2024届宁夏银川一中高三上学期第五次月考理数试题及答案

银川一中2024届高三年级第五次月考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）AxxBxNx2AB1.已知集合，，则B.（）10,1A.C.0,1D.xisinx（i为虚数单位，xR2.欧拉公式eix）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）ixeixeπA.iB.sinxe2102xisinx)2xisin2x2C.e5i在复平面内对应的点位于第二象限D.，sin2xmsinx0”是假命题，则的取值范围为（(,2](,2)xπm3.若“）(,2](,2)A.B.C.D.14f(x)x2xfx，fx的导函数，则的图像大致是（4.已知函数是函数f(x)）A.C.B.D.为向量与“向量积，5.如果向量a，b的夹角为abab”ababababsinab2，，如果，ab12，则（）A.-16B.16C.-20D.20c6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则必为（）b第1页/共5页A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形x2y4x2y07.已知不等式组表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为x1（）5252825A.B.C.D.42122BCtanABC，则（）8.如图，的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为，直线的斜率为31478747A.B.C.D.2111中，若1a2318，2，则（2）a9.在正项等比数列n123A.1B.2C.3D.23mn10.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升()，甲和乙购买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为a1a，则下列结论正确的是（2，）1a21a2a21a1a，的大小无法确2A.B.C.D.定52，，2fx为偶函数，afbfe311.已知函数fx2xmxm．若372cf，则（）A.bacB.cbaC.cabD.abc的12.如图，在棱长为2正方体ABCD中，M,NAB,AD分别是棱的中点，点E在BD11111111第2页/共5页BC1BECF，点P在线段CM上运动，下列说法正确的是（上，点F在上，且）A.三棱锥NCME的体积不是定值2B.直线BD到平面的距离是112B90C.存在点P，使得11556△D.面积的最小值是1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）3π2121交于点P,y，则sin__________.x2y213.已知角的终边与单位圆14π14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.322的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y1的对称点在y115.已知函数fx1x2的图象上，则实数k的取值范围是__________．lnxx1kx0恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_________．16.已知关于x的不等式三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）60分）Sn前anSn项和为，数列n是以9为首项，为公差的等差数列1.17.已知数列的n（1）求数列的通项公式；ana的前项和T.nn（2）求数列n第3页/共5页y23yxmmR.18.已知圆C：x2，直线l：（1）若直线l与圆Cm相切，求的值；（2）若m2，过直线上一点P作圆的切线lCb，PB，切点为A，B，求四边形面积的最小值及此时点P的坐标，Aac19.在中，角，B，C的对边分别为，，，且满足_____.（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）bc)(sinBsinC)asinAbsinC条件①：条件②：π542()A2（1）求角A；c1，求（2）若为锐角三角形，面积的取值范围.20.如图，在四棱锥P中，PA面ABCD,//CD，且CD2，22,BC,E,F分别为PD,的中点.（1）求证：EF//平面PAB；1（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面所成角的正弦值是？若存在，求出3DM的值，若不存任，说明理由；DP（3）在平面内是否存在点，满足HDHA0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点HH的轨迹图形形状.x1xa121.已知函数fx,aR,且函数f(x)有两个极值点.xa（1）求的范围;x,x(xx)31xlnxlnx2a的最大值.12（2）若函数f(x)的两个极值点为且，求12122（二）选考题（共10分.请考生在第2223两题中任选一题做答，如果多做.则按所做的第一题记分.）[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）第4页/共5页xtt),为参数为l的倾斜角，且22.在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为y1tsin0,，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22．12（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C,B交于两点，点恰为线段P0,1AB的三等分点，求sin.[选修4-5：不等式选讲]（10分）2xaa．0,4的解集为23.已知不等式a（1）求实数的值；11mn0mna（2）若，且，求的最小值．m2n2mn第5页/共5页银川一中2024届高三年级第五次月考理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）AxxBxNx2AB1.已知集合，，则B.（）10,1A.C.0,1D.【答案】B【解析】【分析】根据绝对值的几何意义求集合A，根据一元二次不等式的解法及自然数集求集合B，然后利用集合的交集运算求解即可.Axx3x3x3，【详解】BxNx2xN2x20,1，2.AB0,1故选：B.xisinx（i为虚数单位，xR2.欧拉公式eix）是由瑞土著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，根据此公式可知，下面结论中正确的是（）ixeixeπA.iB.sinxe2102xisinx)2xisin2x2C.e5i在复平面内对应的点位于第二象限D.【答案】D【解析】x【分析】由欧拉公式，代入对应的值，即可判断A和C；由eixxisinx得eixxisinx，两式联立，解出sinx即可判断B；由二倍角公式即可判断D．πππiπ【详解】对于A：由欧拉公式得e2isini，所以i，故A错误；e2i022对于B：由eixxisinx得eixxisinx，第1页/共23页ixxisinxexsinxeixeix得，，两式联立得，两式相减消去eixxisinxixeixieixieixi(eixeixe)所以sinx，故B错误；i22对于C：由欧拉公式得，e5icos5isin5，在复平面对应点的坐标为sin，π因为5(,2π)，2cos50,sin50所以，所以e5i在复平面内对应的点位于第四象限，故C错误；xisinx)22xsinxsinxx2xisin2x，故D正确，2对于D：故选：D．xπ，sin2xmsinx0”是假命题，则的取值范围为（m3.若“）(,2](,2](,2)(,2)A.B.C.D.【答案】B【解析】xπ【分析】确定sin2xmsinx0对于恒成立，变换m2x，根据三角函数的值域得到答案.xπ，”是假命题，sin2xmsinx0【详解】“sin2xsinxxπ2cosx即sin2xmsinx0对于恒成立，即m，xπ，2x2m2.，故故选：B1f(x)x2xfx，fx的导函数，则的图像大致是（4.已知函数是函数f(x)）4A.B.第2页/共23页C.D.【答案】C【解析】12【分析】对函数求导得fx，易知fxfx为奇函数，排除B、D选项；再对fxxsinx求导，易得在fx是递减，即可求解.312f(x)f(x)fx为奇函数，则函数的图像关于原点对称，排除选项B、D，xsinx【详解】1g(x)f(x)g(x)x令当，，2xg(x)0g(x)，f(x)，也就是在递减，排除A，故C正确.33故选：C．为向量与“向量积”，5.如果向量a，b的夹角为ababababababsinab2，，如果，ab12，则（）A.-16B.16C.-20D.20【答案】B【解析】【分析】根据向量的新定义和向量数量积计算即可.ababsinab2【详解】由于，，，ab12，3ababcos102cos12cos,，则则5445所以sinababsin10216，则.5故选：Bc6.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cosA，则必为（）bA.钝角三角形【答案】AB.直角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形第3页/共23页【解析】【分析】由正弦定理得到sinCAsinB，得出sinAB0，进而sinAB0，即可求解.【详解】因为csinCsinBcosA，由正弦定理可得cosA，即，sinCAsinBb又因为sinCsin(AB)sinABAsinB，所以sinABAsinBAsinB，即sinAB0，,B(0,)，所以sinAB0因为，B(,)为钝角三角形.所以，所以2故选：A.x2y4x2y07.已知不等式组表示的平面图形为，则按斜二测画法，平面图形的直观图的面积为x1（）52528254A.B.C.D.2【答案】A【解析】【分析】根据不等式组画出平面图形，再根据斜二测画法得出直观图，根据梯形的面积公式计算即可.【详解】解：根据不等式组，作出如图所示的平面图，32在平面图中，ABBCAD，根据斜二测画法，作出直观图ABCD，31ABAD,BC,AD//BC,A45则在四边形ABCD中，,42113125216(ADBC)ABsinA().则SABCD2242252所以平面图形的直观图的面积为.故选：A.第4页/共23页122BCtanABC，则（）8.如图，的顶点都在坐标轴上，直线AB的斜率为，直线的斜率为31478747A.B.C.D.2【答案】C【解析】tanABC【分析】利用两角差的正切公式可求得的值.【详解】由题可得ABCxCB，23231212ktanktanxCB，得又，得，，122312123tanxCBtan7tanABCtanxCBxAB.1tanxCBtan4故选：C.111中，若1a2318，2，则（2）a9.在正项等比数列n123A.1B.2C.3D.23【答案】C【解析】aaa22【分析】根据等比数列性质有，代入计算即可得.13【详解】因为为等比数列，所以，anaaa2213第5页/共23页1a133aaa181222311112，故1232aa22a229a20a3，所以2所以，又.故选：C.10.近来汽油价格起伏较大，假设第一周、第二周的汽油价格分别为m元/升，n元/升(买汽油的方式不同，甲每周购买40元的汽油，乙每周购买12升汽油，甲、乙两次购买平均单价分别记为mn)，甲和乙购a1a，则下列结论正确的是（2，）1a21a2a21a1a，的大小无法确2A.B.C.D.定【答案】C【解析】a1amn，的表达式，再根据基本不等式即可求解．【分析】分别计算出，关于2【详解】由题意得，m0，n0mn，，4022214040则mn2mn12m12nmna2，1222aa所以．12故选：C．5，2，2fx为偶函数，afbfe311.已知函数fx2xmxm．若372cf，则（）A.bac【答案】A【解析】B.cbaC.cabD.abcm1在gxexx1fx数可得，以及，进而分析得解.x1xx0exx1x0fx1fx1fx1，【详解】因为为偶函数，则第6页/共23页可知的对称轴为x1，fxyxmylog3xm2,2xm，又因为均只有一条对称轴可知只有一条对称轴，则m1，m1，可得fxxm所以fx2x1x1，23fx2x22log3x，当x1时，y2xyx在上为增函数，则在上为增函数，fx因为3gxex1，则gxex1，令x在上单调递增，当x0时，gx0，则gx35gxg00可得exxx10，则e3e2，即；2752由即，可得，则1；exx1x0x1xx0275751e3f2ffe3，所以bac．，可得222故选：A．【点睛】关键点睛：构造恰当的函数，过程中用到了函数gxexx1，对应的不等式为exxx10xxx0xx1，x，，以及变形的．此类不等式常用的有exxx1，ex，加强记忆，方便碰到此类问题后直接使用．xABCDM,NAB,AD分别是棱的中点，点E在BD111112.如图，在棱长为2的正方体中，1111BC1BECF，点P在线段CM上，点F在上，且上运动，下列说法正确的是（）A.三棱锥NCME的体积不是定值第7页/共23页2B.直线BD到平面的距离是112B90C.存在点P，使得11556△D.面积的最小值是1【答案】C【解析】D1到平面的距离判断B；建立空间直角【分析】根据线面平行的判定判断A；根据等体积法求得点坐标系，利用空间向量的数量积运算解决垂直问题判断C；求出△面积的表达式，再求得面积的最1小值判断D.M,NAB,ADBD//的中点，则，11【详解】对于A，分别是棱1111BB1//DDBB1DDDDBD//BD，因为，且，所以四边形为平行四边形，所以111111所以BD//MN，因为平面平面，，所以BD//平面，因为E在BD上，所以点E在平面的距离不变，而不变，ECMN面积是定值，则三棱锥的体积即三棱锥NCME的体积不变，故A错误；BD//BD平面平面BD//平面，11对于B，因为，，，于是1111因此直线BD到平面的距离等于点D1的距离，到平面h112,CMCNCD211N2(22)223，1113117212172CMND(12，DCMN1h，，SCMN232()23212231117332由V1CMN，得h，则h，B错误；CMND12第8页/共23页，C2,0，，B2,0,21M1,0,2对C，以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则D0,2,2,1设，则，Pt2t,t2，PB11t,t,2tPD1t1,2t,2t，tt2t，PBPD1ttt2ttttBPD=902t10由，得，解得1111213t，92130,1，因此存在点P，使得BPD=90，C正确；由于t119对于D，由选项C得Pt2t,t2在，t2的投影点为135165t2(2t)2)2则P到dt，113165345S2dt)2t，所以当t△面积为时，取得最小值为S，D12555错误.故选：C【点睛】关键点睛：本题的关键是利用线面平行的判定来判定A，再通过等体积法求出距离从而判断B，第9页/共23页C,D选项通过建立合适的空间直角坐标系解决.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分.共20分）3π21213.已知角1交于点P,y__________.x2y2，则sin的终边与单位圆1【答案】【解析】##-0.52【分析】根据任意角三角比的定义和诱导公式求解.12【详解】因为角1交于点P,yr|OP1，所以x2y2的终边与单位圆13π2x1221，sincosr12故答案为：.14π14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.3【答案】35π【解析】h2【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长为5，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积为35π.Sπ1S4π；1【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为114πhSSSS12设圆台的高为h，由体积可得，1233h2，所以可得圆台母线长为l22解得h25，12π4πl35π根据侧面展开图可得圆台侧面积为.2故答案为：35π22的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y1的对称点在y115.已知函数fx1x2的图象上，则实数k的取值范围是__________．4【答案】3第10页/共23页【解析】M2为圆心，1为半径的上半圆，则2【分析】变形后得到y1x22表示的图象为以N0的对称图象也是一个半圆，圆心为y1x222关于直线y1，半径1，画出图象，数kACkk，不含形结合得到当直线斜率位于直线AB与直线之间（含）时，满足要求，求出k,k，得到不等式，求出实数k的取值范围.x2222，变形得到x22y221【详解】y1，M2为圆心，1为半径的上半圆，2故y则y11x22表示的图象为以x222关于直线y1N0，半径为，且该圆与的对称图象也是一个半圆，圆心为1两点，B1,0,Q0x轴交于如图所示：直线y1恒过点A0,1，N设直线y1与半圆相切时，切点为C，kACkk）时，满足函数fx1x222故当直线斜率位于直线AB与直线之间（含，不含的图象上有且仅有两个不同的点关于直线y1的对称点在y1的图象上，2m11001其中1，设直线AC:y1，则1，k2m14m解得：或03434kk,1故，解得：，3第11页/共23页4k实数k的取值范围是.34故答案为：3lnxx1kx0恰有2个不同的整数解，则k的取值范围是_________．16.已知关于x的不等式2ln3,【答案】1012【解析】xkx1【分析】将不等式化为，转化为两函数的交点问题，画出函数图象，数形结合求出答案.xlnxx1xx1kx0kx变形为【详解】，xkx1因为x0，所以，xxykx1，fx令，x0，x1xxefx0，时，fx0xef(x)>0，当，当时，x2x1xefxfe所以在上取得极大值，也是最大值，，xefx0且当x1时，第12页/共23页xfx画出的图象如下：xykx过定点0，且当直线位于如图所示的两条直线l:ykx1l:ykx1与之而1122间（包含l，不包含）时，满足恰有两个整数解，l21ln333122ln324110其中，1k22ln3,故答案为：1012【点睛】对于不等式整数解个数问题，通常可转化为两函数图象问题，数形结合来求解.三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）60分）Sn的前项和为，数列是以9为首项，为公差的等差数列anSnn17.已知数列1.n（1）求数列的通项公式；ana的前项和Tnn（2）求数列【答案】（1）.na2n11n1n5210nnTnN*（2）n10nn5n2【解析】【分析】(1)根据题意求出a即可写出的通项公式；nSnn210na,再由nSnSn1的通项公式，找到其正负临界的值，去掉绝对值符号再求和.ann(2)根据【小问1详解】第13页/共23页设等差数列的首项为a,公差为d，1anSn11n10Sn，所以n10nn92则naSSn210n[(n10(n2n112当n2时，nnn1a91又也符合上式，故数列的通项公式为a2n11na.n【小问2详解】数列nTS10nn；2当当n5时，n2n110，的前n项和nnn5时，n2n110，anTaaaaaaaan数列的前n项和n123456782a2345Sn12S5S，nn2(2550)n210nn10n50.21n5210nnTnN*综上所述：n10nn5n2y23yxmmR.18.已知圆C：x2，直线l：（1）若直线l与圆Cm相切，求的值；（2）若m2，过直线上一点P作圆的切线lC，PB，切点为A，B，求四边形面积的最小值及此时点P的坐标，【答案】（1）m16或m1631322P,（2）S，22【解析】1）由圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可，yx2的面积S3（2）当m2时，直线的方程为l，而四边形，由圆的性PClP的质可得当坐标.第14页/共23页【小问1详解】由已知，圆心到直线l：xym0的距离等于半径3，C1md3.即2解得：m16或m16.【小问2详解】x2S2S3PA当m2时，直线的方程为ly，四边形的面积∵为直角三角形，PA22PC33PCl最短，显然当时，PC当最小时，切线长23∴四边形min232S.的面积最小值为2k此时，∴直线1，C，PC1x0，即yx1.y1：32xyx131P,.由，解得，即yx21222yAb19.在中，角，B，C的对边分别为，，，且满足_____.ac第15页/共23页（从以下两个条件中任选一个补充在上面横线上作为已知，将其序号写在答题卡的横线上并作答.）bc)(sinBsinC)asinAbsinC条件①：条件②：π542()A2（1）求角A；c1，求（2）若为锐角三角形，面积的取值范围.π【答案】（1）A；33,3).（2）(82【解析】1）选择①，利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解即得；选择②，利用诱导公式及同角公式求解即得.（2）利用正弦定理求出边b【小问1详解】的范围，再利用三角形面积公式求解即得.bc)(sinBsinC)asinAbsinCbc)2abc，2选择①，由及正弦定理，得b2c2a212整理得a0Aπ，而，2b2c2bc，由余弦定理得Abcπ所以A.3π555412()A，得sin2AcosA，即12AA选择②，由，244A0Aπ，解得，又2π所以A.3【小问2详解】πbcsin(C)π由（1）知，A，由正弦定理得，即bsinBsinC3sinC3sinBsinC31cosCsinC1231，而是锐角三角形，22sinC2tanC第16页/共23页π0C2πππ11223C03b2，tanC则，解得，，即，因此π62tanC30C32133,3)，SbcsinAb(24823,3).所以面积的取值范围是(8220.如图，在四棱锥P中，PA面ABCD,//CD，且CD2，22,BC,E,F分别为PD,的中点.（1）求证：EF//平面PAB；1（2）在线段PD上是否存在一点M，使得直线CM与平面所成角的正弦值是？若存在，求出3DM的值，若不存任，说明理由；DP（3）在平面内是否存在点，满足HDHA0，若不存在，请简单说明理由；若存在，请写出点HH的轨迹图形形状.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，理由见解析；（3）存在，理由见解析.【解析】EGAD交AD于点G,连接EG,,由线线平面证明面面平行，再由面面平行的1）过E作性质即可得出线面平行的证明；nDMtPD(0t,利用向量法结合线面角得正弦值求（2）先求出面解即可;的法向量，设13,HAD（3）由点在空间内轨迹为以AD中点为球心,为半径的球,而AD中点到平面22第17页/共23页32432,.的距离为即可求解【小问1详解】如图，EGAD交ADEG,,过E作于点G,连接PA面ABCD，AD面ABCD，则PAAD，EG,PAPAD又面PAD，PA面，且不共线，故EG//PA，因为E为PD的中点，所以G也为AD中点，又F为BC的中点，所以//，而平面PAB，PA平面，所以EG//，平面，同理//平面PAB，PABPABG，EG,EGF平面又因为EGF//PABEGF,平面所以平面平面，而EF//PAB；所以平面【小问2详解】DMtPD(0t设如图,以点A为原点建立空间直角坐标系,则P(0,B0),C(20),D(22,0)，故PBPC(22PD(22,CD0)，则CMCDCDtPD(2t,tt)，nPByz0取,n,n(x,y,z),则有设平面的法向量nPC22xyz0第18页/共23页|nCM||t2|13|cosn,CM|n||CM|t2)t2(2t)2221272整理得t2t70,解得t或(舍去)，11.所以当时,直线CM与平面所成角的正弦值是23【小问3详解】由（2）知，平面n的一个法向量，(2,,0),13B0),G(2,,0)点AD中点，则22302110322BGn则AD中点到平面的距离为211324，n123,AD由HDHA0，即故H在以AD中点为球心，半径为的球面上，23243233243242)2而，故H在面上的轨迹是半径为()(的圆，232故存在符合题意的H，此时H轨迹是半径为的圆.41232,AD【点睛】关键点点睛：第三问，根据题设有则H在以AD中点为球心，半径为的球面上，再求AD中点到面距离，结合直观想象及计算确定H在面上的轨迹.x1xa121.已知函数fx,aR,且函数f(x)有两个极值点.xa（1）求的范围;x,x(xx)31xlnxlnx2a的最大值.12（2）若函数f(x)的两个极值点为且，求12122)【答案】（1）（2）【解析】1）函数f(x)极值点问题转化为导函数零点问题处理.构造函数2ln3h(x)xxa,(x0)，通过函数的单调性与最值及图象趋势，找到方程h(x)0有两个正实数根的充要条件；2121（2）整体换元法，令t，再结合（1）结论得，将x,x都转化为表示，从而将多t12xxt21第19页/共23页t1)lntt1元最值问题转化为一元函数问题，构造函数t),t，求其最大值即可.【小问1详解】xxaf(x),(x0)由题得，，x2h(x)xxa,(x0)令，则函数f(x)有两个极值点，即方程h(x)0有两个正实数根.1x1h(x)1因为，xxxh(x)0h(x)，所以当时，单调递减，单调递增，x)h(x)0h(x)当时，，，，h(x)h1a所以，x0h(x)xh(x)时，且当时，.所以方程h(x)0有两个正实数根，只需h1a0，解得a1，)即函数f(x)有两个极值点时，的范围为a.【小问2详解】21x，令2t，则t012且3x由，1由（1）知，h(1)h(2)0，axxxx，2即则1122xx