第五章分析力学

第五章

分析力学

平衡力学体系的虚功原理以能量为基础的拉格郎日方程哈密顿原理及其应用正则变换§5.0分析力学发展简史§5.0发展简史

在以前四章中，牛顿运动定律为解决所有问题的出发点，物体的受力分析是解决问题的必备过程。对于较为复杂的体系，用牛顿定律求解，会有相当大的困难(未知的约束反力，大量的二阶微分方程)。1788年━━拉格郎日━━《分析力学》(拉格郎日)Lagranges

个独立变量描述力学体系的运动，二阶微分方程。1834年━━哈密顿(Hamilton)━━哈密顿正则方程2s

个独立变量描述力学体系的运动：s

个坐标,s

个动量,一阶微分方程。1843年━━哈密顿(Hamilton)━━哈密顿原理……

莫培督(Maupertuis)、欧拉(Euler)、泊松(Poisson)、高斯(Gauss)、雅可毕(Jacobi)§5.1约束与广义坐标

一、约束的概念§5.1约束与广义坐标一、约束的概念和分类体系：一群质点，其中每个质点的运动都与其它质点的位置和运动相关，这个集合成为力学体系。(质点组)N

个质点→个坐标数目约束：限制质点自由运动的条件。如平面，轨道等。数学上，表示为一个关于位置、速度、时间的方程。xyzzk

个约束方程：剩个自由坐标例子：N个质点被限制在一个平面内运动，那么该平面是一个约束，约束方程就是该平面的方程：自由坐标数目：3N3N-k3N-N=2N个

一条空间曲线，需要几个方程描述？一个空间曲面呢？

约束的分类约束的分类稳定约束f(x,y,z)=0不稳定约束f(x,y,z;t)=0(1)按约束方程是否显含时间:(2)质点是否可以脱离约束：不可解约束f(x,y,z;t)=0可解约束f(x,y,z;t)≥0有时，微分约束可以通过积分变为完整约束。而不能通过积分而改变的微分约束叫不完整约束。例如：(可化为完整约束)(不完整约束)(3)约束是否与速度相关：几何约束(完整约束)f(x,y,z;t)=0运动约束(微分约束)完整系：只受几何约束的力学体系。(主要内容)不完整系：约束中包括不完整约束的力学体系。二、广义坐标二、广义坐标N

个质点，k

个约束No.1No.2No.n剩下独立变量数目(自由度)：s=3n-

k另外选用s

个独立参数

q1,q2,…，qn来描述力学体系：广义坐标：相互独立的s

个坐标q1,q2,…，qn不一定是长度，可以是角度等其他物理量。例：质点(x,y,z)限制在球壳x2+y2+z2=r2上运动。广义坐标：q

和j§5.2虚功原理

一、实位移与虚位移§5.2虚功原理一、实位移与虚位移1.实位移：质点由于运动实际上所发生的位移，以dr

表示2.虚位移：不是由于时间变化而引起，仅仅是根据质点位置和约束条件而可能发生的位移。以dr

表示xy轨迹轨迹轨迹drxy轨迹dr(平面约束)(线约束)(只有两个可能方向)dr(没有约束)二、理想约束3.特点：☆

实位移具有唯一性，而虚位移则不唯一，甚至无限多；☆

在稳定约束的情况下，实位移是虚位移的一种情况；☆

在非稳定约束下，虚位移并不包含实位移。二、理想约束1.虚功：作用在质点上的力(含约束反力)

F

在任意虚

位移

dr

中所做的功，叫做虚功。2.理想约束：作用在一力学体系上的诸约束反力在任意虚位移

dr

中所做的虚功之和为0.(光滑曲线，光滑面刚性杆，光滑铰链等)drdr虚位移不包含实位移的情况此时，约束反力始终垂直于约束线或面三、虚功原理力学体系处于平衡时：三、虚功原理(不可解约束的情况)一个力学体系，具有n

个质点，k

个约束方程。Fi

：主动力的合力Ri：约束力的合力让每个质点在平衡位置作一次虚位移，相应的虚功为：对所有质点求和：=0(理想约束)平衡条件：力学体系的各主动力的虚功之和为零。虚功原理

广义力虚功原理:无约束时：有约束时：dri

之间并不互相独立。将dri

变成互相独立的变量。对n

个质点，k

个约束

:独立变量s=3n-k广义力:[例题][例题]：两条均匀杆，用铰链首尾相接，然后把一端通过铰链固定在墙上。在杆的自由端施以力

F,试计算杆的张角。[解]根据虚功原理，主要考虑主动力和主动力作用点的虚位移。主动力：P1,P2,F相应的作用点

(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)P1点：P2点：F点：总的虚功：问题：

x1,x2,y3

相互独立吗？(不!)FabABP1P2l1l2xy(续)自由度数目：4-2=2，选a,b为独立变量。写出x1,x2,y3

与独立变量的关系：FabABP1P2l1l2xy于是：[例题]解题步骤：

1.

找出体系中所有的主动力；在固定点建立坐标系；

2.

根据受力点的坐标，写出主动力的虚功；

3.

找出能够描述体系位置的独立变量；

4.

将坐标虚位移通过约束方程变为广义坐标的虚位移；

5.

令广义力为零，求得平衡的条件。[例题]

一均质棒斜靠在半径为r的半球形碗中，碗内长度为c.证明棒全长为4(c2-2r2)/c.

qPmg[解]主动力：mg作用力点：P(x,y)yx虚功：描述木棒位置的独立变量：q约束方程：结论━━━②━━━━━§5.3拉格郎日方程

一、基本形式的拉格朗日方程§5.3拉格郎日方程一、基本形式的拉格郎日方程出发点：对每个质点运用牛顿运动定律化动为静：动力学问题静力学问题两边标乘dri，然后对所有质点求和：(理想约束)现在的目的：将坐标的虚位移变为独立广义坐标的虚位移:?基本形式的拉氏方程保守系统的拉氏方程(推导)(1)(1)(2)(2)因为拉格郎日方程质点总动能：由Pa=Qa，有基本形式的拉格郎日方程基本概念：广义坐标：qa广义速度：广义力：Qa广义动量：广义坐标:q广义动量:广义速度:广义力:主动力做虚功：二、保守系的拉格郎日方程二、保守系的拉格郎日方程(xi,yi,zi)广义力：一共N

个质点，第i

个质点与第j个质点的作用力为Fij。若其为保守力，则对应一个势能函数：Vij(xi,yi,zi;xj,yj,zj)。体系总势能：相应第i

个质点：从V的表达式看出，V

只是坐标的函数(续)

三、循环积分定义

拉格郎日函数

L=T-V(动能-势能)拉氏方程：三、循环积分在拉氏方程中，若L

不包含qb，那么循环坐标：qb对的积分称为循环积分?0四、能量积分

五、拉格郎日方程的应用四、能量积分(自学)在稳定约束的条件下，可以由拉氏方程得到：五、拉格郎日方程的应用条件：理想约束或没有约束缺点：无法计算约束反力(1)根据基本形式的拉氏方程写出动力学方程基本过程：(I)找出描述体系的广义坐标；

(II)写出相对于静止坐标系的动能；

(III)应用基本形式的拉格郎日方程。[例1]OxhzxyzwFP[例1]：一坐标系O-xyz绕静止坐标系O-xhz

的z轴以恒定角速度w

旋转，质点P

受力F

的作用。计算P点在转动坐标系中的动力学方程。[解]设P

在转动坐标系中的坐标为(x,y,z)那么P

的绝对速度[例2][例2]：试写出球坐标系中的动力学方程。[解]jqrxyzijkP在质点P

对应处，i,j,k方向的速度为因此质点P

动能为广义坐标：r,q,j(续)即：①②③[例3][例3]：如图所示，由两个滑轮和三个砝码组成滑轮组。略去摩擦及滑轮重量，求每个砝码的加速度。(2)根据保守力系的拉氏方程求解运动规律[解](1)

确定体系自由度，选取广义坐标三个砝码的位置并不是相互独立的。选取如图所示的两个独立坐标：q1和q2。(2)

写出力学体系的动能和势能砝码m1:动能：势能：m1m2m3q1q2xl1l2砝码m2:(续)砝码m3:m1m2m3q1q2xl1l2(3)

写出拉格郎日函数(C:所有不包含变量的常数项之和)(4)

将L

代入拉格郎日方程，求解方程(续)结果：三个砝码的加速度：━━━③━━━━━§5.5哈密顿正则方程

一、勒让德变换§5.5哈密顿正则方程一、勒让德变换(LegendreTransform)拉氏函数本质上，拉格郎日方程是一个二阶微分方程：变换的目的：将方程由二阶变为一阶。将广义动量视为一个独立变量：代入拉氏函数，L就是qa

和pa的函数。(续)这组2s

维的动力学方程并不对称。s

维s

维勒让德变换

就是将一组独立变量变换为另外一组独立变量的变换。[举例]如何得到形式对称的勒让得变换。一函数f=f(x,y,z),自变量为x,y,z。其全微分：利用此即相当于一组新变量：u,v,z和一个新函数-f+ux+vy(续)含义：将一组变量的部分变为另外一组同等数量的变量后，为了保持全微分的对称形式，需定义另外一个函数。新函数的形式：?把

x,y看成未知数，其它的看成已知数。定义g=-

f+ux+vy=g(u,v,z)二、正则方程二、正则方程(Canonicalequations)将勒让德变换应用到拉氏函数中：定义新函数：哈密顿函数(续)于是得到一组方程：(a=1,2,…,s)哈密顿正则方程正则变量：正则方程则给出了正则变量随时间变化的情况。2s

维相空间在H

的定义中包含项。该变量通过求解方程组而替换掉。三、能量积分与循环积分

1.稳定约束：H不显含时间三、能量积分与循环积分1.稳定约束与

T,L,H是否显含

t

的关系对于n

个质点，那么可用3n

个变量描述：若约束稳定(不显含时间)，那么k个约束表示为：由此可以确定出可以自由变动的3n-k

个不显含时间的广义坐标：体系总动能：(质点随时间的变化由广义坐标随时间的变化给出)2.能量积分对于稳定的力学体系，势能也不是时间的显函数。因此，L=T–V也不是时间t

的显函数。相应地，pa

，及与之相关的H

也不是时间t的显函数。即对于稳定约束：2.能量积分(1)H

的物理含义因

L中的

V不显含qa故

L

被替换成为

T.即在稳定约束的情况下，H

为体系的总能量。(续)

3.循环积分(2)能量积分在稳定约束的情况下，H

只是qa,pa

的函数。于是：即：T+V=常量3.循环积分(qa:广义坐标，pa:广义动量)若H

不显含qa，那么dpa/dt≡0即：pa

为守恒量。(例题1)例题：设电荷为–e

的电子，在电荷为Ze

的核力场中运动，Z

为原子序数。试用正则方程研究电子的运动。[解]用正则方程研究的关键点：写出哈密顿量H.选择广义坐标为：r,q,j写出动能：写出势能：拉格郎日函数(续)计算与广义坐标相应的广义动量：写出哈密顿量：(在约束与时间无关时，也可直接应用H=T+V.在应用正则方程前，应将广义速度变换为广义动量。)(续)根据正则方程，可以得到：讨论：此即关于r

和q

的运动方程。(若初始时刻体系限制在

j=0的体系内，那么以后体系始终在此平面内。)①②③①②③(例题2)[例]

质量为M

的小环，套在半径为a

光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动。如圆圈在水平面内以匀角速度w

绕圆圈上某点O

转动，试求小环沿圆圈切线方向的运动微分方程。xyqalv牵v相2q[解]用正则方程求解的中心工作：找到哈密顿函数H.(1)找出描述小环的广义坐标：q(2)写出质点的拉氏函数L.相对速度牵连速度小环速度包括v牵v相q(3)找出pq

与的关系(续)(4)写出哈密顿函数(5)利用正则方程，写出运动规律。将pq

换掉用正则方程求解问题：确定体系自由度数，选定广义坐标；写出体系的动能和势能，得到拉氏函数；通过拉氏函数得到广义动量与广义速度的关系；写出哈密顿函数，将广义速度全部转换为广义动量；写出正则方程，计算广义动量对时间的微商及偏微分；将广义动量转换为广义速度，得到动力学方程。━━━④━━━━━§5.6泊松括号与泊松定理

一、泊松括号

1.定义§5.6泊松括号与泊松定理一、泊松括号(Poissonbracket)理论物理，特别是量子力学中要用到的符号。一个力学量j

是正则变量pa,qa(a=1,2,…,s)及时间t的函数:那么定义:泊松括号1.定义2.性质2.与守恒量的关系正则方程的简单形式：(a=1,2,…,s)

对于一个力学体系，若一个力学量j

与时间无关，那么它是很有价值的一个力学量，称为运动积分。其与哈密顿量的关系运动积分j[证明](QM)3.推广3.泊松括号的推广通过类比，可以推广泊松括号：基本性质：将j

或y

或q

换成H,同样适用。(广义坐标与广义动量)(QM)(例题)例题：如果j

是坐标和动量的任意标量函数，即其中a,b,c

为常数。证明：

[解]

先分析清楚选用什么坐标系----直角坐标系x,y,z写出j

和Jz

的具体形式：于是：①②③①+②+③=0二、泊松定理二、泊松定理(Poissontheorem)定理目的：从两个守恒量得到第三个守恒量。假定下列两个量守恒：根据(泊松定理)即：若两个量为守恒量，那么它们的泊松括号也为守恒量。(续)例题理想情况：但实际上，在很多情况下，只能给出原有积分的线性组合或恒等式。[例]：一组质点在内保守力的作用下运动，如果x,y

方向的两分动量矩为常数，那么z

方向的动量矩也是常数。证明之。[证明]根据动量矩定义，有根据泊松定理，下面计算(续)由于Jx,Jy

是常数，根据泊松定理，Jz

也是常数。=0=0=0=0§5.7哈密顿原理

一、变分运算的几个法则

1.变分的引入§5.7哈密顿原理一、变分运算的几个法则1.变分的引入历史上的三个经典问题最速降线问题：T=T[y(x)]ABxy即：在过A、B

两点的一切函数中，选取一个函数，使得质点从A

到B

所花时间最小。这里，时间是函数y(x)

的函数，即泛函。求时间T的最小值，就是求T

的变化为0，即dT=0短程线问题：L=L[y(x)]设j(x,y,z)=0为一已知曲面，计算曲面上

A,B之间距离最短的曲线。xyzAB显然，A、B

间的距离是曲线的函数，即是y(x)的函数。短程线问题，在数学上表示为dL=0(续)等周问题:S=S[r(q)]用给定长度的一线段，围出面积最大的一个区域。此时，面积是曲线r=r(q)的函数，即泛函。qr周长=L泛函：对每一函数y(x)，集合l

中都有一个数值与之对应，那么l叫做依赖于函数y(x)的泛函，记为l=l[y(x)].例：一个函数j(p,q,t)做一微小变化，得到y(p,q,t)，那么它们之间的差被称为函数j(p,q,t)的变分。变分：将函数y(x)做微小变化，从而引起泛函l[y(x)]的微小变化。记为dy,dl.函数：对与每一个数值x

，都有一个数值y

与之对应，那么y

叫做x的函数，记为y=y(x).微分：将x做一微小变化，那么函数y(x)做相应微小变化。这一微小变化称为微分，记为dx,dy2.变分与微分的比较

3.变分的基本性质3.变分的基本性质2.变分与微分的比较函数与泛函相同点：结果都对应着一个数。不同点：自变量类型不同函数自变量为数值，泛函的自变量为函数。变分与微分变分为一函数，而微分为一数值。微分：变分：xyy(x)y+dydxdy4.变分与微分的交换性4.变分与微分的交换性

如图示，一函数f(x)，作变分后得到函数f+df。因此：ff+dfd(f+df)dfABA

B

xx+dx由图可得，B

与B的微分的差就是df

的变分：即，微分与变分的次序可以交换：注意：等时变分：dt=0不等时变分：dt

0━━━⑤━━━━━

二、哈密顿原理

1.体系状态的描述二、哈密顿原理

假设：n

个质点组成的力学体系受到k

个几何约束。其自由度s=3n–

k.拉氏方程……………即：时间确定之后，整个力学体系就确定了。把每个自由度看成是一维空间，那么s

个自由度构成s

维空间。力学体系的某个状态就是s

维空间中的一个点。随着时间的连续变化，力学体系在

s维空间中形成一条曲线。q1q2qiqs1.体系状态的描述2.哈密顿原理体系从

A

点运动到

B

点，

哪条路径是真实的？(t1)(t2)AB2.哈密顿原理(限保守力系)保守力系拉氏方程对第a

个自变量qa

做变分：dqa，乘到拉氏方程两边：将dqa

乘到方括号中化简(续)=0,因为t1

和t2

处为固定端点，如何理解

d

L？因为代入上页末式(深入理解)哈密顿原理其中，称为作用函数，有时也叫主函数。深入理解力学体系的状态

s维空间中的一个点。q1q2qiqst

假定体系通过

A

点和B

点。那么AB两点之间不同的曲线意味着不同的变化规律：沿曲线C1：沿曲线C2：(t1)(t2)ABC1C2C3t不同的曲线对应着不同的S

值。即：对应一个真实的路径，对应的变分等于零。(续)真实轨道具有的性质：d

S=0结论：从哈密顿原理就可以得到真实的轨道，即若轨道C，将其轨道作变分后得到的主函数都变大(或变小)，那么轨道C

就是一条真实的轨道。满足拉氏函数的真实轨道哈密顿原理d

S=0(微分形式)(积分形式)哈密顿原理文字表述：

保守的、完整的力学体系在相同时间内，由某一初位移转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的主函数具有稳定值，即对于真实运动来讲，主函数的变分等于零。(例题1)评价：哈密顿原理是一个非常基本的原理，与牛顿运动定律等价。从该原理可以推得拉氏方程等其他原理、定律，甚至是牛顿运动定律。[例]：试由哈密顿原理导出正则方程。[解]哈密顿原理以拉氏函数

L

为基础，正则方程则以哈密顿函数H

为基础，二者关系是：哈密顿原理变分与积分可交换?(续)=0合并相同的变分由于dpa

与dqa

任意，而且相互独立，因此等时变分(例题2)例：半径为

a

光滑圆形钢丝，以匀速度w

绕竖直直径转动，圆圈上套着一质量为m

的小环。起始时，小环自圆圈的最高点无初速地沿着圆圈下滑。试用哈密顿原理求小环的运动微分方程。v

v0问题：哈密顿原理的关键是什么？[解](2)写出拉氏函数L=T

–

V(1)选用广义坐标：q相对速度牵连速度小环的绝对速度qw势能零点哈密顿原理下面的目的是将上式中的变成.(续)由于q

的任意性，根据前面得到的拉氏函数(自由度为1时的拉氏方程)━━全章复习━━━第五章

复习(1)一、几个重要的约束：1.

稳定约束与不稳定约束2.

几何约束与微分约束3.

完整系与非完整系二、几个重要概念1.

实位移:由于时间的改变而引起的位移；2.

虚位移:假象的根据位置和约束而可能发生的位移；4.

广义坐标:用于确定体系状态的、独立变化的参数；5.

自由度:独立变化的广义坐标的个数。一个体系的自由度是固定的，但广义坐标的选取却不唯一。对非完整系，独立变化的坐标数目可能小于3n-k.因此本章理论都只适用于完整系。(2)三、虚功原理1.虚功：力（包括主动力和约束反力）在任意虚位移下所作的功。2.理想约束：所有约束反力所做的虚功之和为零。虚功原理：在理想约束的条件下(不能含摩擦力等)力学体系平衡主动力虚功之和为零(光滑面，铰链，不可伸长、压缩等物)求解要点：建坐标系；写出虚功原理；找出独立广义坐标；(3)四、拉格朗日方程实质：关于广义坐标的一组微分方程；目的：求解广义坐标随时间的变化规律，等同于F=ma；出发点：力学体系的总动能。基本形式的拉氏方程：保守力系的拉氏方程：关键：找出广义坐标；写出拉氏函数(4)重要概念：练习：写出上述物