整数的反码不能表示-2n。

(4)反码表示在计算机中往往作为数码变换的中间环节。☆注：⑴反码又称基数减1补码。即一个数的反码的各位数字由基数R减去1后再减去该数的对应位而成。

从定义看，反码也就是以(Rn

-R-m)为模的补码。m为小数部分位数。若R=2，则对于n位定点整数(即m=0)，此时模为2n-1。对于m位定点小数(即n=1)，此时模为2-2-m。二进制数1010的反码=(24-1)-1010=1111-1010=0101。它又称为1-补码(1的补码)。对于十进制系统的3725反码=(104-1)-3725=9999-3725=6274。又称9的补码。第41页,共119页，2024年2月25日，星期天⑵反码运算是以(Rn

-R-m)为模的条件下进行的。所以Rn-R-m≡0(modRn

-R-m)

Rn

≡R-m(modRn

-R-m)

这意味着若运算中产生了Rn(即最高进位)，就必须把它加到末位上去，这叫“循环进位”。例：用反码运算来计算9828.45-1928.45

9828.45-1928.45=9828.45+(104-102-1928.45)=9828.45+(9999.99-1928.45)=9828.45+8071.549828.45

+8071.5417899.99

17900.00第42页,共119页，2024年2月25日，星期天★★三种码制的比较主要区别如下：⑴对于正数，三种码制均等于真值本身，正号用0表示。而负数各有不同的表示。⑵最高位均表示符号，补、反码的符号位可看作数值一部分，各数值一起参与运算；原码符号位则和数值部分别对待，不能参与运算。⑶对于真值0，原、反码各有两种表示形式，补码的0的表示是唯一的。⑷原、反码表示的正负数范围相对于0而言是对称的，对于n+1位的二进制数来说，原码和反码表示的范围是：定点整数

(2n-1)

定点小数

(1-2-n)

补码表示正负数范围相对于0是不对称的，其负数表示范围比正数表示范围宽，能多表示一个最小的负数(即绝对值最大的负数)。定点整数-2n~(2n-1)

定点小数-1~1-2-n

定点整数是其最小值等于-2n，定点小数的最小的数为-1。第43页,共119页，2024年2月25日，星期天⑸各种编码采用不同的方法进行移位处理。对于带符号的定点数，应采用算术移位方法(即对数值部分进行移位，符号位不动)。

各种编码的数值部分的移位规则如下：

①原码左移：高位移出，末位补0。若移出非0时，发生溢出。右移：低位移出，高位补0。移出时要进行四舍五入。

②补码左移：高位移出，末位补0。若移出位与符号位不同时，发生溢出。右移：低位移出，高位用符号补足。移出时要进行四舍五入。

③反码左移：高位移出，末位补符。若移出位与符号位不同时，发生溢出。右移：低位移出，高位补符。移出时要进行四舍五入。

例已知[X]补=1.0100110，假定补码为8位，求[x/2]补，[x/4]，[2x]补。第44页,共119页，2024年2月25日，星期天[x/2]补=1.10100110=1.1010011[x/4]补=1.11010011=1.1101010(四舍五入)

[2x]补=1.1001100移出的最高位为0与符号位1不同，故产生溢出。

⑹不同的编码在扩展时采用不同的方法进行填充处理。对于定点小数的扩展，是在低位进行填充处理；定点整数的扩展，是在高位进行填充处理。①原码定点小数：在原数的末位补足0。定点整数：符号不变，在原数符号位后补足0。

②补码定点小数：在原数的末位补足0。定点整数：符号不变，在原数符号位后用数符补足所需的位数。2.2.5移码表示

1．移码的定义移码的定义如式(2-9)和式(2-10)所示。第45页,共119页，2024年2月25日，星期天

纯小数移码的定义：

[x]移=1+x

-1≤x＜1(2-9)

纯整数移码的定义：

[x]移=2n+x

-2n≤x＜2n(2-10)

下面以，n=3时纯整数的移码为例，看一下移码的几何性质。为[x]移=23+x，如表2-2所示。表2-2n=3位时所有整数的补码真值移码真值移码+111(+7)1111-001(-1)0111+110(+6)1110-010(-2)0110+101(+5)1101-011(-3)0101+100(+4)1100-100(-4)0100+011(+3)1011-101(-5)0011+010(+2)1010-110(-6)0010+001(+1)1001-111(-7)0001+000(+0)1000-1000(-8)0000第46页,共119页，2024年2月25日，星期天图2-2移码的几何性质第47页,共119页，2024年2月25日，星期天

2.移码与补码的关系根据式(2-6)给出的纯整数的补码定义可知：

(1)当0≤x＜2n时，[x]补=x，因为[x]移=2n+x，所以[x]移=2n+[x]补。

(2)当-2n≤x＜0时，[x]补=2n+1+x，∵[x]移=2n+x，∴[x]移=2n+[x]补-2n+1

其中，n为数值部分的长度。

例2.18已知x，求[x]补和[x]移。①x=+1011010②x=-1011010

解：①∵x＞0，∴[x]补=01011010，

[x]移=2n+x=2n+1011010=11011010②∵x＜0，∴[x]补=10100110，

[x]移=2n+x=2n+(-1011010)=00100110

3．移码的特点

(1)设[x]移=x0.x1x2

…

xn

，符号位x0表示真值x的正负。

x0=1，x为正；x0=0，x为负。第48页,共119页，2024年2月25日，星期天(2)真值0的移码表示只有一种形式：[+0]移=[-0]移=100…0。

(3)移码与补码的表示范围相同。

纯小数的移码可以表示到-1，

[-1]移=0.00…0；

纯整数的移码可以表示到-2n

，n为数值部分的长度，

[-2n]移=00…0。

(4)真值大时，对应的移码也大；真值小时，对应的移码也小。综上所述，各种码制之间的关系以及转换方法如图2-3所示。若真值x为正，使符号位x0=0；若真值为负，x0=1，数值部分不变，就得到x对应的原码。

真值x为正数时，[x]原=[x]反=[x]补。

当真值x为负时，x对应的原码、补码、反码表示各不相同。保持原码符号位不变，数值位各位取反即得反码；反码末位加1即得补码。不论真值x是正数还是负数，将其对应的补码的符号位取反，数值位不变，即可得到x对应的移码。各种码制之间关系与转换方法见下图第49页,共119页，2024年2月25日，星期天表2-3相同的机器数在不同表示形式中对应的十进制真值255+127-0-1-12711111111173+45-82-83-451010110173-55+73+73+7301001001无符号数移码反码补码原码表示方法机器数

例2.19设某计算机的字长为8位，采用纯整数表示。表2-3中给出了相同的机器数在不同表示形式中对应的十进制真值。第50页,共119页，2024年2月25日，星期天无符号数值的大小01┆127128129┆255真值(十进制)真值(十进制)[x]补[x]移-128-10000000100000000

0000000-127-011111111000000100000001┇┇┇┇-1-00000001111111110

11111110000000000

0000000100000001000000010

000000110000001┇┇┇┇127011111110

11111111

1111111

真值与补码、移码和无符号数对应关系见下表第51页,共119页，2024年2月25日，星期天2.3数的定点表示与浮点表示例如：

(N)10=123.456=123456

10-3=0.123456

103

。同理，同一个二进制数也可以表示成不同的形式，例如

(N)2=1101.0011=11010011

2-3=0.11010011

2+3。由此可见，任何一个R进制数N均可以写成式(2-11)所示的形式：

(N)R=±S×R±e(2-11)

其中，S：尾数，代表数N的有效数字；

R：基值，由计算机系统的设计人员约定，不同的机器，R的取值不同。计算机中常用的R的取值为2、4、8、16；

e：阶码，代表数N的小数点的实际位置。根据小数点的位置是否固定，计算机采用两种不同的数据格式，即定点表示和浮点。2.3.1定点表示

⑴定点小数

假想小数点