2021年整式的乘除竞赛题

初二上加深提高某些整式乘除复习题1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面解题过程，再解答背面问题．例：若x=×，y=×，试比较x、y大小．解：设=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a .∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种办法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452解：设1.345=x，那么：原式=x（x-1）•2x-x3-x（x-1）2，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.345．4、咱们把符号“n!”读作“n阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时，n!=n•（n-1）•（n-2）…2•1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又规定“在具有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面”．按照以上定义和运算顺序，计算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用品体数实验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!与否成立？12.小明和小强平时是爱思考学生，她们在学习《整式运算》这一章时，发既有些整式乘法成果很有特点，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明说：“这些整式乘法左边都是一种二项式跟一种三项式相乘，右边是一种二项式”，小强说：“是啊！并且右边都可以当作是某两项立方和（或差）”小明说：“尚有，我发现左边那个二项式和最后成果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积2倍”小明说：“二项式中间符号、三项式中间项符号和右边成果中间符号也有点联系”…亲爱同窗们，你能参加到她们讨论中并找到相应规律吗？（1）能否用字母表达你所发现规律？（2）你能运用上面规律来计算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）吗？2、一种单项式加上多项式9（x-1）2-2x-5后等于一种整式平方，试求所有这样单项式．3、化简：（1）；（2）多项式x2-xy与另一种整式和是2x2+xy+3y2，求这一种整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；

（2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2．∴这个整式是x2+2xy+3y2．点评：（1）核心是去括号．①按5、设，求整式值．6、已知整式2x2+ax-y+6与整式2bx2-3x+5y-1差与字母x值无关，试求代数式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）值．解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，由于它们差与字母x取值无关，因此2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=1．2（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=7．8。在盒子里放有四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上整式分别作为分子和分母．（1）求能构成分式概率；（2）在抽取能构成分式卡片中，请你选取其中能进行约分一种分式，并化简这个式．解：（1）四张分别写有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上整式分别作为分子和分母共有4×3=12种成果，其中以“2”作分母3个，不能构成分式，故可以构成9个分式，能构成分式概率为=；（2）答案不唯一．如，=，9.甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一种多项式中a符号，得到成果为6x2+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中x系数，得到成果为2x2-9x+10．请你计算出a、b值各是多少，并写出这道整式乘法对的成果解：设第二个多项中x系数为Z，∴（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10，∴Z=1，∴第二个多项中x系数是1，∴（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10，∴2b+a=-9，ab=10，∴b=-2，a=-5，∴（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；13.由于看错了运算符号，某学生把一种整式减去-4a2+2b2+3c2误觉得是加上-4a2+2b2+3c2，成果得出答案是a2-4b2-2c2，求原题对的答案．解：设本来整式为A则A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2∴A=5a2-6b2-5c2∴A-（-4a2+2b2+3c2）=5a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2．∴原题对的答案为9a2-8b2-8c2．10.依照题意列出代数式，并判断与否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式．（1）情谊商店实行货品七五折优惠销售，则定价为x元物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车速度是a千米/小时，A，B两站间距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位既有多少人？解：（1）依照题意得，售价为：75%x，是整式，是单项式；（2）依照题意，t=，，∴不是整式；（3）依照题意得，当前人数为：（1-25%）m+3，是整式，是多项式．11.某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积3倍．（1）玉米种植面积与水稻种植面积差为m，试用含口整式表达m；（2）当a=102亩时，求m值．解：（1）m=3a-（a+5），=3a-a-5，=2a-5；

（2）当a=102时，m=2×102-5，=199（亩）14.红星中学校办工厂，生产并出售某种规格楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同步每月要消耗其她人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元．（1）若每月销售x块，用整式分别表达两种销售方式所获得利润．（注：利润=销售总额-成本-其她费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预测11月份可销售300块，采用哪一种销售方式获得利润多？（3）若你是红星中学校办工厂厂长，请你进行决策：当预测销售200块黑板时，应选取哪一种销售方式较好？解：（1）厂家直销利润为（30-20）x-1200；委托商场销售利润为（24-20）x；

（2）当x=300时，厂家直销利润为10×300-1200=1800（元）；委托商场销售利润为（24-20）×300=1200（元）；∴采用厂家直销利润大；（3）当x=200时，厂家直销利润为10×200-1200=800（元）；委托商场销售利润为4×200=800（元）；∴两种销售方式同样．16、探究应用：（1）计算（a-2）（a2+2a+4）=（2x-y）（4x2+2xy+y2）=．（2）上面整式乘法计算成果很简洁，你又发现一种新乘法公式：（请用含a．b字母表达）．（3）下列各式能用你发现乘法公式计算是．A．（a-3）（a2-3a+9）B．（2m-n）（2m2+2mn+n2）C．（4-x）（16+4x+x2）D．（m-n）（m2+2mn+n2）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=（2m-3）（4m2+6m+9）=17.阅读下面学习材料：已知多项式2x3-x2+m有一种因式是2x+1，求m值．解法一：设2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），则2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比较系数得：，解得，因此m=0.5解法二：设2x3-x2+m=A（2x+1）（A为整式）．由于上式为恒等式，为了以便计算，取x=-0.5，得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5依照上面学习材料，解答下面问题：已知多项式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种办法求m、n值．解：解法1：设x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），…（1分）则x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b…（2分）比较系数得：，解得，因此m=-5，n=20．…（4分）

18.（1）化简：3x2y-[2xy-（xy-x2y+2xy）]（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一种整式，且A+B+C=0，求C．解：（1）原式=3x2y-[2xy-3xy+x2y]，（2分）=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2（2分），A+B+C=0，C=-（A+B），=-3x2-5y2．（4分）19、问题1：同窗们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式因式分解带来以便，快捷．相信通过下面材料学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功喜悦．例：用简便办法计算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=-52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是运用（填乘法公式名称）；（2）用简便办法计算：9×11×101×10001．问题2：对于形如x2+2ax+a2这样二次三项式，可以用公式法将它分解成（x+a）2形式．但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接运用公式了．此时，咱们可以在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使它与x2+2ax和成为一种完全平方式，再减去a2，整个式子值不变，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）．像这样，先添一恰当项，使式中浮现完全平方式，再减去这个项，使整个式子值不变办法称为“配办法”．（1）运用“配办法”分解因式：a2-4a-12．问题3：若x-y=5，xy=3，求：①x2+y2；②x4+y4值．15.阅读解答题：在数学中，有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决．例：若x=×，y=×，试比较x、y大小．解：设=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，∵x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-2＜0，∴x＜y．

看完后，你学到了这种办法吗？不妨尝试一下，相信你准行！问题：计算3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562．解：设3.456为a，则2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562=a×（a-1）×（a+2）-a3-（a-2）2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4，∵a=3.456，∴原式=2a-4=2×3.456-4=2.912．20.计算：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）•（3a3b2）（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2（4）运用整式乘法公式计算1232-124×122（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），其中x=10，y=-．解：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）•（3a3b2），=-2a3c•（3a3b2），=-6a6b2c；

（2）[2（a2x）3-9ax5]÷（3ax3），=[2a6x3-9ax5]÷（3ax3），=；（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2，=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124×122，=1232-（123+1）×（123-1），=1232-（1232-1），=1232-1232+1，=1；（5）[（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4]÷（xy），=[x2y2-4-2x2y2+4]÷（xy），=（-x2y2）÷（xy），=-xy；当x=10，y=-时，原式=-10×（-）=．21、一种角补角是它余角度数3倍，则这个角度数是多少？(这个角是45°)22、如图所示，是一种正方体平面展开图，标有字母A面是正方体正面，如果正方体相对两个面上标注代数式值与相对面上数字相等，求x、y值．23、已知一种角补角等于这个角余角4倍，求这个角度数．(60)先化简后求值：[（x-y）2+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.5．（1.5）．（•宁夏）设a-b=-2，求值．（2）计算：解：由题意可设字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母变为n2-（n-1）（n+1）．应用平方差公式化简得n2-（n2-12）=n2-n2+1=1，即原式分母值是1，因此原式=24690．（•淄博）依照如下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一种“□2-○2”（两数平方差）形式，并写出其中一种思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一种普通性结论．（不规定证明分析：（1）依照规定求出两数平均数，再写成平方差形式即可．（2）减去数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．（3）依照排列顺序可得，两数相差越大，积越小．解答：解：（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02…（4分）例如，11×29；假设11×29=□2-○2，由于□2-○2=（□+○）（□-○）；因此，可以令□-○=11，□+○=29．解得，□=20，○=9．故11×29=202-92．（或11×29=（20-9）（20+9）=202-92

（2）这10个乘积按照从小到大顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20整式乘除复习题一．学新知识应用1、阅读解答题：有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面解题过程，再解答背面问题．例：若x=×，y=×，比较x、y大小．解：设=a，那么x=（a+1）（a-2）=，y=a（a-1）= .∵x-y=-（）=-2＜0∴x＜y看完后，你学到了这种办法吗再亲自试一试吧，你准行！问题：计算1.345×0.345×2.69--1.345×计算3.456×2.456×5.456--．2、咱们把符号“n!”读作“n阶乘”，规定“其中n为自然数，当n≠0时，n!=n•（n-1）•（n-2）…2•1，当n=0时，0!=1”．例如：6!=6×5×4×3×2×1=720．又规定“在具有阶乘和加、减、乘、除运算时，应先计算阶乘，再乘除，后加碱，有括号就先算括号里面”．按照以上定义和运算顺序，计算：（1）4!=；（2）（3+2）!-4!=；（3）用品体数实验一下，看看等式（m+n）!=m!+n!与否成立？3.小明和小强平时是爱思考学生，她们在学习《整式运算》这一章时，发既有些整式乘法成果很有特点，例如：（x-1）=，（2a+b）（）=，小明说：“这些整式乘法左边都是一种二项式跟一种三项式相乘，右边是一种二项式”，小强说：“是啊！并且右边都可以当作是某两项立方和（或差）”小明说：“尚有，我发现左边那个二项式和最后成果有点像”小强说：“对啊，我也发现左边那个三项式好像是个完全平方式，不对，又好像不是，中间不是两项积2倍”小明说：“二项式中间符号、三项式中间项符号和右边成果中间符号也有点联系”亲爱同窗们，你能参加到她们讨论中并找到相应规律吗？（1）能否用字母表达你所发现规律？（2）你能运用上面规律来计算（-x-2y）吗？（3）下列各式能用你发现乘法公式计算是．A．（a-3）（）B．（2m-n）（2）C．（4-x）（16+4x+）D．（m-n）（）（4）直接用公式计算：（3x-2y）（）=（2m-3）（+9）=4、问题1：同窗们已经体会到灵活运用乘法公式给整式乘法及多项式因式分解带来以便，快捷．相信通过下面材料学习、探究，会使你大开眼界，并获得成功喜悦．例：用简便办法计算195×205．解：195×205=（200-5）（200+5）①=-52②=39975（1）例题求解过程中，第②步变形是运用（填乘法公式名称）；（2）用简便办法计算：9×11×101×10001．问题2：对于形如这样二次三项式，可以用公式法将它分解成形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，咱们可以在二次三项式中先加上一项，使它与和成为一种完全平方式，再减去，整个式子值不变，于是有：=-=像这样，先添一恰当项，使式中浮现完全平方式，再减去这个项，使整个式子值不变办法称为“配办法”．（1）运用“配办法”分解因式：二．乘法公式应用5、一种单项式加上多项式后等于一种整式平方，试求所有这样单项式．6、设，求整式值若x-y=5，xy=3，求：①；②值．三．整式计算7、化简：（1）；（2）多项式与另一种整式和是，求这一种整式解：8、已知整式与整式差与字母x值无关，试求代数式7（）+-（）值．9.甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一种多项式中a符号，得到成果为6+11x-10；由于乙漏抄了第二个多项中x系数，得到成果为2-9x+10．请你计算出a、b值各是多少，并写出这道整式乘法对的成果解：10.由于看错了运算符号，某学生把一种整式减去-4+2+3误觉得是加上-4+2+3，成果得出答案是-4-2，求原题对的答案．11.依照题意列出代数式，并判断与否为整式，如果是整式指明是单项式还是多项式．（1）情谊商店实行货品七五折优惠销售，则定价为x元物品，售价是多少元？（2）一列火车从A站开往B站，火车速度是a千米/小时，A，B两站间距离是120千米，则火车从A站开往B站需要多长时间？（3）某行政单位原有工作人员m人，现精简机构，减少25%工作人员，后又引进人才，调进3人，该单位既有多少人？12.某村小麦种植面积是a亩，水稻种植面积比小麦种植面积多5亩，玉米种植面积是小麦种植面积3倍．（1）玉米种植面积与水稻种植面积差为m，试用含口整式表达m；（2）当a=102亩时，求m值．13.红星中学校办工厂，生产并出售某种规格楚天牌黑板，其成本价为每块20元，若由厂家直销，每块售价30元，同步每月要消耗其她人工费用1200元；若委托商场销售，出厂批发价为每块24元．（1）若每月销售x块，用整式分别表达两种销售方式所获得利润．（注：利润=销售总额-成本-其她费用）（2）新学期各学校教学黑板维修较多，销路较好，预测11月份可销售300块，采用哪一种销售方式获得利润多？（3）若你是红星中学校办工厂厂长，请你进行决策：当预测销售200块黑板时，应选取哪一种销售方式较好？14.（1）化简：3y-[2xy-（xy-y+2xy）]（2）已知A=2+xy+3，B=-xy+2，C是一种整式，且A+B+C=0，求C．15、如图所示，是一种正方体平面展开图，标有字母A面是正方体正面，如果正方体相对两个面上标注代数式值与相对面上数字相等，求x、y值．16计算：（1）（-8c）÷（4a）•（3）（2）[-9a]÷（3a）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（4）运用整式乘法公式计算-124×122三．写多项式办法17.阅读下面学习材料：已知多项式2-+m有一种因式是2x+1，求m值．依照上面学习材料，解答下面问题：已知多项式+m+nx-16有因式x-1和x-2，试用两种办法求m、n值．四．余角和补角18、一种角补角是它余角度数3倍，则这个角度数是多少？19、已知一种角补角等于这个角余角4倍，求这个角度数．小测验姓名1.在盒子里放有四张分别写有整式3-3，-x，+2x+1，2卡片，从中随机抽取两张卡片，把两张卡片上整式分别作为分子和分母．（1）求能构成分式概率；（2）在抽取能构成分式卡片中，请你选取其中能进行约分一种分式，并化简这个式．2.先化简后求值[+（x+y）（x-y）]÷2x，其中x=3，y=1.53.设a-b=-2，求值4.计算5依照如下10个乘积，回答问题：11×29；12×28；13×27；14×26；15×25；16×24；17×23；18×22；19×21；20×20．（1）试将以上各乘积分别写成一种“□2-○2”（两数平方差）形式，并写出其中一种思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一种普通性结论．（不规定证明）初中数学竞赛专项培训第一讲：因式分解(一)多项式因式分解是代数式恒等变形基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是咱们解决许多数学问题有力工具．因式分解办法灵活，技巧性强，学习这些办法与技巧，不但是掌握因式分解内容所必须，并且对于培养学生解题技能，发展学生思维能力，均有着十分独特作用．初中数学教材中重要简介了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基本上，对因式分解办法、技巧和应用作进一步简介．1．运用公式法在整式乘、除中，咱们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中惯用公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)．下面再补充几种惯用公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1)其中n为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1)，其中n为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1)，其中n为奇数．运用公式法分解因式时，要依照多项式特点，依照字母、系数、指数、符号等对的恰本地选取公式．例1分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7．解(1)原式=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn[(x2n)2-2x2ny2+(y2)2]=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2．(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)．(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2＝(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2．本小题可以稍加变形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b7)=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)=(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2分解因式：a3+b3+c3-3abc．本题事实上就是用因式分解办法证明前面给出公式(6)．分析咱们已经懂得公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3对的性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)．这个式也是一种惯用公式，本题就借助于它来推导．解原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc=［(a+b)3+c3］-3ab(a+b+c)=(a+b+c)［(a+b)2-c(a+b)+c2]-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)．阐明公式(6)是一种应用极广公式，用它可以推出诸多有用结论，例如：咱们将公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc显然，当a+b+c=0时，则a3+b3+c3=3abc；当a+b+c＞0时，则a3+b3+c3-3abc≥0，即a3+b3+c3≥3abc，并且，当且仅当a=b=c时，等号成立．如果令x=a3≥0，y=b3≥0，z=c3≥0，则有等号成立充要条件是x=y=z．这也是一种惯用结论．例3分解因式：x15+x14+x13+…+x2+x+1．分析这个多项式特点是：有16项，从最高次项x15开始，x次数顺次递减至0，由此想到应用公式an-bn来分解．解由于x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+…x2+x+1)，因此阐明在本题分解过程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)技巧，这一技巧在等式变形中很惯用．2．拆项、添项法因式分解是多项式乘法逆运算．在多项式乘法运算时，整顿、化简常将几种同类项合并为一项，或将两个仅符号相反同类项互相抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或互相抵消项，即把多项式中某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项目是使多项式能用分组分解法进行因式分解．例4分解因式：x3-9x+8．分析本题解法诸多，这里只简介运用拆项、添项法分解几种解法，注意一下拆项、添项目与技巧．解法1将常数项8拆成-1+9．原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法2将一次项-9x拆成-x-8x．原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．解法3将三次项x3拆成9x3-8x3．原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+x-8)．解法4添加两项-x2+x2．原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)．阐明由此题可以看出，用拆项、添项办法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，重要是要依托对题目特点观测，灵活变换，因而拆项、添项法是因式分解诸办法中技巧性最强一种．例5分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1．解(1)将-3拆成-1-原式=x9+x6+x3-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)．(2)将4mn拆成2mn+2mn．原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)．(3)将(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2．原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=［(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4]-(x2-1)2=［(x+1)2+(x-1)2]2-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)．(4)添加两项+ab-ab．原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)［b(a+b)+1]+(ab+b2+1)=[a(a-b)+1](ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)．阐明(4)是一道较难题目，由于分解后因式构造较复杂，因此不易想到添加+ab-ab，并且添加项后提成三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合，找到公因式．这道题目使咱们体会到拆项、添项法极强技巧所在，同窗们需多做练习，积累经验．3．换元法换元法指是将一种较复杂代数式中某一某些看作一种整体，并用一种新字母代替这个整体来运算，从而使运算过程简要清晰．例6分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12．分析将原式展开，是关于x四次多项式，分解因式较困难．咱们不妨将x2+x看作一种整体，并用字母y来代替，于是原题转化为关于y二次三项式因式分解问题了．解设x2+x=y，则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)．阐明本题也可将x2+x+1看作一种整体，例如今x2+x+1=u，同样可以得到同样成果，有兴趣同窗不妨试一试．例7分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90．分析先将两个括号内多项式分解因式，然后再重新组合．解原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=[(x+1)(2x+3)][(x+2)(2x+1)]-90=(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90．令y=2x2+5x+2，则原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)．阐明对多项式恰当恒等变形是咱们找到新元(y)基本．例8分解因式：(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2．解设x2+4x+8=y，则原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)．阐明由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中元都用新元代换，依照题目需要，引入必要新元，原式中变元和新变元可以一起变形，换元法本质是简化多项式．例9分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6．解法1原式=6(x4+1)＋7x(x2-1)-36x2=6［(x4-2x2+1)+2x2］+7x(x2-1)-36x2=6[(x2-1)2+2x2]+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+7x(x2-1)-24x2=[2(x2-1)-3x］［3(x2-1)+8x]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．阐明本解法事实上是将x2-1看作一种整体，但并没有设立新元来代替它，即纯熟使用换元法后，并非每题都要设立新元来代替整体．解法2原式=x2[6(t2+2)+7t-36]=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x2[2(x-1/x)-3][3(x-1/x)+8]=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)．例10分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)．分析本题具有两个字母，且当互换这两个字母位置时，多项式保持不变，这样多项式叫作二元对称式．对于较难分解二元对称式，经常令u=x+y，v=xy，用换元法分解因式．解原式=[(x+y)2-xy]2-4xy[(x+y)2-2xy]．令x+y=u，xy=v，则原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2．练习一1．分解因式：(2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x5．2．分解因式：(1)x3+3x2-4；(2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+323．3．分解因式：(1)(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20．初中数学竞赛专项培训第二讲：因式分解(二)1．双十字相乘法分解二次三项式时，咱们惯用十字相乘法．对于某些二元二次六项式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，咱们也可以用十字相乘法分解因式．例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3．咱们将上式按x降幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是关于x二次三项式．对于常数项而言，它是关于y二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．再运用十字相乘法对关于x二次三项式分解因此，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］=(x+2y-3)(2x-11y+1)．上述因式分解过程，实行了两次十字相乘法．如果把这两个环节中十字相乘图合并在一起，可得到下图：它表达是下面三个关系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3．这就是所谓双十字相乘法．用双十字相乘法对多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f进行因式分解环节是：(1)用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一种十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，规定第二、第三列构成十字交叉之积和等于原式中ey，第一、第三列构成十字交叉之积和等于原式中dx．例1分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2．解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)．(3)原式中缺x2项，可把这一项系数当作0来分解．原式=(y+1)(x+y-2)．(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．阐明(4)中有三个字母，解法仍与前面类似．2．求根法咱们把形如anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0(n为非负整数)代数式称为关于x一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表达，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，…，当x=a时，多项式f(x)值用f(a)表达．如对上面多项式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12．若f(a)=0，则称a为多项式f(x)一种根．定理1(因式定理)若a是一元多项式f(x)根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一种因式x-a．依照因式定理，找出一元多项式f(x)一次因式核心是求多项式f(x)根．对于任意多项式f(x)，规定出它根是没有普通办法，然而当多项式f(x)系数都是整数时，即整系数多项式时，经惯用下面定理来鉴定它与否有有理根．定理2根，则必有p是a0约数，q是an约数．特别地，当a0=1时，整系数多项式f(x)整数根均为an约数．咱们依照上述定理，用求多项式根来拟定多项式一次因式，从而对多项式进行因式分解．例2分解因式：x3-4x2+6x-4．分析这是一种整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4约数，逐个检查-4约数：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，即x=2是原式一种根，因此依照定理1，原式必有因式x-2．解法1用分组分解法，使每组均有因式(x-2)．原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)．解法2用多项式除法，将原式除以(x-2)，因此原式=(x-2)(x2-2x+2)．阐明在上述解法中，特别要注意是多项式有理根一定是-4约数，反之不成立，即-4约数不一定是多项式根．因而，必要对-4约数逐个代入多项式进行验证．例3分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2．分析由于9约数有±1，±3，±9；-2约数有±1，±为：因此，原式有因式9x2-3x-2．解9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)阐明若整系数多项式有分数根，可将所得出具有分数因式化为整系数因式，如上题中因式可以化为9x2-3x-2，这样可以简化分解过程．总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一种一次因式(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)低一次一元多项式，这样，咱们就可以继续对g(x)进行分解了．3．待定系数法待定系数法是数学中一种重要解题办法，应用很广泛，这里简介它在因式分解中应用．在因式分解时，某些多项式通过度析，可以断定它能分解成某几种因式，但这几种因式中某些系数尚未拟定，这时可以用某些字母来表达待定系数．由于该多项式等于这几种因式乘积，依照多项式恒等性质，两边相应项系数应当相等，或取多项式中原有字母几种特殊值，列出关于待定系数方程(或方程组)，解出待定字母系数值，这种因式分解办法叫作待定系数法．例4分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3．分析由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)，若原式可以分解因式，那么它两个一次项一定是x+2y+m和x＋y＋n形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决．解设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，比较两边相应项系数，则有解之得m=3，n=1．因此原式=(x+2y+3)(x+y+1)．阐明本题也可用双十字相乘法，请同窗们自己解一下．例5分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7．分析本题所给是一元整系数多项式，依照前面讲过求根法，若原式有有理根，则只也许是±1，±7(7约数)，经检查，它们都不是原式根，因此，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x2+ax+b)(x2+cx+d)形式．解设原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd，因此有由bd=7，先考虑b=1，d=7有因此原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．阐明由于因式分解唯一性，因此对b=-1，d=-7等可以不加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法拟定a，c值，就必要将bd=7其她解代入方程组，直到求出待定系数为止．本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但运用待定系数法，使咱们找到了二次因式．由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地．练习二1．用双十字相乘法分解因式：(1)x2-8xy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(3)3x2-11xy+6y2-xz-4yz-2z2．2．用求根法分解因式：(1)x3+x2-10x-6；(2)x4+3x3-3x2-12x-4；(3)4x4+4x3-9x2-x+2．3．用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)x4+5x3+15x-9．初中数学竞赛专项培训第十一讲勾股定理与应用勾股定理直角三角形两直角边a，b平方和等于斜边c平方，即a2+b2=c2．勾股定理逆定理如果三角形三边长a，b，c有下面关系：a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形．早在30前，国内已有“勾广三，股修四，径阳五”说法．关于勾股定理，有诸多证法，在国内它们都是用拼图形面积办法来证明．下面证法1是欧几里得证法．证法1如图2-16所示．在Rt△ABC外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们面积分别是c2，a2，b2．下面证明，大正方形面积等于两个小正方形面积之和．过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE．由于AB=AE，AC=AG，∠CAE=∠BAG，因此△ACE≌△AGB(SAS)．而因此SAEML=b2．①同理可证SBLMD=a2．②①+②得SABDE=SAEML+SBLMD=b2+a2，即c2=a2+b2．证法2如图2-17所示．将Rt△ABC两条直角边CA，CB分别延长到D，F，使AD=a，BF=b．完毕正方形CDEF(它边长为a+b)，又在DE上截取DG=b，在EF上截取EH=b，连接AG，GH，HB．由作图易知△ADG≌△GEH≌△HFB≌△ABC，因此AG=GH=HB=AB=c，∠BAG=∠AGH=∠GHB=∠HBA=90°，因而，AGHB为边长是c正方形．显然，正方形CDEF面积等于正方形AGHB面积与四个全等直角三角形(△ABC，△ADG，△GEH，△HFB)面积和，即化简得a2+b2=c2．证法3如图2-18．在直角三角形ABC斜边AB上向外作正方形ABDE，延长CB，自E作EG⊥CB延长线于G，自D作DK⊥CB延长线于K，又作AF，DH分别垂直EG于F，H．由作图不难证明，下述各直角三角形均与Rt△ABC全等：△AFE≌△EHD≌△BKD≌△ACB．设五边形ACKDE面积为S，一方面S=SABDE+2S△ABC，①另一方面S=SACGF+SHGKD+2S△ABC．②由①，②因此c2=a2+b2．关于勾股定理，在国内古代尚有诸多类似上述拼图求积证明办法，咱们将在习题中展示其中一小某些，它们都以中华人民共和国古代数学家名字命名．运用勾股定理，在普通三角形中，可以得到一种更普通结论．定理在三角形中，锐角(或钝角)所对边平方等于此外两边平方和，减去(或加上)这两边中一边与另一边在这边(或其延长线)上射影乘积2倍．证(1)设角C为锐角，如图2-19所示．作AD⊥BC于D，则CD就是AC在BC上射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，①在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，②又BD2=(BC-CD)2，③②，③代入①得AB2=(AC2-CD2)+(BC-CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2-2BC·CD=AC2+BC2-2BC·CD，即c2=a2+b2-2a·CD．④(2)设角C为钝角，如图2-20所示．过A作AD与BC延长线垂直于D，则CD就是AC在BC(延长线)上射影．在直角三角形ABD中，AB2=AD2+BD2，⑤在直角三角形ACD中，AD2=AC2-CD2，⑥又BD2=(BC+CD)2，⑦将⑥，⑦代入⑤得AB2=(AC2-CD2)+(BC+CD)2=AC2-CD2+BC2+CD2+2BC·CD=AC2+BC2+2BC·CD，即c2=a2+b2+2a·cd．⑧综合④，⑧就是咱们所需要结论特别地，当∠C=90°时，CD=0，上述结论正是勾股定理表述：c2=a2+b2．因而，咱们常又称此定理为广勾股定理(意思是勾股定理在普通三角形中推广)．由广勾股定理咱们可以自然地推导出三角形三边关系对于角影响．在△ABC中，(1)若c2=a2+b2，则∠C=90°；(2)若c2＜a2+b2，则∠C＜90°；(3)若c2＞a2+b2，则∠C＞90°．勾股定理及广勾股定理深刻地揭示了三角形内部边角关系，因而在解决三角形(及多边形)问题中有着广泛应用．例1如图2-21所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC平分线交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求证：AB2=2FG2．分析注意到正方形特性∠CAB=45°，因此△AGF是等腰直角三角形，从而有AF2=2FG2，因而应有AF=AB，这启发咱们去证明△ABE≌△AFE．证由于AE是∠FAB平分线，EF⊥AF，又AE是△AFE与△ABE公共边，因此Rt△AFE≌Rt△ABE(AAS)，因此AF=AB．①在Rt△AGF中，由于∠FAG=45°，因此AG=FG，AF2=AG2+FG2=2FG2．②由①，②得：AB2=2FG2．阐明事实上，在审题中，条件“AE平分∠BAC”及“EF⊥AC于F”应使咱们意识到两个直角三角形△AFE与△ABE全等，从而将AB“过渡”到AF，使AF(即AB)与FG处在同一种直角三角形中，可以运用勾股定理进行证明了．例2如图2-22所示．AM是△ABCBC边上中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2)．证过A引AD⊥BC于D(不妨设D落在边BC内)．由广勾股定理，在△ABM中，AB2=AM2+BM2+2BM·MD．①在△ACM中，AC2=AM2+MC2-2MC·MD．②①+②，并注意到MB=MC，因此AB2+AC2=2(AM2+BM2)．③如果设△ABC三边长分别为a，b，c，它们相应边上中线长分别为ma，mb，mc，由上述结论不难推出关于三角形三条中线长公式．推论△ABC中线长公式：阐明三角形中线将三角形分为两个三角形，其中一种是锐角三角形，另一种是钝角三角形(除等腰三角形外)．运用广勾股定理正好消去相反项，获得中线公式．①′，②′，③′中ma，mb，mc分别表达a，b，c边上中线长．例3如图2-23所示．求证：任意四边形四条边平方和等于对角线平方和加对角线中点连线平方4倍．分析如图2-23所示．对角线中点连线PQ，可看作△BDQ中线，运用例2结论，不难证明本题．证设四边形ABCD对角线AC，BD中点分别是Q，P．由例2，在△BDQ中，即2BQ2+2DQ2=4PQ2+BD2．①在△ABC中，BQ是AC边上中线，因此在△ACD中，QD是AC边上中线，因此将②，③代入①得=4PQ2+BD2，即AB2+BC2+CD2+DA2=AC2+BD2+4PQ2．阐明本题是例2应用．善于将要解决问题转化为已解决问题，是人们解决问题一种基本办法，即化未知为已知办法．下面，咱们再看两个例题，阐明这种转化办法应用．例4如图2-24所示．已知△ABC中，∠C=90°，D，E分别是BC，AC上任意一点．求证：AD2+BE2=AB2+DE2．分析求证中所述4条线段分别是4个直角三角形斜边，因而考虑从勾股定理入手．证AD2=AC2+CD2，BE2=BC2+CE2，因此AD2+BE2=(AC2+BC2)+(CD2+CE2)=AB2+DE2例5求证：在直角三角形中两条直角边上中线平方和4倍等于斜边平方5倍．如图2-25所示．设直角三角形ABC中，∠C=90°，AM，BN分别是BC，AC边上中线．求证：4(AM2+BN2)=5AB2．分析由于AM，BN，AB均可看作某个直角三角形斜边，因而，仿例4办法可从勾股定理入手，但如果咱们能将本题当作例4特殊状况——即M，N分别是所在边中点，那么可直接运用例4结论，使证明过程十分简洁．证连接MN，运用例4结论，咱们有AM2+BN2=AB2+MN2，因此4(AM2+BN2)=4AB2+4MN2．①由于M，N是BC，AC中点，因此因此4MN2=AB2．②由①，②4(AM2+BN2)=5AB2．阐明在证明中，线段MN称为△ABC中位线，后来会懂得中位线基本性质：“MN∥AB且MN=图2-26所示．MN是△ABC一条中位线，设△ABC面积为S．由于M，N分别是所在边中点，因此S△ACM=S△BCN，两边减去公共某些△CMN后得S△AMN=S△BMN，从而AB必与MN平行．又S△ABM=高相似，而S△ABM=2S△BMN，因此AB=2MN．练习十一1．用下面各图验证勾股定理(虚线代表辅助线)：(1)赵君卿图(图2-27)；(2)项名达图(2-28)；(3)杨作枚图(图2-29)．2．已知矩形ABCD，P为矩形所在平面内任意一点，求证：PA2+PC2=PB2+PD2．(提示：应分三种情形加以讨论，P在矩形内、P在矩形上、P在矩形外，均有这个结论．)3．由△ABC内任意一点O向三边BC，CA，AB分别作垂线，垂足分别是D，E，F．求证：AF2+BD2+CE2=FB2+DC2+EA2．4．如图2-30所示．在四边形ADBC中，对角线AB⊥CD．求证：AC2+BD2=AD2+BC2．它逆定理与否成立？证明你结论．5．如图2-31所示．从锐角三角形ABC顶点B，C分别向对边作垂线BE，CF．求证：BC2=AB·BF+AC·CE．全等三角形组别_____________姓名____________…………密组别_____________姓名____________…………密……封………………线………… 三角形全等问题分三个层次:直接运用全等三角形鉴定定理和性质定理,需要咱们敏捷、迅速地发现两条线段或两个角所分布两个三角形及全等条件；当证明相等两条线段或两个角所在三角形全等到条件不充分时，需依照图形其她性质，先证明别两个三角形全等以补足条件；当既有图形任何两个三角形这间不存在全等关系，需要添置辅助线，构造全等三角形来研究平面图形性质。1.理解全等三角形概念和性质。掌握全等三角形鉴定公理及其推论，并能应用她们进行简朴证明和计算。2.懂得全等三角形是解决与线段、角有关问题一种出发点。3.学会演绎推理办法，提高逻辑推理能力和逻辑表达能力，掌握几何证明中分析，综合，转化等数学思想。1.如图，在ABC中，D在AB上，且ΔCAD和ΔCBE都是等边三角形，求证：（1）DE=AB，（2）∠EDB=60°（提示：充分运用等边三角形这个条件是解题核心）线段AC、AD、AB不是同一种三角形三条边，通过中线倍长将分散条件加以集中。线段AC、AD、AB不是同一种三角形三条边，通过中线倍长将分散条件加以集中。在ΔABC中，AB=6，中线AD=7，则边AC取值范畴是_____________.例2.如图，已知：在∠AOBOA边上取两点P和S，再在OB上取两点Q和T，使OP=OQ，OT=OS，PT与QS相交于X。求证：OX平分∠AOB._B _B_X_O_A_Q_S_P_T1.两个三角形有如下三对元素相应相等,则不能鉴定全等是（ ）(A)一边和任意两个角（B）两边和她们夹角（C）两个角和她们一角对边（D）三边对值相等2.下列所论述图形中，是全等三角形只有（）(A)两边相等两个直角三角形(B)一边和一角相应相等两个直角三角形DBACEF(C)DBACEF3．如图，AD是ΔABC中线，E、F分别在AB、AC上且DE⊥DF，则（ ） A．BE+CF＞EF B.BE+CF=EF C．BE+CF＜EF D.EF与BE+CF大小关系无法拟定4.求证：两个角及第三个角角平分线相应相等两个三角形全等。已知:如图,__________________________________________________求证:_________________.证明:5．在中，∠B=∠C，D、E在BC、AC上，且，AD=DE。求证：_1_1_E_D_C_B_A6．已知：为等边三角形，点D、E、F分别在AB、BC、CA上，且也是等边三角形，求证：__F_E_C_D_B_A7．如图,在中，=90°，AB=BC，AF、CE分别垂直BD或延长线于F、E，求证：EF=CE-AF。BABADEC_E_F_D_C_B_A8．如图，在ΔABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BE平分∠ABC，CE⊥BE。 求证：BD=2CEABCDEM9．如图，公园有一条“Z”字形道路，其中AB∥CD，在E，M，F处各有一种小石凳，且，ABCDEM 10．如图BD、CE分别是边AC与AB上高，点P在BD延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB。求证：(1)AP=AQ;(2)AP⊥AQ.__Q_P_E_D_C_B_A1．全等三角形基本图形：2告诉我，你尚有什么问题需要咱们一起讨论？构造全等三角形解竞赛题已知角平分线，运用轴对称构造全等三角形。例1在四边形中，对角线＞，下列结论中对的是（）.A．＞B．＝C．＜D．与大小关系不拟定解：由于以AC为对称轴作△ACD对称图形△ACE，则=＞故选A.二、已知中线，运用中心对称构造全等三角形。例2设G为△ABC重心，且则△ABC面积为（）。解：如图，以BC中点D为中心，将点G旋转180°至E，则四边形BGCE是平行四边形.在△BEG中，因此△BEG是直角三角形，因而例1图例2图例3图三、已知等边三角形，旋转60°构造全等三角形。例3已知P是等边△ABC内一点，度数为（）.解：绕着点B将△ABP顺时针旋转60°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等边三角形。在△PCE中，因此△PCE是直角三角形，因而四、已知正方形，旋转90°构造全等三角形。例4已知P是正方形ABCD内一点，PA∶PB∶PC=1∶2∶3，度数为（）.解：绕着点B将△ABP顺时针旋转90°，则△ABP≌△CBE，△BPE为等腰直角三角形。在△PCE中，设因此△PCE是直角三角形，因而例4图例5图五、已知特殊角度，构造全等三角形。例5A、B、C三个村庄在一条东西走向公路沿线，如图，AB=2千米，BC=3千米，在B村庄正北方向有一种D村，测得今将△ADC区域规划为开发区，除其中4平方千米水塘外，均作为建筑或绿化用地，试求这个开发区建筑及绿化用地面积是多少？解：分别以DA、DC为对称轴，作Rt△ADB和Rt△BDC对称图形Rt△ADE和Rt△FDC，延长EA和FC交于G，则四边形DEGF是以DB为边长正方形。设由勾股定理得因而因此这个开发区建筑及绿化用地面积是11平方千米。初中数学竞赛专项培训第十讲三角形全等及其应用在中学教材中，关于三角形全等有如下鉴定公理：(1)边角边公理有两边和它们夹角相应相等两个三角形全等(简写成“SAS”)．(2)角边角公理有两角和它们夹边相应相等两个三角形全等(简写成“ASA”)．推论有两个角和其中一种角对边相应相等两个三角形全等(简写成“AAS”)．(3)边边边公理有三边相应相等两个三角形全等(简写成“SSS”)．关于直角三角形有：(4)斜边、直角边公理有斜边和一条直角边相应相等两个直角三角形全等(简写成“HL”)．运用全等三角形，咱们可以得到关于角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形许多重要性质，在本讲中将直接运用这些性质．借助于全等三角形知识，咱们可以研究诸多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平行与垂直问题．例1如图2-1所示．∠1=∠2，∠ABC=∠DCB．求证：AB=DC．分析用全等三角形证明线段(或角)相等，最惯用办法是探究所求证线段(或角)分别在一对可证全等三角形之中．本题AB，DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．证由已知，∠1=∠2，∠ABC=∠DCB，而∠EBC=∠ABC-∠1，∠ECB=∠DCB-∠2，因此∠EBC=∠ECB．在△ABC及△BCD中，∠ABC=∠BCD，∠EBC=∠ECB，BC=BC，因此△ABC≌△DCB(ASA)，因此AB=CD．阐明线段AB，CD也属于两个(事实上)全等△ABE和△DCE，因而也可直接证明这两个三角形全等．例2如图2-2所示．△ABC是等腰三角形，D，E分别是腰AB及AC延长线上一点，且BD=CE，连接DE交底BC于G．求证：GD=GE．分析从图形看，GE，GD分别属于两个显然不全等三角形：△GEC和△GBD．此时就要运用这两个三角形中已有等量条件，结合已知添加辅助线，构造全等三角形．办法不止一种，下面证法是其中之一．证过E作EF∥AB且交BC延长线于F．在△GBD及△GEF中，∠BGD=∠EGF(对顶角)，①∠B=∠F(两直线平行内错角相等)．②又∠B=∠ACB=∠ECF=∠F，因此，△ECF是等腰三角形，从而EC=EF．又由于EC=BD，因此BD=EF．③由①，②，③△GBD≌△GEF(AAS)，因此GD=GE．阐明恰当添加辅助线、构造全等三角形办法可以不止一种，本题至少尚有如下两种办法：(1)过D作DF∥AC，交BC于F．可用同样办法证明△GFD≌△GCE(图2-3)．(2)过D作DF⊥BC于F；过E作EH⊥BC于BC延长线于H，可证明△GFD≌△GEH(图2-4)．做完一道题后，再想一想尚有无其她证明办法，比较一下哪种证法更好，这对于发展思考、锻炼能力是大有好处．例3如图2-5所示．在等边三角形ABC中，AE=CD，AD，BE交于P点，BQ⊥AD于Q．求证：BP=2PQ．分析一方面看到BP，PQ在Rt△BPQ之中，只要证明∠BPQ=60°(或∠PBQ=30°)．然而，∠BPQ是△ABP一种外角，因此∠BPQ=∠PAB+∠PBA．但∠A=∠PAB+∠PAC=60°，若能证明∠PBA=∠PAC，问题即能解决，这两个角分别在△ABE与△CAD中，可以证明这两个三角形全等．证在△ABE与△CAD中，∠EAB=∠DCA=60°，AB=CA，AE=CD，因此△ABE≌△CAD(SAS)，因此∠ABE=∠CAD．由于∠BPQ是△ABP外角，因此∠BPQ=∠PAB+PBA=∠PAB+∠CAD=60°．在Rt△BQP中，∠BPQ=60°，∠PBQ=30°，因此BP=2PQ(在Rt△BPQ中30°角对边等于斜边一半)．阐明发现或构造全等三角形是运用全等三角形证明题目核心，为此，咱们常从发现两个三角形中相应元素相等入手，逐渐发现或经推理“凑齐”三角形全等条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后，进而把注意力集中到△ABE与△CAD中，这里，可恰当运用几何直观感觉，启发咱们寻找有但愿全等三角形，例如虽然△ABP与△APE都