棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积1.几何体的展开图与其表面积的关系

在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？几何体表面积展开图平面图形面积空间问题平面问题棱柱,棱锥,棱台的表面积一般地,多面体的表面积就是各个面的面积之和棱柱棱锥棱台棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？h棱柱的展开图：棱锥的展开图棱台的展开图侧面展开h'h'它们的侧面展开图还是平面图形，计算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和．hʹhʹ

在本节中我们会涉及到常用平面多边形面积，你能熟练地计算它们的面积吗?矩形正方形三角形┐┐┐平行四边形正六边形例题讲解例1.已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S-ABC，求它的表面积．DBCAS

分析：四面体的展开图是由四个全等的正三角形组成．因为BC=a，所以：因此，四面体S-ABC

的表面积为．交BC于点D．解：先求的面积，过点S作，新知探究问题1：同一摞白纸，当改变摆放白纸的形状时（如图所示），这摞白纸的总体积是否会改变？新知探究祖暅原理：幂势既同，则积不容异。怎么理解这句话呢？祖暅

中国南北朝时期算学家、天文学家，祖冲之之子。他运用祖暅原理和由他创造的开立圆术，发展了他父亲的研究成果，巧妙地证得球的体积公式。他求得这一公式比意大利数学家卡瓦列利（BonaventuraCavalieri，1589年—1647年）至少要早1100年。夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

问题1：正方体、长方体都是一种特殊的棱柱，从棱柱的底和高的角度来看，以上体积公式可以怎样写，由此你能猜想出一般棱柱的体积公式吗?新知探究柱体的体积公式V柱体＝ShSSSSh问题2：四棱柱的体积解决了，那圆柱、五棱柱....任意棱柱的体积该怎么求？棱柱的体积

一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为h，那么这个棱柱的体积

说明：

(1)棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离.

(2)对直棱柱而言，由于侧棱垂直于底面，因此直棱柱的侧棱长即为直棱柱的高.新知探究问题3：等底等高锥体的体积有什么关系呢？新知探究问题4：等底等高的锥体和柱体体积有什么关系呢？ABCA’B’C’ABCA’B’C’CA’B’ABA’C123

如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．

一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积为

由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式.

棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.

棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.

一般地，如果棱台的上底面面积为S′，下底面面积为S，高为h，那么这个棱台的体积为返回台体柱锥台体积关系

思考：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？返回例题讲解

例2.如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面ABCD是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？(精确到0.01m3)

思考:你能画出这个几何体的直观图吗？其容体该如何求呢？

由于这个几何体由一个长方体和一个四棱锥组合而成，因此其容积为长方体和四棱锥的体积之和.解：由题意得即这个漏斗的容积约为0.67m3.例题讲解

例3.如图，正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上底面边长为10，下底面边长为20，侧面的高(斜高)为13.求：(1)四棱台表面积;(2)四棱台的体积.

思考1:一般地，正棱锥、正棱台侧面的高称为它们斜高(一般用h′表示)，你能作出此正四棱台的一条斜高吗？

注:

空间几何体中的辅助线，看得见的画成实线，被遮住的画成虚线。

（1）1280（2）2800

思考2:你能作出此正四棱台的一条高吗？如何计算？

课堂练习

1.正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.解：

如图，棱台ABCDEF-A′B′B′C′D′E′F′为正六棱台，且AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.过A′作A′H⟂AB于H，则∴此棱台的表面积为

2.如图是一个表面被涂上红色的棱长是4cm的立方体，将其适当

分割成棱长为1cm的小立方体.(1)共得到多少个棱长为1cm的小立方体？(2)三面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?

(3)两面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(4)一面是红色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多少?(5)六面均没有颜色的小立方体有多少个?它们的表面积之和是多

少?它们占有多少立方厘米的空间?解：(1)共有64个(2)有8个,

它们的表面积之和是48cm2.(3)有24个,

它们的表面积之和是144cm2.(4)有24个,

它们的表面积之和是144cm2.(5)六面均没有颜色的小立方体有8个,

它们的表面积之和是32cm2，

它们占有的空间是8cm3.

3.某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截

去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，

那么石凳的体积是多少m3？解：

如图所示，正方体ABCD-A′B′B′C′D′的棱长AB=50cm=0.5m,则

AE=AF=AG=0.25m∴

这个石凳的体积为延伸结论4.求证：直三棱