北师版新课标高中数学必修1第一册同步练习函数的解析式

函数的解析式

方法点拨：常用求函数解析式的方法有待定系数法、配凑法、换元法以及解方程组法.在利

用配凑法和换元法解答时要注意函数的定义域.

【例1】已知二次函数的图象过点A(0,-5),B(5,0),它的对称轴为直线x=2,求这个

二次函数的解析式.

【例2］求下列函数的解析式：

(1)已知/(x)=£2+2x，求/(2x+l)；

(2)已知/(6-l)=x+2VT,求/(x)；

(3)已知/(犬)+4((卜6工0)，求/(x).

(4)设/(x)是R上的函数，且/(0)=1,并且对任意实数x,y都有/(x-y)=/(%)-

y(2x-y+,求/(x)的表达式.

1.(2014福建泉州一中期中)已知/(x-1)=f,则“X)的解析式为()

A./(x)=x2-2x-iB.f(x)=f-2x+l

C./(x)=f+2x-lD./(x)=X2+2X+1

2.(2013山东济南期中)已知函数/(x)是一次函数，且满足/(x+1)=41,则/(x)=

3.(2015山东省实验高一期中)已知/(2x+1)=X2-2X,则/(3)=.

4.已知/(«+1)=》+2石,则，(x)的解析式为.

5.(2013安徽高考)定义在R上的函数〃x)满足/("1)="(x).若当0<x<l时,/

(x)=x(1-x),贝!|当一1W烂0时，/(X)=.

6.(2015山东省实验高一期中)已知二次函数/(X)满足条件/(0)=1,及

/(x+l)-/(x)=2x.

(1)求函数数%)的解析式;

(2)在区间［-1,1］上，y=f(x)的图象恒在y=2x+m的图象上方，试确定实数m的取

值范围.

参考答案:

例1【答案】y=(X-2)2-9.

【解析】

因为抛物线的对称轴为x=2,所以设函数的解析式为y=a(x-2)2+Z(a。0).

—5—4a+kd-1

把(0,-5、(5,0)分别代入上式，得八二,，解得，一二

.0=9a+Z,[k=-9.

所以二次函数的解析式为y=(x-2)2-9.

例2【答案】(1)/(2X+1)=4X2+8X+3;(2)/(X)=X2+4X+3(X>-l)

2x

(3)/(x)=彳-1(xHO)；(4)/(》)=/+》+1

【解析】

(1)f(2x+l)=(2x+1/+2(2%+l)=4x2+&x+3.

(2)法一(拼凑法)：/(4-1)=(4-1)?+4(G-1)+3,iT6V7-l>-l,

故所求的函数为/(X)=X2+4X+3(X2-1).

法二(换元法)：令/=五一1,则叱-1,且4=t+\,

：.f=+1)2+2(r+l)=r2+4r+3.

(x)=x2+4x+3(x>-1).

(3)因为/(X)+4(£|=X，将原式中的X与:互换，得/(£|+2/(X)=B,

于是得到关于/(x)与的方程组：J1)''I,

解得/«)=彳一］(尤，0).

(4)由/(0)=1,对任意实数K,y都有/(x-y)=/(%)-y(2x-y+1),

设x=y，得/(0)=/(%)-%(2x-x+1).

因为/(0)=1,所以/(x)-A-(2x-x+1)=1,即/(x)=x?+x+1.

1.【答案】D.

【解析】

令x-1=r,则x=f+1,二〃t)=(r+1)2=?+2r+l,即/(x)=%2+2x+l.

2.【答案】4x-5.

【解析】

/(x+1)=4x-l,/(x+1)=4(x+1)-5,所以f(x)=4x-5.

3.【答案】-1

【解析】

由题意得，.♦./⑶=/(2xl+l)=12-2xl=—1,

故答案为-1.

4【答案】〃x)=?-1(%>1)

【解析】

法一：设f=6+1,贝Ux=(1)2(之1).

:.fit)=(f-1)2+2(t-\)=产一2什1+2-2=户一1.

即/(x)=JT-1(X>1).

法二：；x+2五=(石)2+2«+1-1=(五+1)2-1,

/./(>/x+l)=(>/x+l)2-l(^+l>l),

即/(x)=^-1(X>1).

5.【答案】-^-x2--x.

22

【解析】

当0W烂1时,/(x)=x(1-x)，当-iSrN时,0<x+l<l,.V(^+1)=(x+1)•口一(x+1)1

——x(x+1),而/(x)=-y(x+l)=——x'——x.当一时if(x)=一耳尤*—万龙,

6.【答案】(1)/(x)=[x-g)+?=%2一x+1；(2)m<-\

【解析】

(1)V/(%+1)-./(%)=2%,令x=0,则/(l)_/(O)=0,.\/(1)=/(0),

V/(0)=1(/(1)=1,..•二次函数图象的对称轴为x，，可令二次函数的解析式为

2

(1

ax——I+A,

小)=I2

Vf(x+l)-f(x)=2x，令%=_1,则/(o)_/(-i)=2,・・・/(0)=1,・・・/(_1)=3,

1,।

—a+h=1

?，解得"=1,〃==，

将(0,1)和(-1,3)分别代入解析式可得：

94

—。+h=3

4

(1\3

•••二次函数的解析式为“x)=X—彳+亍=f—X+1;

v巳)4

(2)在区间［-1,1］上，y=/()的图象恒在y=2x+m的图象上方，工

r-x+1>2x+根在［—1,1］上怛成立，・，