北师大版年八年级数学下册《同步考点解读专题训练》专题1.1等腰三角形(知识解读)(原卷版+解析)

专题1.1等腰三角形（知识解读）【学习目标】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并证明等腰三角形的性质定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.4.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。【知识点梳理】知识点1等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．知识点2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．【典例分析】【考点1：等腰三角形的性质】【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．（1）求证：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度数．【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．【考点2等腰三角形的判定】【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【考点3：等腰三角形的判定与性质】【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F．求证：（1）△DFC是等腰三角形；（2）EF＝BE+CF．【变式7-2】（2021秋•长垣市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．【变式7-3】（2022春•雁塔区校级期末）如图，已知AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BE＝CF．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若AB＝5，BC＝6，求DE的长．专题1.1等腰三角形（知识解读）【学习目标】1.了解等腰三角形的概念.2.探索并证明等腰三角形的性质定理.3.探索并掌握等腰三角形的判定定理，能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等.4.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。【知识点梳理】知识点1等腰三角形的概念与性质等腰三角形概念有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角．2.等腰三角形的性质如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”．知识点2等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形.可以简单的说成：在一个三角形中，等角对等边.要点诠释：(1)要弄清判定定理的条件和结论，不要与性质定理混淆．判定定理得到的结论是等腰三角形，性质定理是已知三角形是等腰三角形，得到边和角关系.（2）不能说“一个三角形两底角相等，那么两腰边相等”，因为还未判定它是一个等腰三角形．【典例分析】【考点1：等腰三角形的性质】【典例1】（东莞市）一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A．17 B．15 C．13 D．13或17【答案】A【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形；②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7＝17．故这个等腰三角形的周长是17．故选：A．【变式1-1】（陆川县期末）等腰三角形有两条边长为5cm和9cm，则该三角形的周长是（）A．18cm B．19cm C．23cm D．19cm或23cm【答案】D【解答】解：当等腰三角形的腰长为5cm，底边长为9cm时，∵5+5＞9，9﹣5＜5，∴能够成三角形，∴三角形的周长＝5+5+9＝19cm；当等腰三角形的腰长为9cm，底边长为5cm时，∵9+5＞9，9﹣5＜5，∴能够成三角形，∴三角形的周长＝9+9+5＝23cm；∴该三角形的周长是19cm或23cm．故选：D．【变式1-2】（秋•惠安县期末）若等腰△ABC的周长为20，AB＝8，则该等腰三角形的腰长为（）A．8 B．6 C．4 D．8或6【答案】D【解答】解：（1）当AB＝8为底边时，BC为腰，由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6；（2）当AB＝8为腰时，①若BC为腰，则BC＝AB＝8；②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4，综上，该等腰三角形的腰长为8或6，故选：D．【变式1-3】（2021•海口）等腰三角形ABC的周长为20cm，AB＝8cm，则该等腰三角形的腰长为（）A．8cm B．6cm C．4cm D．8cm或6cm【答案】D【解答】解：（1）当AB＝8cm为底边时，BC为腰，由等腰三角形的性质，得BC＝（20﹣AB）＝6cm；（2）当AB＝8cm为腰时，①若BC为腰，则BC＝AB＝8cm；②若BC为底，则BC＝20﹣2AB＝4cm，故选：D．【典例2】（2019秋•崇川区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若∠BEC＝76°，则∠ABC＝（）A．70° B．71° C．74° D．76°【答案】B【解答】解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点E，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝∠BEC＝×76°＝38°，∵在△ABC中，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝71°；故选：B．【变式2-1】（2021秋•祥云县期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE，分别交AB，AC于点D，E．若AD＝3，BC＝5，则△BEC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】C【解答】解：∵AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点D、E，∴AE＝BE，∵AD＝3，∴AB＝6，∴AE+EC＝AC＝AB＝6，∵BC＝5，∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+AE+CE＝BC+AC＝6+5＝11；故选：C．【变式2-2】（2021秋•浉河区期末）如图，已知AB＝AC，AB＝8，BC＝5，以A，B两点为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，连接MN与AC相交于点D，连接BD，则△BDC的周长为（）A．8 B．10 C．11 D．13【答案】D【解答】解：根据作图过程可知：MN是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴△BDC的周长＝BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC＝AB+BC＝8+5＝13．故选：D．【典例3】（2021秋•河西区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．【解答】解：设∠A＝x．∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝x；∵BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠BCD＝2x，∴∠DBC＝x；∵x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．【变式3-1】（2019秋•铜山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC＝CD，点D在BC上，且AD＝BD．（1）求证：∠ADB＝∠BAC；（2）求∠B的度数．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD＝BD∴∠B＝∠C，∠B＝∠1，∴∠C＝∠1，∵∠ADB＝∠2+∠C，∠BAC＝∠2+∠1∴∠ADB＝∠BAC；（2）∵AC＝CD，∴∠2＝∠ADC，又∵∠ADC＝∠B+∠1，∴∠2＝2∠B，在△ABC中，∠B+∠BAC+∠C＝5∠B＝180°，∴∠B＝36°．【典例4】（2022秋•长沙期中）如图，一条船上午8时从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，分别从A，B处望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°．（1）求海岛B到灯塔C的距离；（2）若这条船到达海岛B处后，继续向正北方向航行，问还要经过多长时间，小船与灯塔C的距离最短？【解答】解：（1）由题意得：AB＝15×2＝30（海里）．∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝∠NBC﹣∠NAC＝30°．∴∠ACB＝∠NAC．∴AB＝BC＝30（海里）．∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里．（2）如图，过点C作CP⊥AB于点P．∴根据垂线段最短，线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离，∠BPC＝90°．又∵∠NBC＝60°，∴∠PCB＝180°﹣∠BPC﹣∠CBP＝30°．在Rt△CBP中，∠BCP＝30°，∴（海里），∴AP＝AB+BP＝30+15＝45（海里）．∴航行的时间为45÷15＝3（时）．∴若这条船继续向正北航行，上午11时小船与灯塔C的距离最短．【变式4】（2022秋•南岗区校级月考）上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向北航行，11时到达海岛B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，求从海岛B到灯塔C的距离．【解答】解：由题意得：AB＝（11﹣8）×15＝3×15＝45（海里），∵∠NBC是△ABC的一个外角，∠NAC＝40°，∠NBC＝80°，∴∠C＝∠NBC﹣∠NAC＝40°，∴∠C＝∠NAC＝40°，∴AB＝BC＝45海里，∴从海岛B到灯塔C的距离为45海里．【考点2等腰三角形的判定】【典例5】（2020•河北模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴△ABC为等腰三角形，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣36°）＝72°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD＝×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴△ABD为等腰三角形，∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴△BDC为等腰三角形．故选：D．【变式5-1】（2016秋•肥城市期末）如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数（）A．1个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝36°∴△ABC是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB＝＝72°，BD平分∠ABC，∴∠EBD＝∠DBC＝36°，∵ED∥BC，∴∠AED＝∠ADE＝72°，∠EDB＝∠CBC＝36°，∴在△ADE中，∠AED＝∠ADE＝72°，AD＝AE，△ADE为等腰三角形，在△ABD中，∠A＝∠ABD＝36°，AD＝BD，△ABD是等腰三角形，在△BED中，∠EBD＝∠EDB＝36°，ED＝BE，△BED是等腰三角形，在△BDC中，∠C＝∠BDC＝72°，BD＝BC，△BDC是等腰三角形，所以共有5个等腰三角形．故选：D．【变式5-2】（宜宾期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠B＝∠DAE＝36°，则图中等腰三角形共有（）个．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解答】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°，∵AD＝AE，∠DAE＝36°，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∵∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠EAC，∴∠BAD＝∠EAC＝36°，∴∠BAE＝∠DAC＝72°，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDA＝∠CAD，∠B＝∠BAD＝∠C＝∠EAC，∴△ABD，△AEC，△BAE，△ADC，△ABC，△ADE都是等腰三角形，故选：D．【典例6】（蒙阴县期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝36°，以C为原点，AC所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M使△MAB为等腰三角形，符合条件的M点有（）A．6个 B．7个 C．8个 D．9个【答案】C【解答】解：如图，①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；∴符合条件的点有8个．故选：C．【变式6-1】（2021秋•西工区校级期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解答】解：如图所示：点P在x轴上，且使△AOP为等腰三角形，符合题意的点P的个数共4个，故选：C．【变式6-2】（2019秋•河东区期末）已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解答】解：①以AB为底边，符合点C的有5个；②以AB为腰，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：C．【考点3：等腰三角形的判定与性质】【典例7】（苍溪县期末）如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．（1）△BDO是等腰三角形吗？请说明理由．（2）若AB＝10，AC＝6，求△ADE的周长．【解答】解：（1）△BDO是等腰三角形．∵BO平分∠ABC，∴∠DBO＝∠CBO，∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB，∴∠DBO＝∠DOB，∴BD＝DO，∴△BDO是等腰三角形．（2）同理△CEO是等腰三角形，∵BD＝OD，CE＝OE，∴△ADE的周长＝AD+AE+ED＝AB+AC＝10+6＝16．【变式7-1】（2021秋•集贤县期末）已知：如图，△ABC中，BD平分∠A