2023年中考数学真题分类汇编复习(七)几何综合题(答案不全)

专题复习（七）几何综合题

类型1类比探究的几何综合题

类型2与图形变换有关的几何综合题

类型3与动点有关的几何综合题

类型4与实际操作有关的几何综合题

类型5其他类型的几何综合题

类型1类比探究的几何综合题

（2023苏州）

（2023烟台）

12023东营）（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：

如图1,在△力成1中，点。在线段比1上，/物330°,/力075°,133百，BO-.C31:3,求16的长.

经过社团成员讨论发现，过氤B作即〃AC,交加的延长线于点〃，通过构造劭就可以解决问题（如图2）.

请答复：ZADB=°,AB=.

（2）请参考以上解决思路，解决问题：

如图3,在四边形4%/中，对角线4。与龙相交于点。，ACVAD,

AO=3框,ZAB（=ZACB=75°,BO：619=1:3,求〃C的长.

（2023长/算24题图1）（第24题图2）（第24题图3）

（2023陕西）

（2023齐齐哈尔）^_

（2023河南）/1

（2023仙桃）

问题：如图①，在Rt△力比1中，AB=AC,D

为8。边上一点（不与点8,，重合），

将线段4?绕点/逆时针旋转90°得到

AE,连接员;，那么线段8GDC,我之间满足的等量关系式为；

探索：如图②，在Rt△1比1与RtZ\H庞中，AB=AC,AD=AE,将△力施绕点力旋转，使点。落在6c边上，试探

索线段A9,BD,切之间满足的等量关系，并证明你的结论；

应用：如图③，在四边形四"中，NABC=NACB=ZADC=45°.假设M=9,CD=3,求49的长.

（2023襄阳）如图（1）,点G在正方形4%/的对角线“1上，GELBC,垂足为点分GF1CD,垂足为点用

（1）证明与推断：

①求证：四边形制亦是正方形；

②推断：毁的值为；

BE

（2）探究与证明：

将正方形的绕点C顺时针方向旋转。角（0°<«<45°）,如图（2）所示，试探究线段与庞之间的数量关

系，并说明理由；

（3）拓展与运用

正方形版亦在旋转过程中，当6,E,6三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长CG交/〃于点力.假设4年6,

GH=2叵,那么叱.

（2023淮安）

（2023咸宁）

（2023黄石）在AABC中，E、F分别为线段AB、AC上的点（不与A、B、C重合）.

（1）如图1,假设EF〃BC,求证：9照=拒竺

SAABCA.B»AC

（2）如图2,假设EF不与BC平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；

（3）如图3,假设EF上一点G恰为AABC的重心，圭=^,求汕■的值.

AB4S»BC

（2023山西）

（2023盐城）【发现】如图①，等边AA6C,将直一角三角形的60角顶点。任意放在8C边上（点。不与点反、C

重合），使两边分别交线段AB、AC于点E、F.

（1）假设AB=6,AE=4,BD=2,那么CE=；

（2）求证：\EBDADCF.

【思考】假设将图①中的三角板的顶点。在6c边上移动，保持三角板与A3、AC的两个交点£、尸都存在，

连接如图②所示.问点。是否存在某一位置，使ED平分NBEF且FD平分NCFE?假设存在，求出些的

BC

值；假设不存在，请说明理由.

【探索】如图③，在等腰AABC中，A3=AC,点。为BC边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点。处

（其中AMON=NB）,使两条边分别交边AB、AC于点E、/1点E、尸均不与AABC的顶点重合），连接£足

设N6=a,那么AAEF与AABC的周长之比为用含a的表达式表示）.

（2023绍兴）

（2023达州）

（2023荷泽）

（2023扬州）问题呈现

如图1,在边长为1的正方形网格中，连接格点。、N和E、C,ON与EC相交于点P,求tanNCPN的值.

方法归纳

求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中NCPN不在直角三角

形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题.比方连接格点”、N,可得MN//EC,那么

NDNM=NCPN,连接。0,那么NC/W就变换到中用ADMN.

问题解决

（1）直接写出图1中tanNCPN的值为；

（2）如图2,在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P,求cosNCPN的值；

思维拓展

（3）如图3,ABA.BC,AB=4BC,点M在AB上，且AM=BC,延长CB到N,使BN=2BC,连接4V

交CM的延长线于点P,用上述方法构造网格求ZCPN的度数.

（2023常德）正方形ABCD中4C与5。交于。点，点M在线段8。上，作直线AM交直线。。于E,过。作

于〃，设直线。“交AC于N.

（1）如图14,当M在线段80上时，求证：MO=NO；

（2）如图15,当M在线段。。上，连接NE,当EN//BD时,求证：BM=AB；

（3）在图16,当M在线段0。上，连接NE,当NE_L£C时，求证：AN。=NCAC.

（2023滨州）

（2023湖州）

（2023自贡）如图，NAOB=60,在NAO3的平分线。M上有一点。，将一个120°角的顶点与点。重合，它

，的两条边分别与直线。4、。8相交于点。、E.

⑴当ZDCE绕点.C旋转到与OA垂直时（如图1）,请猜测OE+。。与。。的数量关系，并说明,理由；

⑵当NQCE绕点C旋转到与。4不垂直时，到达图2的位置，⑴中的结论是否成立？并说明理由：

⑶当NQCE绕点C旋转到CO与。4的反向延长线相交时，上述结论是否成.立？请在图3中画出图形，假设成立，

请给于证明；假设不成立，线段。£）、0E与。。之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，不需证明.

（2023嘉兴、舟山）

.（2023淄博）11）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC,其中A3=AC,在△ABC的外侧分别以

A3,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABDACE,分别取BD,CE,的中点M,N,G,连接GM,GN.小

明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是.

（2）类比思考：

如图②，小明在此根底上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中A6>AC,其它条件

不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由.

（3）深入研究:

如图③，小明在（2）的根底上，又作了进一步的探究.向A46c的内侧分别作等腰直角三角形A8RACE,其它

条件不变，试判断AGMN的形状，并给与证明.

类型2与图形变换有关的几何综合题

（2023宜昌）在矩形ABCD中，AB=12,P是边A6上一点，把一PBC沿直线PC折叠，顶点8的对应点是点

G,过点B作BELCG,垂足为E且在AO上，BE交PC于点、F.

⑴如图1,假设点七是的中点，求证：AAEB义ADEC；

（2）如图2,①求证：BP=BF；

②当AD=25,且AE<DE时，求cos/PCB的值；

③当BP=9时，求BREF的值.

图1图2图2备用图

23.（1）证明：在矩形ABCD中，ZA=ZD=90,AB=DC,

如图1,又,AE=DE,

⑵如图2,

①在矩形ABC。中，ZABC=90,

ABPC沿PC折叠得到AGPC

ZPGC=ZPBC=90,4BPC=Z.GPC

:.BE//PG,

②当4。=25时，

.-.ZAEB+ZCED=90,

■.^AEB+ZABE=90,

又・ZA=ZD=90,

...设A£=x,那么£)E=25—x,

1225-x

--=------,

x12

解得％=9,x2=16

AE=9,DE=16,

..CE=20,B£=15,

由折叠得BP=PG,

：.BP=BF=PG,

BE//PG,

设BP=BF=PG=y,

y=—那么BP=—

33

“DADD-"25M/…BC253M

在RfAPBC中，PC=--------,cosZPCB=——=——；==——

3PC25河10

3

③假设BP=9,

解法一：连接GF,（如图3）

NGEF=NR4E=90,

/.四边形BPGF是平行四边形

BP=BF,

平行四边形BPGF是菱形

：.BP//GF,

:.ZGFE^ZABE,

解法二：如图2,

.NFEC=NPBC=90,

ZEFC=ZPFB=ABPF,

又-ZBEC=ZA=9Q,

由AZ>//8C得ZAEB=NEBC,

qRFRF

解法三：（如图4）过点/作FH_L8C,垂足为驳"=-------=—

S四边形PFEGEF+PGBE

（2023邵阳）

（2023永州）

（2023无锡）

（2023包头）

（2023赤峰）

（2023昆明）

（2023岳阳）

（2023宿迁）

（2023绵阳）

(2023南充)

(2023徐州)

类型3与动点有关的几何综合题

(2023吉林)

(2023黑龙江龙东)

(2023黑龙江龙东)

(2023广东)Rt△处6,NA4庐90",ZABO=30",斜边加=4,将Rt△物3绕点。顺时针旋转60",如图25T图，连

接班

(1)填空：Z.OBO°；

(2)如图25-1图，连接4G作垂足为只求利的长度；

(3)如图25-2图，点收N同时从点。出发，在△(?龙边上运动，"沿路径匀速运动，N沿八外。路径

匀速运动，当两点相遇时运动停止.点"的运动速度为1.5单位/秒，点4的运动速度为1单位/秒.设运动时间为x

秒，△〃物V的面积为y,求当x为何值时y取得最大值？最大值为多少？(结果可保存根号)

(2023衡阳)

(2023黔东南)如图1,矩形AOCB,AB=6cm,BC=l6cm,动点尸从点A出发，以3CM/s的速度向点。运

动，直到点。为止；动点。同时从点。出发，以2an/s的速度向点8运动，与点P同时结束运动.

(1)点P到达终点。的运动时间是一s,此时点。的运动距离是一cm-

(2)当运动时间为2s时，P、。两点的距离为cm；

(3)请你计算出发多久时，点P和点。之间的距离是10cm；

(4)如图2,以点。为坐标原点，OC所在直线为x轴，Q4所在直线为y轴，1cm长为单位长度建立平面直角

k

坐标系，连结AC,与尸。相交于点O,假设双曲线y=七过点。，问女的值是否会变化？假设会变化，说明理由；

x

假设不会变化，请求出Z的值.

(2023青岛)：如图，四边形45C£>,AB//DC,CB1AB,AB=I6an,BC=6cm,CD=8cm,动点P从点。开始沿

ZM边匀速运动，动点。从点A开始沿AB边匀速运动，它们的运动速度均为2ca/s.点P和点。同时出发，以

QA.。尸为边作平行四边形AQPE,设运动的时间为f(s),0<r<5.

根据题意解答以下问题：

(1)用含，的代数式表示AP；

(2)设四边形CPQB的面积为5卜/)，求S与r的函数关系式；

(3)当。尸时，求f的值；

(4)在运动过程中，是否存在某一时刻/,使点E在乙钻。的平分线上？假设存在，求出/的值；假设不存在，请

说明理由.

（2023广州）如图12,在四边形ABCD中,ZB=60°,ZD=30",AB=BC.

（1）求/A+NC的度数

（2）连接BD,探究AD,BD,CD三者之间的数量关系，并说明理由。

（3）假设AB=1,点E在四边形ABCD内部运动，且满足4炉=B^+CE?,求点E运动路径的长度。

（2023温州）

（2023江西）

（2023潍坊）

类型4与实际操作有关的几何综合题

（2023徐州）如图1,一副直角三角板满足AB=BC,AC=DE,ZABC=ZDEF=90°,ZEDF=30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E旋转，并使边DE与边

AB交于点P,边EF与边BC于点Q

【探究一】在旋转过程中，

（1）如图2,当上CE上=1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明.

EA

CE

（2）如图3,当上上=2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由.

EA

（3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当JCE=m时，EP与EQ满足的数量关系式

EA

为,其中加的取值范围是（直接写出结论，不必证明）

【探究二】假设，AC=30cm,连续PQ,设的面积为S（cm?）,在旋转过程中：

（1）S是否存在最大值或最小值？假设存在，求出最大值或最小值，假设不存在，说明理由.

（2）随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取值范围.

（2023成都）

（2023枣庄）

（2023德州）

类型5其他类型的几何综合题

（2023宁波）

（2023安徽）如图1,应中，N4叱90°，点〃为边然上一点，应14?于点£,点"为劭中点，CM的延长线

交力8于点F.

（1）求证:CM=EM-,

（2）假设/的050°,求/国肥的大小；

（3）如图2,假设△物出△CEM点N为CM的中点，求证〃现

17.⑴证明：为BD中点

RtZXDCB中，MC=-BD

2

RtZkDEB中,EM=2BD

.\MC=ME

(2)VZBAC=50°

:.ZADE=40°

VCM=MB

:.ZMCB=ZCBM

ZCMD=ZMCB+ZCBM=2ZCBM

同理，ZDME=2ZEBM

AZCME=2ZCBA=80°

.,.ZEMF=180°-80°=100°

(3)同(2)中理可得NCBA=45°

:.ZCAB=ZADE=45°

VADAE^ACEM

j_

ADE=CM=ME=2BD=DM,ZECM=45°

.「△DEM等边

:.ZEDM=60°

・・.ZMBE=30°

ZMCB+ZACE=45°

ZCBM+ZMBE=45°

・・・ZACE=ZMBE=30°

・・・NACM=NACE+NECM=75°

连接AM,TAE=EM二MB

・•・ZMEB=ZEBM=30°

ZAME=2ZMEB=15°

VZCME=90°

AZCMA=900-15°=75°=ZACM

?.AC=AM

TN为CM中点

AAN±CM

VCMXEM

AAN//CM

（2023金华、丽水）在RtZU%中，N力彦90°,.点〃在直线%上，以。,切为边作矩形力做;直线力8与

直线CE,"的交点分别为F,G.

(1)如图，点。在线段四上，四边形/C箔是正方形.

①假设点G为DE中点，求小的长.

②假设用=，加求勿的长.

(2)止9,是否存在点〃，使得△腕是等腰三角形？假设存在，求该三角形的腰长；假设不存在，试说明理由.

第24题图

(2023金华(丽水))在Rt△/比中，ZACB=90°,.点〃在直线⑦上，以。，切为边作矩形力物;直线相

与直线CE,膜的交点分别为F,G.

(1)如图，点。在线段CB上，四边形力仪应是正方形.

①假设点G为DE中点，求小的长.

②假设的=冲，求利的长.

(2)除9,是否存在点〃使得△"'G是等腰三角形？假设存在，求该三角形的腰长；假设不存在，试说明理由.

(2023眉山)如图①，在四边形4的中，/CL即于点发AB=AC=BD,点M为6C中点，"为线段41/上的点，且加为限

(1)求证：BN平62ABE；

(2)假设劭=1,连结〃M当四边形为平行四边形时，求线段灰的长；

(3)如图②，假设点尸为48的中点，连结MFM,求证：丛MFNs^BDC.

(2023泰安)

(2023威海)如图①，在四边形3c中，BCLCD,DEVCD,AByAE,垂足分别为C,O,A,BC^AC,

点M,M尸分别为AE,的中点，连接MN,MF,NF.

AC

(1)如图②，当8C=4,DE=5,tanNR“N=l时，求——的值；

AD

(2)假设tan/FMN=1,8c=4,那么可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；

2

(3)连接CM,DN,CF,DF,试证明4FMC与ADNF全等；

(4)在(3)的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出.

解：尸分别是的中点，

:.BM=NF=MA,MF=AN=NE.

：.四边形MANF是平行四边形.

又；BAVAE.

•••平行四边形是矩形.

FN

又•・•tanNRWN=l,，一=1,即=

FM

二.矩形MAN/7为正方形.

:.AB=AE.

VZ1+Z2=9O°,Z2+Z3=9