安徽省淮北市民生中学高三数学理上学期期末试卷含解析

安徽省淮北市民生中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知函数，，的零点分别为，，，则

参考答案：D略2.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的S值为（

）A．15

B．37

C．83

D．177参考答案：B执行程序，可得，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，不符合，返回循环；，符合，输出；故选：B

3.在圆内，过点的最长弦和最短弦分别是和，则四边形的面积为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B略4.已知α，β为不重合的两个平面，直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的(

)A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面与平面垂直的判定．【分析】利用平面垂直的判定定理得到前者能推出后者；容易判断出后者推不出前者；利用各种条件的定义得到选项．【解答】解：∵平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，则两平面垂直∴直线m?α，那么“m⊥β”成立时，一定有“α⊥β”成立反之，直线m?α，若“α⊥β”不一定有“m⊥β”成立所以直线m?α，那么“m⊥β”是“α⊥β”的充分不必要条件故选A【点评】本题考查平面垂直的判定定理、考查各种条件的定义并利用定义如何判定一个命题是另一个命题的什么条件．5.设复数z满足=i，则|z|=(

)A．1 B． C． D．2参考答案：A【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】先化简复数，再求模即可．【解答】解：∵复数z满足=i，∴z==i，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查复数的运算，考查学生的计算能力，比较基础．6.已知,且成等比数列，则的最小值是A.1

B.

C.

D.

参考答案：C【知识点】等比数列的性质解析：因为成等比数列,则由,则所以当且仅当时取等号,所以,的最小值是,故选C.【思路点拨】依题意成等比数列，可得，再利用对数的运算法则结合基本不等式，即可求出xy的最小值．

7.函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（

）A.向左平移个单位长度

B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度

D.向右平移个单位长度参考答案：D8.已知非零向量满足，则为A.等腰非等边三角形 B.等边三角形C.三边均不相等的三角形 D.直角三角形参考答案：A9.已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若log2a2+log2a8=2，则T9的值为（）A．±512 B．512 C．±1024 D．1024参考答案：A【考点】8G：等比数列的性质．【分析】利用已知条件求出a2a8的值，然后利用等比数列的性质求解T9的值．【解答】解：log2a2+log2a8=2，可得log2（a2a8）=2，可得：a2a8=4，则a5=±2，等比数列{an}的前9项积为T9=a1a2…a8a9=（a5）9=±512．故选：A．【点评】本题考查的等比数列的性质，数列的应用，考查计算能力．10.在锐角三角形ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知，，，则的面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A∵，，∴，即，，又∴,∵，∴,∴

∴，

∴由正弦定理可得：，解得：.故选：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设a＞0，b＞1，若a+b=2，则的最小值为

．参考答案：4+2【考点】7F：基本不等式．【分析】=（）（a+b﹣1）=3+++1=4+【解答】解：=（）（a+b﹣1）=3+++1=4+当时，取等号．故答案为：4+212.已知向量则=

、=

，设函数R），取得最大值时的x的值是

.参考答案：，Z试题分析:由题设,即,故,由此可得;又,故当取最大值时,,即,所以应填Z.考点：向量的数量积公式及三角变换公式等知识的综合运用．【易错点晴】三角函数的图象和性质是中学数学中的重要内容和工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.本题以向量的坐标形式为背景考查的是三角函数的图象和性质及三角变换的有关知识和运用.解答本题时要充分利用题设中提供的有关信息,依据向量的数量积公式建立方程,求出.然后再化简和构建函数运用三角函数的图象和性质使得问题获解.13.设是定义在R上的偶函数，满足且在[-1，0]上是增函数，给出下列关于函数的判断：（1）是周期函数；（2）的图象关于直线对称；（3）在[0，1]上是增函数；（4）其中正确判断的序号

.参考答案：（1）（2）（4）14.已知公差为零的等差数列的前n项和为则等于

.参考答案：4由得，即。所以，所以。15.设，若函数在上的最大值与最小值之差为，则

．参考答案：16.在平面四边形中，，则的最大值为

__

．参考答案：

考点：1、正弦定理、余弦定理应用；2、圆的性质.【方法点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理应用以及圆的性质，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据，对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.对正弦定理也是要注意两方面的应用：一是边角互化；二是求边求角.17.设满足不等式，若，则的最小值为

参考答案：作出满足不等式的平面区域，如图所示，当直线经过点时目标函数取得最小值－1．又由平面区域知，则函数在时，取得最大值，由此可知的最小值为．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（14分）已知函数f（x）=﹣mlnx+（m﹣1）x，m∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处有极值，求m的值；（Ⅱ）当m≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）求证：当m=﹣2时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，有＞﹣1．参考答案：【考点】：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【专题】：导数的综合应用．【分析】：（Ⅰ）由x=2是函数的一个极值点，可得到x=2是f′（x）=0的根，从而求出m；（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），分类讨论m，判断f'（x）的符号，进而得到f（x）的单调区间；（Ⅲ）当m=﹣2时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，要证明，即证明f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2，即证f（x1）+x1＜f（x2）+x2，故我们可以构造辅助函数g（x）=f（x）+x，通过讨论辅助函数g（x）=f（x）+x的单调性证明结论．解：（Ⅰ）∵函数f（x）在x=2处有极值∴∴m=﹣2，经检验m=﹣2符合题意．∴m=﹣2．（Ⅱ）∵==∴（1）当﹣1＜m≤0时，若x∈（0，﹣m）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（﹣m，1）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（2）当m=﹣1时，，f（x）在（0，+∞）上为增函数．（3）当m＜﹣1即﹣m＞1时，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（1，﹣m）时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（﹣m，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．（Ⅲ）当m=﹣2时，函数f（x）=x2+2lnx﹣3x．构造辅助函数g（x）=f（x）+x，并求导得g'（x）=x+﹣2==∴g'（x）＞0，g（x）为增函数．∴对任意0＜x1＜x2，都有g（x1）＜g（x2）成立，即f（x1）+x1＜f（x2）+x2．即f（x1）﹣f（x2）＞x1﹣x2．又∵x1﹣x2＜0，∴（14分）【点评】：本题考查导数的综合应用，函数单调性的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想和分类讨论思想的合理运用．19.如图，在平面直角坐标系xOy中，焦点在x轴上的椭圆C：经过点（b，2e），其中e为椭圆C的离心率．过点T（1，0）作斜率为k（k＞0）的直线l交椭圆C于A，B两点（A在x轴下方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点O且平行于l的直线交椭圆C于点M，N，求的值；（3）记直线l与y轴的交点为P．若=，求直线l的斜率k．参考答案：【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由题意得e2=，．又a2=b2+c2，，解得b2；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．设直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，可设直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程，消去y得（2k2+1）x2=8，由MN∥l，得由（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．得（xM﹣xN）2=4x2=．即可．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，由=得…①，由（2）知…②由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2【解答】解：（1）因为椭圆椭圆C：+=1经过点（b，2e）所以．因为e2=，所以，又∵a2=b2+c2，，解得b2=4或b2=8（舍去）．所以椭圆C的方程为．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）．因为T（1，0），则直线l的方程为y=k（x﹣1）．联立直线l与椭圆方程，消去y，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣8=0，所以x1+x2=，x1x2=．因为MN∥l，所以直线MN方程为y=kx，联立直线MN与椭圆方程消去y得（2k2+1）x2=8，解得x2=因为MN∥l，所以因为（1﹣x1）?（x2﹣1）=﹣[x1x2﹣（x1+x2）+1]=．（xM﹣xN）2=4x2=．所以=．（3）在y=k（x﹣1）中，令x=0，则y=﹣k，所以P（0，﹣k），从而，∵=，…①由（2）知…②由①②得?50k4﹣83k2﹣34=0，解得k2=2或k2=﹣（舍）．又因为k＞0，所以k=．…20.已知函数（m,a为常数，且）的图象过点，.（1）求实数m,a的值；（2）若函数，试判断函数的奇偶性，并说明理由.参考答案：（1）把，的坐标代入，得，解得，.（2）是奇函数.理由如下：由（1）知，所以.所以函数的定义域为.又，所以函数为奇函数.21.已知函数。（1）求函数的对称轴方程；（2）当（0，）时，若函数有零点，求实数的范围；（3）若，（，），求的值。【解析】。（1）令，得（），因此函数的对称轴方程为（）；（2）若函数有零点，则方程即有实数根，也即（（0，））有解，因为，所以，从而，，所以。因此；（3）若，则。因为，所以，因此，因此。参考答案：。（1）令，得（），因此函数的对称轴方程为（）；（2）若函数有零点，则方程即有实数根，也即（（0，））有解，因为，所以，从而，，所以。因此；（3）若，则。因为，所以，因此，因此。【答案】【解析】22.已知函数f（x）=（Ⅰ）求f（）及x∈[2，3]时函数f（x）的解析式（Ⅱ）若f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，求实数k的最小值．参考答案：【考点】函数恒成立问题；分段函数的应用．【分析】（Ⅰ）由函数f（x）=可求f（）的值，由x∈[2，3]?x﹣2∈[0，1]，可求得此时函数f（x）的解析式；（Ⅱ）依题意，分x∈（0，1]、x∈（1，2]、x∈（2，3]三类讨论，利用导数由f（x）≤对任意x∈（0，3]恒成立，即可求得实数k的最小值．【解答】解：（Ⅰ）f（）=﹣f（）=f（）=×=．当x∈[2，3]时，x﹣2∈[0，1]，所以f（x）=[（x﹣2）﹣（x﹣2）2]=（x﹣2）（3﹣x）．（Ⅱ）①当x∈（0，1]时，f（x）=x﹣x2，则对任意x∈（0，1]，x﹣x2≤恒成立?k≥（x2﹣x3）max，令h（x）=x2﹣x3，则h′（x）=2x﹣3x2，令h′（x）=0，可得x=，当x∈（0，）时，h′（x）＞0，函数h（x）单调递增；当x∈（，1）时，h′（x）＜0，函数h（x）单调递减，∴h（x）max=h（）=；②当x∈（1，2]时，x﹣1∈（0，1]，所以f（x）=﹣[（x﹣1）﹣（x﹣1）2]≤恒成立?k≥（x3﹣3x2+2x），x∈（1，2]．令t（x）=x3﹣3x2+2x，x∈（1，2]．则t′（x）=3x2﹣6x+2=3（x﹣1）2﹣1，当x∈（1，1+）时，t（x）单调递减，当x∈