湖南省郴州市广发中学高三数学理月考试题含解析

湖南省郴州市广发中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.（5分）（2015?钦州模拟）已知向量，，且，则的值为（）A．B．13C．5D．参考答案：A【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：首先由向量平行得到x，然后利用坐标运算解答．解：因为向量，，且，所以2×6=﹣3x，解得x=﹣4，所以=（﹣2，3），所以=；故选A．【点评】：本题考查了向量平行的性质以及向量加法、模的坐标运算；属于基础题．2.给定性质:①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称，则下列四个函数中，同时具有性质①、②的是（

）

A．y=sin(2x－)

B．y=sin(+)

C．y=sin(2x+)

D．y=sin|x|参考答案：A略3.已知集合，则下列结论正确的是A.

B.

C.

D.参考答案：C试题分析：由于，因此，故答案为C.考点：1、元素与集合的关系；2、集合间的并集、交集.4.设函数，若曲线在点处的切线方程为，则a（

）A.0 B. C.1 D.2参考答案：A【分析】根据题干的到函数在处的切线的斜率为，故.【详解】将代入直线方程得,故切点为,直线斜率为,,.故选A.【点睛】这个题目考查了导函数的几何意义，即到函数在某一个点处的函数值就是原函数在这一点处的切线的斜率.属于基础题目.5.下列函数中既是奇函数，又在区间（0，+）上单调递增的是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C6.函数y=的图象大致为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】现根据函数的奇偶性排除A，再根据函数值y的情况排除B，再利用极限的思想排除C，问题得以解决【解答】解：∵f（﹣x）==﹣=f（x），∴函数f（x）为奇函数，故排除A，当x＞0时，3x＞3﹣x，当x＜0时，3x＜3﹣x，当2kπ＜3x＜2kπ+，即＜x＜+时，cos3x＞0，故y＞0，故排除B，因为=0，故排除C，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，函数的奇偶性，函数值，极限是常用的方法，属于中档题7.已知是实数，是纯虚数，则等于

（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B因为是纯虚数，所以设.所以，所以，选B.8.已知集合A={1，a}，B={1，2，3}，则“a=3”是“A?B“的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；集合的包含关系判断及应用．【分析】先有a=3成立判断是否能推出A?B成立，反之判断“A?B”成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论．【解答】解：当a=3时，A={1，3}所以A?B，即a=3能推出A?B；反之当A?B时，所以a=3或a=2，所以A?B成立，推不出a=3故“a=3”是“A?B”的充分不必要条件故选A．9.已知复数为虚数单位，则的共轭复数是A.

B.

C.

D.参考答案：A10.已知函数的定义域为R，其导函数为是奇函数，当，则不等式的解集为

A．(1，+∞) B．(－∞，－1)C．(－1，1) D．(－∞，－1)∪(1，+∞)参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.复数的模为__________.参考答案：12.过点A（1，1）作曲线y=x2（x≥0）的切线，设该切线与曲线及x轴所围图形的面积为S，则S=．参考答案：【考点】定积分在求面积中的应用．【分析】首先根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出直线方程，利用定积分的几何意义求S．【解答】解：因为点A的坐标为（1，1），过点A的切线的斜率为k=y'|x=1=2，故过点A的切线l的方程为y﹣1=2（x﹣1），即y=2x﹣1，令y=0，得x=，则S==；故答案为：．13.圆心在y轴上，且与直线2x+3y﹣10=0相切于点A（2，2）的圆的方程是．参考答案：x2+（y+1）2=13考点：圆的切线方程．专题：计算题；直线与圆．分析：设圆心为A（0，b），则=，求出b，即可得出圆的方程．解答：解：设圆心为A（0，b），则=，∴b=﹣1，∴圆的方程是x2+（y+1）2=13．故答案为：x2+（y+1）2=13．点评：本题考查圆的方程，考查直线与圆相切，求出圆心坐标是关键14.阅读程序框图，运行相应的程序，当输入的值为时，输出的值为

．参考答案：415.函数y＝2sin(x＋)＋cos(－x)的最大值为_________．参考答案：16.已知均为单位向量，它们的夹角为，则

．参考答案：

17.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，则{an}的公比为．参考答案：【考点】等比数列的性质．【分析】先根据等差中项可知4S2=S1+3S3，利用等比数列的求和公式用a1和q分别表示出S1，S2和S3，代入即可求得q．【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，2S2，3S3成等差数列，∴an=a1qn﹣1，又4S2=S1+3S3，即4（a1+a1q）=a1+3（a1+a1q+a1q2），解．故答案为【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.(本小题满分10分)如图，⊙O的半径OC垂直于直径AB，M为BO上一点，CM的延长线交⊙O于N,过N点的切线交AB的延长线于P。

（1）求证：；

（2）若⊙O的半径为，OB=OM.求：MN的长。参考答案：(1)连结ON，则，且为等腰三角形则,,

……3分由条件，根据切割线定理，有，所以

……5分(2)，在中，．

……7分根据相交弦定理可得：

……10分19.本题满分12分）已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中点A为图象上的最高点，点B，C为图象与x轴的两个相邻交点，且△ABC是边长为4的正三角形．（Ⅰ）求与的值；（Ⅱ）若，且，求的值．参考答案：（Ⅰ）解：由已知可得…3分 BC==4，……4分由图象可知，正三角形ABC的高即为函数的最大值，得………6分（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知 即∵， ∴∴…8分 ∴………………12分20.（13分）甲、乙两超市同时开业，第一年的年销售额都为a万元，甲超市前n（n∈N+）年的总销售额为（n2﹣n+2）万元；从第二年开始，乙超市第n年的销售额比前一年的销售额多（）n﹣1a万元．（Ⅰ）设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an，bn万元，求an，bn的表达式；（Ⅱ）若在同一年中，某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购．若今年为第一年，问：在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购？若能，请推算出在哪一年底被收购；若不能，请说明理由．参考答案：考点： 数列与函数的综合．专题： 等差数列与等比数列．分析： （Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），从而an=，由此能求出bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．由此能求出2020年年底乙超市将被甲超市收购．解答： 解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，则Sn=（n2﹣n+2）（n≥2），因为n=1时，a1=a，则n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]=a（n﹣1），故an=，又b1=a，n≥2时，bn﹣bn﹣1=（）n﹣1a，故bn=b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）=a+a+（）2a+…+（）n﹣1a=[1++（）2+…+（）n﹣1]a=a=[3﹣2（）n﹣1]a，显然n=1也适合，故bn=[3﹣2（）n﹣1]a．（n∈N*）．（2）当n=2时，a2=a，b2=a，有a2＞b2；n=3时，a3=2a，b3=a，有a3＞b3；当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被甲超市收购．当n≥4时，令an＞bn，则（n﹣1）a＞[3﹣2（）n﹣1]an﹣1＞6﹣4?（）n﹣1．即n＞7﹣4?（）n﹣1．又当n≥7时，0＜4?（）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4?（）n﹣1．即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，即2020年年底乙超市将被甲超市收购．点评： 本题考查数列的通项公式的求法，考查在今后若干年内，乙超市能否被甲超市收购的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．21.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为，四边形ABCD的四个顶点都在曲线E上.（1）求曲线E的直角坐标方程；（2）若AC，BD相交于点，求的值.参考答案：(1)；(2)4【分析】（1）将两边平方，利用公式，即可转化为直角坐标方程；（2）写出直线的参数方程，根据直线参数的几何意义，即可求得.【详解】（1）将两边平方，即可得，即可得.（2）因为直线都经过点，故直线的参数方程为：为参数；直线的参数方程为：为参数；联立直线的方程与可得：，设两点对应的参数为，故可得；同理联立直线的方程与可得：，设两点对应的参数为，故可得；根据直线参数方程中的几何意义可知：.即为所求.【点睛】本题考查极坐标方程转化为直角坐标方程，以及利用直线参数方程中参数的几何意义，求解线段长度的乘积，属基础题.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系x