北京农十二师高级中学高三数学理期末试题含解析

北京农十二师高级中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列中，

，那么的值是：（

）

A．12

B．24

C．16

D．48参考答案：答案：B2.已知是实数，是纯虚数，则＝(

)A.

B.

C.

D.参考答案：B略3.正△ABC的边长为1，则（）A. B. C. D.参考答案：B【分析】先化简，再利用平面向量的数量积公式计算得解.【详解】解：∵正△ABC的边长为1，∴.故选：B．【点睛】本题主要考查向量的数量积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4.设（是虚数单位），则

(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：A5.己知函数的图像关于直线对称，它

的周期为，则

A.的图像过

B.在上是减函数

C.的一个对称中心是

D．将的图像向右平移个单位得到函数的图像参考答案：C略6.执行如图所示的程序框图，则输出的s值为（[x]表示不超过×的最大整数）(

)(A)4

(B)5

(C)7

(D)9参考答案：C7.若不等式组，所表示的平面区域被直线y=kx+2分成面积相等的两部分，则k的值为(

) A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，根据直线将平面区域分成面积相等的两部分，得到直线过AB的中点，求出相应的坐标即可得到k的值．解答： 解：作出不等式组对应平面区如图（三角形ABC部分），B（0，5），∵直线y=kx+2过定点C（0，2），∴C点在平面区域ABC内，要使直线y=kx+2将可行域分成面积相等的两部分，则直线y=kx+2必过线段AB的中点D．由，解得（，），即A（，），∴AB的中点D（，），将D的坐标代入直线y=kx+2得=k+2，解得k=1，故选：A点评：本题主要考查二元一次不等式组表示平面区域以及三角形的面积的应用，利用数形结合是解决本题的关键．8.等差数列的前n项和为，若，则等于（

）

52

54

56

58参考答案：A9.已知实数满足：，，则的取值范围是A． B． C． D．参考答案：画出约束条件限定的可行域为如图阴影区域，令，则，先画出直线，再平移直线，当经过点，时，代入，可知，∴，故选．10.设函数在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数，定义函数：,取函数，若对任意的，恒有，则A.k的最大值为2 B.k的最小值为2

C.k的最大值为1 D.k的最小值为1参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在中，AB=2，AC=3，，则BC=___________________参考答案：c=2b=3

注意；

注意正负号 夹角是

夹角是

夹角是12.给出下列四个命题：①命题“”的否定是“”；②a、b、c是空间中的三条直线，a//b的充要条件是；③命题“在△ABC中，若”的逆命题为假命题；④对任意实数.其中的真命题是

▲

.（写出所有真命题的编号）参考答案：13.向量a、b是单位正交基底,c=xa+yb,x,y∈R,(a+2b)c=-4,(2a-b)c=7,则x+y=______________.参考答案：-1略14.函数的最大值是

参考答案：15.已知单位向量_______.参考答案：3

解得16.若不等式对任意恒成立，则的取值范围是参考答案：解：因为，对任意恒成立，所以有17.方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解是

▲

．参考答案：或0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.（文）某种型号汽车的四个轮胎半径相同，均为，该车的底盘与轮胎中心在同一水平面上.该车的涉水安全要求是：水面不能超过它的底盘高度.如图所示：某处有一“坑形”地面，其中坑形成顶角为的等腰三角形，且，如果地面上有()高的积水(此时坑内全是水，其它因素忽略不计).(1)

当轮胎与、同时接触时，求证：此轮胎露在水面外的高度(从轮胎最上部到水面的距离)为；(2)假定该汽车能顺利通过这个坑(指汽车在过此坑时，符合涉水安全要求)，求的最大值.

(精确到1cm).参考答案：解：(1)当轮胎与AB、BC同时接触时，设轮胎与AB边的切点为T，轮胎中心为O，则|OT|=40，由∠ABC=1200，知∠OBT=600，

…………………..2分故|OB|=.

.……………………..4分

所以，从B点到轮胎最上部的距离为+40，……..6分此轮胎露在水面外的高度为d=+40-(+h)=，得证.

…..8分(2)只要d40，

…………..12分即40，解得h16cm.，所以h的最大值为16cm.

…..14分19.已知函数f（x）=ax2+bx．（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的递减区间；（Ⅱ）若a=1，且函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先对函数f（x）进行求导，根据f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，然后令f'（x）＜0求单调递减区间；（Ⅱ）把a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，由题意可得f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立，分离参数b得答案．【解答】解：（Ⅰ）已知函数f（x）=ax3+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax2+b，又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x﹣y+1=0平行，且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=﹣3，∴f（x）=x3﹣3x．令f′（x）=3x2﹣3≤0，得﹣1≤x≤1，∴函数的单调递减区间为[﹣1，1]（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x3+bx（x∈R），又函数f（x）在[﹣1，1]上是减函数，∴f′（x）=3x2+b≤0在[﹣1，1]上恒成立．即b≤﹣3x2在[﹣1，1]上恒成立，∴b≤﹣3．20.如图，点A是以线段BC为直径的圆O上一点，AD⊥BC于点D，过点B作圆O的切线，与CA的延长线相交于点E，点G是AD的中点，连接CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P．（1）求证：BF=EF；（2）求证：PA是圆O的切线．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）利用平行线截三角形得相似三角形，得△BFC∽△DGC且△FEC∽△GAC，得到对应线段成比例，再结合已知条件可得BF=EF；（2）利用直角三角形斜边上的中线的性质和等边对等角，得到∠FAO=∠EBO，结合BE是圆的切线，得到PA⊥OA，从而得到PA是圆O的切线．【解答】证明：（1）∵BC是圆O的直径，BE是圆O的切线，∴EB⊥BC．又∵AD⊥BC，∴AD∥BE．可得△BFC∽△DGC，△FEC∽△GAC．∴，得．∵G是AD的中点，即DG=AG．∴BF=EF．（2）连接AO，AB．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．由（1）得：在Rt△BAE中，F是斜边BE的中点，∴AF=FB=EF，可得∠FBA=∠FAB．又∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO．∵BE是圆O的切线，∴∠EBO=90°，得∠EBO=∠FBA+∠ABO=∠FAB+∠BAO=∠FAO=90°，∴PA⊥OA，由圆的切线判定定理，得PA是圆O的切线．21.袋中有8个大小相同的小球，其中1个黑球，3个白球，4个红球.（I）若从袋中一次摸出2个小球，求恰为异色球的概率；（II）若从袋中一次摸出3个小球，且3个球中，黑球与白球的个数都没有超过红球的个数，记此时红球的个数为，求的分布列及数学期望E.参考答案：解：解:（Ⅰ）摸出的2个小球为异色球的种数为从8个球中摸出2个小球的种数为故所求概率为

（Ⅱ）符合条件的摸法包括以下三种：一种是有1个红球，1个黑球，1个白球，

共有种

一种是有2个红球，1个其它颜色球，共有种，

一种是所摸得的3小球均为红球，共有种不同摸法，

故符合条件的不同摸法共有种.

由题意知，随机变量的取值为，，.其分布列为：123

略22.设函数f（x）=|x+2|﹣|x﹣1|（I）画出函数y=f（x）的图象；（II）若关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解，求实数m的取值范围．参考答案：【考点】带绝对值的函数．【分析】（I）先将原函数式可化为一个分段函数的形式，再分段画出函数在各段上的图象即得原函数的图象．（II）关于x的不等式f（x）+4≥|1﹣2m|有解等价于：（f（x）+4）max≥|1﹣2m|，再根据分段函数的图象