工程力学：第五章 材料的力学性能

1第五章材料的力学性能5.1概述5.2低碳钢拉伸应力—应变曲线5.3不同材料拉伸压缩时的机械性能5.4真应力、真应变5.6不同材料模型下的力学分析5.5应力—应变曲线的理想化模型2第五章材料的力学性能力的平衡条件变形几何协调条件力与变形间的物理关系变形体力学，研究主线：5.1概述2)变形几何协调条件:

l2=2

l1

；

3)力与变形间的物理关系：

l1=N1l/E1A1

；

l2=N2l/E2A2.解：1)力的平衡：平衡方程为：

mA(F)=N1a+2N2a-3Pa=0

Y=YA+N1+N2-P=0

aaaABPYAN1N212lDD1l2l回忆例：刚性梁AB受力P作用，求各杆内力。3材料变形直至破坏的行为？什么条件下会发生破坏？如何控制设计才能保证构件有必要的强度和刚度？力的平衡：小变形下，与材料无关；用平衡方程描述。几何协调条件：变形应满足的几何关系，不涉及材料。力与变形间的物理关系：显然与材料有关。不同材料，在不同载荷作用下，力学性能不同。构件必须“强”，不发生破坏；必须“刚硬”，不因变形过大而影响正常工作。变形几何协调条件:

l2=2

l1

；物理关系：

l1=N1l/E1A1

；

l2=N2l/E2A2.力的平衡方程：

mA(F)=N1a+2N2a-3Pa=0

Y=YA+N1+N2-P=045.2低碳钢拉伸应力—应变曲线常用拉伸试样(圆截面):标距长度：

l=10d或5d施加拉伸载荷P，记录P—

l曲线;或

(=P/A)—

(=

/)曲线。低碳钢拉伸应力—应变曲线:颈缩阶段：到k点发生断裂。四个阶段：

颈缩

屈服强化

弹性弹性阶段：卸载后变形可恢复。屈服阶段：变形迅速增大，材料似乎失去抵抗变形的能力。强化阶段：恢复抵抗变形的能力。516由

-

曲线定义若干重要的比例极限

p：

=E

-

关系是线性、弹性的。材料性能和指标：弹性模量

(ElasticModulus)

E=

/

：op段直线的斜率,反映材料抵抗弹性变形的能力。弹性极限

e：弹性，pe段为非线性。

e与

p数值相近。

屈服极限或屈服强度(yieldstrength)

ys：

材料是否出现塑性变形的重要强度指标。sopesybk=PAk'eDll=/

ys

p

eE17seosbeepe11EEAA'Beeep总应变

是弹性应变与塑性应变之和。屈服后卸载，卸载线斜率为E。残余的塑性应变为

p；恢复的弹性应变为

e，则有：

=

e+

p.弹性应变和塑性应变强化阶段卸载，可使屈服极限

ys提高，塑性变形减小。（如预应力钢筋等）。

应变硬化：反映材料是否破坏的重要强度指标。极限强度(ultimatestrength)

b：

ys

b8延性和脆性：

延伸率

n:1面缩率

：A1A0度量材料塑性性能的重要指标。

>5%,如低碳钢、低合金钢、青铜等延性材料：脆性材料：

<5%,如铸铁、硬质合金、石料等。低碳钢，

约25%左右，

约为60%。9材料的力学性能（或机械性能）指标为：E1弹性指标：弹性模量E:

材料抵抗弹性变形的能力；

ys

b强度指标：屈服强度

ys-材料发生屈服极限强度

b-材料发生破坏延性指标：延伸率

和/或

面缩率

。105.3不同材料拉伸压缩时的机械性能1)不同材料的拉伸

—

曲线脆性材料无

ys,无颈缩，强度指标

b。弹性阶段

--

间也可有非线性关系。延性材料可以没有屈服平台，名义屈服强度

0.2为产生0.2%塑性应变时的应力。(%)se0(MPa)1020500200A3钢16Mn500se0(%)(MPa)20010.5灰铸铁玻璃钢se0(%)(MPa)20050020铝合金球墨铸铁青铜1116Mn、A3钢拉伸曲线锰钢硬铝球铁青铜拉伸曲线灰铸铁、玻璃钢、拉伸曲线122)压缩时的机械性能sess0ysys(a)A钢3拉伸压缩sess0bcbt(b)铸铁

压缩与拉伸的

-

曲线关于原点对称。有基本相同的E、

ys。

材料愈压愈扁，往往测不出抗压极限强度。延性材料:拉、压缩机械性能常常有较大的区别，抗压极限强度

bc>>抗拉极限强度

bt。如铸铁、混凝土、石料等。脆性材料：13低碳钢压缩,

愈压愈扁铸铁压缩,

约45

开裂143)泊松(Poisson)比沿载荷方向（纵向）的应变:

1=

L/L0;垂直于载荷方向（横向）的应变：

2=(d-d0)/d0=-

d/d0材料沿加载方向伸长/缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。泊松效应:横向与纵向应变之比的负值。

=-

2/

1.一般，弹性阶段，

=0.25-0.35。塑性阶段，

=0.5。泊松比

:15材料体元V0=abc纵向应变

x=

，则横向应变

y=

z=-

变形后尺寸为a+

a=a(1+

)、b(1-

)和c(1-

)。

体积为：V=abc(1+

)(1-

)2应变

远小于1，略去高阶小量，得到：

V=abc[1+(1-2

)]故体积的改变量为：

V=V-V0=abc(1-2

)

体积变化率：a(1+e)c(1-me)b(1-me)xyz

V/V0=(1-2

)

=(1-2

)

/E当

=0.2%,

=0.3时,

V/V0=0.08%。塑性阶段，

0.5，有

V

0。体积变化率为:弹性体积变化小塑性体积变化可忽略16讨论1：直径d0=20mm,长L0=300mm的杆，受力P=6.28kN作用后，长度增加0.3mm,直径减小0.0006mm；试计算材料的弹性模量E和泊松比

。杆横截面上的应力为：

=6.28103

/3.140.012=2107

(Pa)=20(MPa)弹性模量:E=/

轴向=2107

/110-4=21011

(Pa)=200(GPa)解：杆的纵向应变为：

轴向=0.3/3000=110-4

横向应变为：

横向=-0.0006/20=-310-5

故，泊松比：

=-

横向/

轴向=0.317讨论2：铝块(E=70GPa、=0.3)如图，力P=200kN通过刚性板均匀作用于上端横截面上。试计算其尺寸和体积的改变

V。解:

z=P/A=200103

/100200=10(MPa)

z=/E=10/(70103)=1.4310-4横截面上的压应力、压应变为：

Lz=

zLz

=1.4310-4300=0.043mm纵向缩短:

Lx=

xLx=

zLx

=0.3

1.4310-4100=0.0043mmLy=

yLy=

zLy=0.0086mm横向伸长:

V/V0=(1-2

)

z

=0.4

1.4310-4=5.7210-5

体积变化率为：100mm200mm300mmPxyz185.4真应力、真应变dP应变0应力均匀变形S,es,eD0llllsys

真应力

、真应变

：

；一般工程问题：e<0.01误差小，二者可不加区别误差：工程应力S、工程应变e:S=P/A0

；e=Dl/l0=(l-l0)/l0

=P/A=Pl

/A0l0=(P/A0)[(l0+

l

)/l0]=S(1+e)>Se=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-…<e关系：均匀变形，假定体积不变，A0l0=Al，则有：

19小结：低碳钢拉伸s-e曲线

弹性屈服强化颈缩

ys

bE1总应变

是弹性应变与塑性应变之和,

=

e+

p弹性应变和塑性应变材料的力学性能指标为：弹性：E;强度：

ysor

0.2;

b;延性指标：

,

。20脆性材料:拉、压缩性能常有较大的区别。一般：抗压极限强度

bc>>抗拉极限强度

bt。真应力、应变与工程应力、e的关系：

=P/A=S(1+e)e=ln(1+e)延性材料:

压缩与拉伸有基本相同的E、

ys。

材料沿加载方向伸长/缩短的同时，在垂直于加载方向发生的缩短/伸长现象。泊松效应:体积变化率为：

V/V0=(1-2

)

弹性体积变化很小。（

1=/E；

2=

3=-

1）泊松比

:

=-

2/

1.21思考题：5-1；5-2；5-3习题：5-1；5-222第五章材料的力学性能5.1概述5.2低碳钢拉伸应力—应变曲线5.3不同材料拉伸压缩时的机械性能5.4真应力、真应变5.6不同材料模型下的力学分析5.5应力—应变曲线的理想化模型23前节回顾：低碳钢拉伸s-e曲线

弹性屈服强化颈缩

ys

bE1总应变

是弹性应变与塑性应变之和,

=

e+

p弹性应变和塑性应变材料的力学性能指标为：弹性指标：E强度指标：

ys;

b延性指标：

,

24低碳钢拉伸曲线锰钢硬铝球铁青铜拉伸曲线灰铸铁、玻璃钢、拉伸曲线不同材料有不同的性能低碳钢拉伸曲线最典型金属材料屈服应变约0.2%

屈服平台应变约3-5%255.5应力—应变曲线的理想化模型1)线弹性模型:

=E

(

<

b；或

<

ys)

研究弹性、小变形问题。se0(MPa)20010.5灰铸铁玻璃钢500(%)sesyssb或02)非线性弹性模型:

=k

n(

<

b；或

<

ys)用于有非线性弹性行为材料的分析。非线性影响不大时，可线性近似。材料的

—

曲线各种各样，如何描述？必须建立反映材料

-

关系的物理模型。模型应当物理真实，数学简单。se0(%)(MPa)1020500200A3钢16Mnsesyssb或0263)刚性理想塑性模型：se0(%)(MPa)1020500200A3钢16Mn用于有明显屈服平台的材料，研究弹塑性变形的问题。sesys0用于有明显屈服平台的材料，弹性变形比塑性变形小得多时，研究可忽略弹性变形的问题。忽略弹性变形，也不考虑应变硬化。当

<

ys时，

=0

当

>0时，

=

ys4)弹性理想塑性模型：线弹性+理想塑性。当

ys

时,

=E

当

>

ys

时,

=

ys=E

ys

sesys027se0(%)(MPa)20050020铝合金球墨铸铁青铜5)幂硬化弹塑性模型：总应变：

=

e+

p。

实验给出应力与弹、塑性应变的关系：

=E

e；及

=K

p1/n；

故有Remberg-Osgood应力-应变系：

=

e+

p=(

/E)+(

/K)n.K为强度系数，应力量纲；n为应变硬化指数。综合描述弹塑性性能，用于无明显屈服平台的材料。6)线性硬化弹塑性模型：

弹性部分用线弹性，硬化用线性近似。

=E

当

ys

时；

=

ys+E1(

-

ys)当

>

ys

时。

常数E、E1分别为OA、AB的斜率。sesysO11EE1ABseeeepA028讨论：研究弹性变形问题，用

或

模型？线弹性非线性弹性弹性理想塑性刚性理想塑性幂硬化弹塑性不可能用一个模型描述各种材料；也难于用一个简单的方程表达整条应力—应变曲线。需要若干不同的模型，适应不同材料、不同问题。研究铝合金材料弹塑性问题，用

模型？16Mn钢弹塑性问题，不考虑硬化，可用

模型？若忽略其弹性变形，可用

模型？灰铸铁用线弹性模型，球铁用线性硬化弹塑性，可否？295.6不同材料模型下的力学分析P132C例5.1三杆铰接于C点，受力P如图。杆截面积、材料均相同，材料

-

关系为

=E

，求三杆内力。

材料模型力与变形间物理关系解：1)力的平衡方程：受力如图。有平衡方程：

N2=N3---(a)N1+2N2cos

=P---(b)

三个未知量，二个方程，一次静不定。2)变形几何条件：杆系变形如图。有：

1cos

=

2.---(c)303)力与变形间的物理关系（

-

关系）由线弹性模型有

=E

，即N/A=E

L/L。

故可知各杆的伸长

L=

为：

1=N1L1/EA；

2=N2L2/EA---(d)至此，共有5个方程，可解N1、N2、N3、

1、

2。P132CaL1L2---(1)注意到L1=L2cos

，由(c)、(d)二式得到：

N2=N1cos2

---(e)再由方程(a)、(b)、(e)解得：N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

)31注意同样有L1=L2cos

，由(c)、(d’)式可得：

N2/N1=(

2/

1)n×(L1/L2)n=cos2n

即有：N2=N1cos2n

---(e')讨论一：材料

-

关系用非线性弹性模型，

=k

n，再求三杆内力。---(2)N1=P/(1+2cos2n+1

)N2=N3=Pcos2n

/(1+2cos2n+1

)与(b)式联立解得：---(d')材料模型不影响力的平衡和变形几何协调条件。故前述方程(a)、(b)、(c)仍然成立。力与变形间的物理关系由非线弹性模型

=k

n有：

1=k

1n

N1/A=k(

1/L1)n.

2=k

2n

N2/A=k(

2/L2)n.32设载荷为Ps发生屈服，即

1=

ys，故：

1=N1/A=Ps/A(1+2cos3

)=

ys.得到屈服载荷Ps为：---(3)Ps=

ysA(1+2cos3

)

讨论二：材料为弹性理想塑性，如图。求杆系能承受的最大载荷P。屈服载荷Ps：“结构中任一处达到屈服应力时的载荷”。弹性解(1)有：N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

)知，N1>N2=N3;三杆A、E相同，P增大，杆1先屈服。E133当P=Ps时，

1=

ys,；

2=

3<

ys。

故杆2、3承受的载荷仍可继续增加。超过屈服载荷Ps后，

1

ys，N1

ysA。代入平衡方程N1+2N2cos

=P，当Ps

P

Pu时，有：N2=N3=(P-

ysA)/2cos

；

2=

3=[(P/A)-

ys]/2cos

---(4)极限载荷Pu：“结构整体进入屈服极限状态时，因塑性变形而丧失继续承载能力的载荷”。P132CNNN213极限状态下P=Pu

，

1=

2=

3=

ys，N1=N2=N3=

ysA，由平衡方程可直接确定Pu为：Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)---(5)34不同材料模型下分析结果的比较线性弹性：

=E(P<Ps)

越大，N1越大，=0，

N1=P/3；=90，N1=P。aaPCNNN213N1=P/(1+2cos3

)N2=N3=Pcos2

/(1+2cos3

).N1=P/(1+2cos2n+1

)N2=N3=Pcos2n

/(1+2cos2n+1

)非线性弹性：

=k

n(P<Ps)n=1,k=E,非线性弹性退化为线弹性结果。Ps=

ysA(1+2cos3

)N1

ysAN2=N3=(P-

ysA)/2cos

；Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)理想弹塑性：(Ps

P

Pu)考虑塑性，结构的承载能力可以大一些。极限载荷Pu>屈服载荷Ps若=60，Pu=1.6Ps。35

讨论三：变形与位移

(理想弹塑性模型)

结构C点的位移，等于杆1的伸长。P132CP<Ps时：弹性变形为：

1=

N1L1/EA

=PL1/(1+2cos3

)EA

P=Ps时，N1

ysA，到达屈服载荷Ps的变形为：

s=

1=N1L1/EA=

ysL1/E;Ps

P

Pu时：杆1屈服，可自由伸长。但C点变形受杆2、3约束，

1必须满足几何协调条件

(c)。注意：

1=

2/cos

，

L1=L2cos

，

N2=(P-

ysA)/2cos

；有：

1=

2/cos=N2L2/EAcos

=(P-

ysA)L1/2cos3EA；P=Pu=

ysA(1+2cos

),到达极限载荷时的位移为：

u=

1=

2/cos

=N2L2/EAcos

=

ysL1/Ecos2

.360解：平衡方程：

N2=N3;N1+2N2cos

=P极限状态下，三杆均屈服，

N1=N2=N3=

ysA，极限载荷Pu为：

Pu=N1+2N2cos

=

ysA(1+2cos

)刚性理想塑性模型给出与理想弹塑性模型相同的极限载荷,但得不到屈服载荷，也得不到变形。问题讨论1：若材料模型用刚性理想塑性，试求三杆结构的极限载荷Pu。NNN21337对于静不定问题：约束力、内力、应力的求解是否与材料有关？屈服载荷和/或极限载荷是否与材料有关？屈服载荷

极限载荷？(><=)问题讨论2.

变形体静力学分析中是是

<<否是对于静定问题：约束力、内力、应力的求解是否与材料有关？应变、变形、屈服载荷是否与材料有关？38问题讨论3：材料为弹性-理想塑性的二杆结构如图。杆1屈服后,问题是否仍为小变形？如何重写平衡方程？结构的极限载荷Pu如何？

杆1屈服后,C点位移迅速增大，杆1已不再是小变形。

Pa212haCP12gbCN1