高中物理人教版选修3-1学案第一章6电势差与电场强度的关系

6电势差与电场强度的关系必备知识·自主学习一、匀强电场中电势差与电场强度的关系匀强电场中,把一电荷从A点移动到B点,如图:(1)用电场强度E表示,静电力做功是多少?(2)用电势差UAB表示,静电力做功是多少?(3)UAB与E之间有什么关系?提示:(1)用电场强度E表示:WAB=EqLcosα(2)用电势差UAB表示:WAB=qUAB(3)由以上两式可得:UAB=ELcosα1.关系式:UAB=Ed或E=QUOTE2.物理意义:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。3.适用条件:(1)匀强电场;(2)d是两点沿电场方向的距离。二、从电势差的角度理解电场强度1.E=QUOTE的意义:在匀强电场中,电场强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场方向距离的比值。2.电场强度的另一种表述:电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。3.场强的另一个单位:由E=QUOTE可导出场强的另一个单位,即伏每米,符号为V/m。1V/m=1N/C。

(1)公式U=Ed适用于所有电场。 (×)(2)由U=Ed可知,匀强电场中两点的电势差与这两点的距离成正比。 (×)(3)匀强电场的场强值等于沿电场线方向每单位长度上的电势差值。 (√)(4)只有沿电场线方向,电势才降低。 (×)(5)沿电场线方向电势降低得最快。 (√)关键能力·合作学习知识点一电势差与电场强度的关系物理量内容电势差UAB电场强度E定义式UAB=QUOTEE=QUOTE大小数值上等于单位正电荷从一点移到另一点时,电场力所做的功数值上等于单位正电荷受到的电场力方向标量、无方向矢量,规定正电荷在该点所受电场力的方向为电场强度的方向联系(1)沿电场强度的方向是电势降落最快的方向,但电势降落的方向不一定是电场强度的方向(2)电场强度的大小等于沿匀强电场方向每单位长度上降落的电势,即E=QUOTE提醒:注意电势差虽是标量、无方向,但有正负之分。【典例1】如图所示,在匀强电场中,电荷量q=5.0×10-10C的正电荷,由a点移到b点和由a点移到c点,静电力做功都是QUOTE,已知a、b、c三点的连线QUOTE,QUOTE,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:(1)a、b两点的电势差Uab;(2)匀强电场的场强大小和方向。【审题关键】序号信息提取①b、c两点电势相等②可计算出ac的长度③沿ac方向就是电场强度的方向【解析】(1)因为正电荷q从a到b和从a到c,静电力做功相等,所以由W=qU可得Uab=Uac,b、c两点在同一等势面上,根据电场线与等势面垂直,得到场强方向与ac平行,垂直指向bc。Uab=QUOTE=QUOTEV=60V。(2)由U=Ed可得E=QUOTE=QUOTE=QUOTEV/m=375V/m场强方向平行于ac,垂直指向bc边且由a指向c。答案:(1)60V(2)375V/m垂直bc边且由a指向c【典例2】如图所示,实线为电场线,虚线为等势面,φa=50V,φc=20V,则a、c连线中点b的电势φb为 ()A.等于35V B.大于35VC.小于35V D.等于15V【解析】选C。从电场线疏密可以看出Ea>Eb>Ec,由公式UAB=Ed可得Uab>Ubc,所以φb<QUOTE=35V,C正确。应用U=Ed分析非匀强电场(1)对于非匀强电场,用公式E=QUOTE可以定性分析某些问题。例如等差等势面在E越大处,d越小,因此可以断定,等差等势面越密的地方电场强度也越大。(2)示例:如图所示,A、B、C是同一电场线上的三点,且QUOTE=QUOTE,由电场线的疏密程度可以看出EA<EB<EC,所以AB间的平均场强比BC间的小,即QUOTE<QUOTE,又因为UAB=QUOTE·QUOTE,UBC=QUOTE·QUOTE,所以UAB<UBC。1.下列关于匀强电场中场强和电势差的关系,正确的说法是 ()A.在相同的距离上的两点,电势差大的其场强必定大B.任意两点间的电势差,等于场强大小和这两点间距离的乘积C.电势降低的方向,必是场强方向D.沿着电场线方向,相等距离上的电势降落必相等【解析】选D。在相同距离上的两点,电势差大,场强不一定大。若两点的连线在匀强电场中方向不一样,电势差大的其场强却不变,故A错误;任意两点的电势差,等于场强和这两点间沿电场线方向距离的乘积,故B错误;电势降低最快的方向是电场强度的方向,电势降低的方向不一定是场强方向,故C错误;匀强电场中场强和电势差的关系式是U=Ed,沿电场线方向的距离d相同时,两点间电势差U相同,故D正确。故选D。2.如图所示的匀强电场中,有a、b、c三点,ab=6m,bc=10m,其中ab沿电场方向,bc和电场线方向成60°角,电荷量为q=4×10-8C的正电荷从a移到b电场力做功为W1=1.2×10-5J,求:(1)匀强电场的场强E;(2)电荷从b移到c,电场力做的功W2;(3)a、c两点间的电势差Uac。【解析】(1)设a、b两点间距离为d,则:W1=qEd,解得:E=QUOTE=QUOTEV/m=50V/m(2)设b、c两点沿场强方向距离为d1,则:d1=bc·cos60°=10×QUOTEm=5m所以:W2=qEd1=4×10-8×50×5J=1×10-5J(3)设电荷从a移到c电场力做功为W,则:W=W1+W2又:W=qUac联立解得:Uac=550V答案:(1)50V/m(2)1×10-5J(3)550V【加固训练】1.如图所示,A、B是匀强电场中相距4cm的两点,其连线与电场方向成60°角,两点间的电势差为200V,则电场强度大小为 ()A.8V/m B.50V/mC.5×103V/m D.1×104V/m【解析】选D。由电势差和电场强度的关系U=Ed,得E=QUOTE=QUOTE=1×104V/m,D正确。2.如图所示,三个同心圆是一个点电荷周围的三个等势面,已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点,且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA=10V和φC=2V,则B点的电势是 ()A.一定等于6V B.一定低于6VC.一定高于6V D.无法确定【解析】选B。从等势面的疏密可以看出EA>EB>EC,又因为AB=BC,由公式UAB=Ed可以判断UAB>UBC,所以φB<6V。知识点二等分法确定等势点1.在匀强电场中,沿任意一个方向上,电势下降都是均匀的,故在同一直线上相同间距的两点间电势差相等。如果把某两点间的距离等分为n段,则每段两端点的电势差等于原电势差的QUOTE倍,像这样采用等分间距求电势问题的方法,叫作等分法。2.在已知电场中几点的电势时,如果要求其他点的电势,一般采用“等分法”在电场中找与待求点电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。3.在匀强电场中,相互平行且相等的线段两端点电势差相等,用这一点可求解电势。图中为匀强电场中的几个点,甲图中AB=BC,乙图中AB∥CD,且AB=CD。讨论:(1)甲图中φA、φB、φC间有什么关系?提示:φB=QUOTE。(2)乙图中UAB、UCD有什么关系?UAC、UBD有什么关系?提示:UAB=UCD,UAC=UBD。【典例】如图所示,在平面直角坐标系中,有方向平行于坐标平面的匀强电场,其中坐标原点O处的电势为0,点A处的电势为6V,点B处的电势为3V,则电场强度的大小为 ()A.200V/mB.200QUOTEV/mC.100V/m D.100QUOTEV/m【解析】选A。x轴上OA的中点C的电势为3V,则BC的连线为等势线,如图所示,电场的方向与等势线垂直,且由电势高处指向电势低处。根据几何图形,O点到BC的距离为d=1.5cm,所以E=QUOTE=QUOTEV/m=200V/m,故选项A正确。1.如图所示,匀强电场的方向平行于xOy坐标系平面,其中坐标原点O处的电势为2V,a点的坐标为(0,4),电势为8V,b点的坐标为(3,0),电势为8V,则电场强度的大小为 ()A.250V/mB.200V/mC.150V/mD.120V/m【解析】选A。由题意可得a、b两点的电势相等,所以匀强电场的方向垂直于ab,过O点作ab的垂线相交ab于c点,由几何关系得:tan∠b=QUOTE,得∠b=53°;Oc=Ob·sin∠b=0.03×sin53°=2.4×10-2mcO间的电势差为:U=8V-2V=6V;则电场强度为:E=QUOTE=250V/m,故A正确。2.如图所示,A、B、C、D、E、F为匀强电场中一个边长为10cm的正六边形的六个顶点,A、B、C三点电势分别为1V、2V、3V,正六边形所在平面与电场线平行。下列说法错误的是 ()A.通过CD和AF的直线应为电场中的两条等势线B.匀强电场的电场强度大小为10V/mC.匀强电场的电场强度方向为由C指向AD.将一个电子由E点移到D点,电子的电势能将减少1.6×10-19J【解析】选B。连接AC,AC中点电势为2V,与B点电势相等,则EB连线必为一条等势线,由正六边形特征可知,CD∥EB,而匀强电场的等势面平行,则CD直线是一条等势线,同理AF直线也是一条等势线,故A正确;BA间的电势差为UBA=1V,又UBA=EdABcos30°得场强E=QUOTE=QUOTEV/m=QUOTEV/m,故B错误;由几何知识可知,CA⊥EB,EB是等势线,C点电势高于A点电势,则电场强度的方向由C指向A,故C正确;由上得知,E的电势为2V,D点与C点的电势相等为3V,则电子从E点移到D点,电场力做正功,而且为WED=qUED=q(φE-φD)=-1.6×10-19×(2-3)J=1.6×10-19J。电势能将减少1.6×10-19J,故D正确。本题选择错误的,故选B。【加固训练】匀强电场中的三点A、B、C是一个三角形的三个顶点,AB的长度为1m,D为AB的中点,如图所示。已知电场线的方向平行于△ABC所在平面,A、B、C三点的电势分别为14V、6V和2V。设电场强度大小为E,一电荷量为1×10-6C的正电荷从D点移到C点电场力所做的功为W,则 ()A.W=8×10-6JE>8V/mB.W=6×10-6JE>6V/mC.W=8×10-6JE≤8V/mD.W=6×10-6JE≤6V/m【解析】选A。因电场是匀强电场,D是AB的中点,故D的电势φD=QUOTE=10V。所以W=q(φD-φC)=8×10-6J。设E的方向与QUOTE的夹角为α,则α≠0,否则等势面与AB垂直,C点电势就会高于B点电势。由E=QUOTE可知:QUOTE=QUOTE,因α>0,则cosα<1,E>8V/m,故A正确。【拓展例题】考查内容:φ-x图象的应用【典例】(多选)a、b是x轴上两个点电荷,电荷量分别为q1和q2,沿x轴a、b之间各点对应的电势高低如图中曲线所示,a、p间距离大于p、b间距离。从图中可以判断以下说法正确的是 ()A.a和b均为负电荷且q1一定大于q2B.电势最低的p点的电场强度为零C.将一负的检验电荷从b处移到p处,电荷电势能增加D.a、p间的电场方向都指向a点【解析】选B、C。由于从a到b,电势φ先减小再增加,所以a、b应均为正电荷;从b处φ-x图象的斜率大于a处的φ-x图象斜率,可确定Eb>Ea,即q2>q1,所以A错误;由φ-x图象的斜率表示电场强度E知,B正确;由Ep=qφ,知C正确;a、p间的电场方向应都指向p点,D错误。情境·模型·素养如图甲,匀强电场的电场强度为E,电场中沿电场线方向上两点A和B距离为d,设A和B两点间电势差为UAB。探究:(1)一个点电荷q从A点移动到B点,请你用功的定义、电场力做功与电势差的关系证明E=QUOTE。(2)某一带正电的点电荷周围的电场线如图乙所示,其中一条电场线上的三点M、N、P,N是MP的中点。请你判断M、N两点间电势差UMN与N、P两点间电势差UNP是否相等,并阐述你的理由。【解析】(1)根据功的定义W=Fx可知:WAB=Fd=qEd根据电场力做功与电势差的关系可得:WAB=qUAB联立得:E=QUOTE(2)不相等。根据电场线的疏密程度可知M、N间的平均场强大于N、P间的平均场强,由U=Ed可知,M、N两点间的电势差大于N、P两点间的电势差。答案:(1)见解析(2)不相等,原因见解析如图所示,MN板间存在匀强电场,场强E=300N/C,方向竖直向上。电场上A、B两点相距10cm,AB连线与电场方向夹角θ=60°,A点和M板相距2cm。探究:(1)求AB两点间的电势差大小;(2)若M板接地(电势为0),求A点电势φA;(3)将q=+4×10-8C点电荷从A移到B,求电场力做的功。【解析】(1)由题意可知AB两点间的电势差为:UAB=ELABcosθ=300×0.1×0.5V=15V(2)因为M板电势为0,所以A点的电势等于A点与M点的电势差,故:φA=-UMA=-ELMA=-300×0.02V=-6V(3)电场力做功为:W=qUAB=4×10-8×15J=6×10-7J答案:(1)15V(2)-6V(3)6×10-7J课堂检测·素养达标1.对关系式Uab=Ed的理解,正确的是 ()A.式中的d是a、b两点间的距离B.a、b两点间距离越大,电势差越大C.d是a、b两个等势面的距离D.此式适用于任何电场【解析】选C。公式Uab=Ed只适用于匀强电场,其中d为沿场强方向上的距离或过a、b两点的两个等势面间的距离,故C正确,A、B、D错误,故选C。2.如图所示,a、b、c是一条电场线上的三点,电场线的方向由a到c,a、b间距离等于b、c间距离,用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和场强,可以判定 ()A.φa>φb>φc B.Ea>Eb>EcC.φa-φb=φb-φc D.Ea=Eb=Ec【解析】选A。沿电场线方向电势降低,可以比较电势高低,根据电场线方向可知φa>φb>φc,故A正确;只有一条电场线,不能确定电场线的分布情况,无法比较场强的大小,故B、D错误;对于匀强电场,两点间的电势差U=Ed,由于电场线的疏密情况无法确定,两点间的电势差公式U=Ed也不能适用,不能判断电势差的关系,故C错误,故选A。3.(多选)在场强为E=1.0×102V/m的匀强电场中,有相距d=2.0×10-2m的a、b两点,则a、b两点间的电势差可能为 ()A.1.0V B.2.0VC.3.0V D.4.0V【解析】选A、B。由U=Ed可知当d最大时,U最大,代入数值可得U最大值为2.0V;当a、b位于同一等势面上时,Uab=0,则最小值为零,故A、B可能,C、D不可能。【加固训练】如图所示是匀强电场中的一组等势面,每两个相邻等势面间的距离都是25cm,由此可确定电场强度的方向及大小为 ()A.竖直向下,E=0.4V/mB.水平向右,E=0.4V/mC.水平向左,E=40V/m D.水平向右,E=40V/m【解析】选D。电场线与等势面垂直且沿电场线方向电势降低,故场强方向水平向右,场强大小E=QUOTE=QUOTEV/m=40V/m,故D项正确。4.如图所示,空间直角坐标系Oxyz处于一个匀强电场中,a、b、c三点分