椭圆型偏微分方程

《偏微分方程教程》第六章

椭圆型方程1§

1

调和函数【知识点提示】Green公式，基本解，调和函数，调和函数的基本性质。【重、难点提示】利用Green公式导出基本积分公式，进而研究调和函数的基本性质。【教学目的】掌握调和函数的定义和性质。21.1.Gren公式散度定理：设

是n

维空间中以足够光滑的曲面

所围成的有界连通区域,n

是曲面的外单位法向.若函数Pi

(x1

x2

xn

)(i

1

2

n)在闭区域

上连续,在

内有一阶的连续偏导数,则n3n

i

n

i

ii

i

1i

1

P

x

dx1

dx

Pcos(n

x

)dS

,(1.1)其中cos(n

xi

)表示曲面

的外单位法向n与x

i轴的方向余弦,dS是

上的面积元素.Green公式的推导：设函数u(x1

x2

xn)和v

(x1

x2

xn

)在

内有连续的二阶偏导数.在公式(1.1)中令ii

xP

u

v

i

1

2

n

得到nniiucos(n

v

v

x

)dS

x

x

xi

i

i

1

i

1

dx1

dxn

u(1.2)(1.2)可改写成为i

i4nn

vdS

n

x

xi

1

u

vd

u

v

d

u(1.3)若将(1.3)中的u

和v互相对换,又得i

innx

x

i

1dS

u

n

v

ud

v

u

d

v(1.4)我们把(1.3)与(1.4)都称作第一Green公式.若将(1.3)与(1.4)相减,则得n

n5

n

n

(u

v

v

u)d

u

v

v

u

dS

(1.5)我们把(1.5)称为第二Green公式.1.2.

调和函数与基本解u(x1

x2

xn

)定义

6.1

对于函数

,如果它在n维空间nR

的有界区域

内有直到二阶的连续偏导数,且在

内满足Laplace方程：1

1 2

2

n

n

nu

ux

x

ux

x

ux

x

0

(1.6)则称u

在区域

内是调和函数.如果

nu

0(

0),则称u

在区域

内是下调和(上调和)函数.如果

是无界区域,则除上面的要求外,还应要求当点P(x1

x2

xn

)趋于无穷远时,函数u

一致趋于零.即对于任意小的正数

,存在正数

A,使当点P与坐标原点的距离r

A

时,总有

u(P)

按照这个定义,有时我们把Laplace方程(1.6)也称作调和方程.调和方程的基本解我们仅考虑三维空间和二维空间的情形.6首先我们考虑三维的情形.00用(x

y

z)表示三维空间中的点(x1

x2

x3

)改写三维空间的调和方程为球坐标形式.设球坐标变换为

x

x0

rsin

cos

y

y

r

sin

sin

z

z

r

cos

.

则(1.6)(取n

3)可化为31

u

1

u

1

2u(r2

)

(sin

)

0

r2

r

r

r2sin

r2sin2

2

u

(1.7)由(1.7)可以看出,方程(1.6)的球对称解是满足以r为自变量的常微分方程r

271

(

r

2

u

)

0

r

r其通解可写为2c

1

ru

c

这里c1

,c

2是任意常数.所以函数u1r

是一个球对称特解,从而推得0

0

01

1r(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2在任一不包含点P0

(x0

y0

z0

)的区域内是调和的,它在点P0

处有奇性.称函数0

0

081

1r(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2为三维Laplace方程(1.6)的基本解注基本解在(x

y

z)

(x0

y0

z0

)时关于(x

y

z)或(x0

y0

z0

)都是调和0函数且无穷次可微.其次,考虑二维Laplace方程

2u

uxx

uyy

0在极坐标变换

x

x0

rcos

y

y

rsin

下它可化为

0

1

u

1

2u

2

u

(r

)

r

r

r

r2

2(1.8)1二维Laplace方程的基本解lnr定理

6.1

设函数

u(

x

y

z)在有界区域

内二阶连续可微,

在

上连续且有连续的一阶偏导数,则当点P0

(x0

y0

z0

)

时,有904

u(P

)

1

1

u

u

(1)

dS

1

r

n

n r

r

4

3

u

d

(1.9)其中r

0

0

0

的外单位法向,dS是曲面

(x

x

)2

(y

y

)2

(z

z

)2

n是边界曲面上的面积单元,d

是体积单元.证以P0为中心

为半径作球K

使K

表示该球的球面,于是在区域

Ku1rv

上,函数和都满足第二Gren公式的条件,代入公式(1.5)得1

1KdS

,r

r

1 1

u

u

( )

u d

u

( )

33

n

r r

n

(1.10)

110因为1

在区域

rK

内是调和函数,所以有.3

(r

)

0另外边界

上任一点的外法线方向实际上是从该点沿着半径指向球心P0的方向,所以在

上有2

1

1

1

1( )

( )

2

n

r

r

r

r

从而得到在

上的积分为1

u

1 1

u

( )

dS

n

r r

n

u

dS

udS

1

n

4

u

4

(

u

)

2

u

n

u

n其中u

和

分别是函数u和

n在球面

上的平均值.于是(1.10)可写成31

r

.

K

u

1 1

u

( )

dS

4

u

(

)

n

r r

n

n

ud

uu因为及

u

n

11在上连续，所以

u

n

关于

一致有界,

且当

0时,有0u

u(P

)

u

n

0

K

,

于是由上式即得0314

14

r

u(P

)

1

u

u

(1

)

dS

r

r

n

n

1

ud

定理证毕.今后,我们将公式(1.9)称为三维空间中的基本积分公式.定理

6.2

设函数u(

x

y)在有界区域

内二阶连续可微，

在

0

0

0P

(

x

y

)

上连续且有连续的一阶偏导数，则当点

时有02r

u(P

)

1

ln

1

u

u

ln

1

dl

12

r

r

n

n

2

ln

1

ud

(1.11)其中d

l表示

上的线元素,d

是

上的面积元素.1.3.

调和函数的基本性质性质

6.1

设

u(

x

y

z)是有界区域

内的调和函数,

且在

上有连续的一阶偏导数,则12

u

d

S

0

.

n

(1.12)

u

.

n证利用第二Green公式,在(1.5)中取v

1

,取u为所给的调和函数,

就可得到(1.12).由此性质可得出,Laplace方程的第二边值问题

3

u

0

(

x

y

z)

有解的必要条件是函数

满足

d

S

0

.性质

6.2

设

u(x

y

z)是有界区域

内的调和函数,且在闭区域

上有连续的一阶偏导数,则在

内的任一点P0

(x0

y0

z0

)处有130

u(P

)

1

1

u

u

4

(

1

)

dS

r

n

n r

(1.13)证利用基本积分公式(1.9)即得.类似地,对于二维空间的情形,我们可以利用(1.11)得到0ln2

1 1

u

1

u

(

P

)

r

n

u

n

(ln

r

)

dl

(1.14)其中

是平面上有界区域

的边界.性质

6.3

(平均值定理)

设

u(x

y

z)是区域

内的调和函数,P0(x0

y0

z0)是

内的任一点以,P0

为心R

为半径作球KR只要球KR连同其边界

R

包含在

内,则有公式0141R4

Ru

(

P

)

ud

S

2

(1.15)证将公式(1.13)应用于球面

R

上,得到0u(P

)

1

1

u

u

(1

)

dS

4

R

r

n

n r

这里

r

R

,故由性质6.1知上式右端第一项的积分值为零,

又因为在球面上的外法线方向与半径的方向一致,于是RRR

1

1

1

(

)

(

)

2

n

r

r r

所以有0151R4

Ru

(

P

)

ud

S

2

我们把调和函数的这一性质称为平均值定理,公式(1.15)称为平均值公式,

即调和函数在球心处的值等于它在球面上的平均值.注1对区域

内的下调和(上调和)函数u,我们有01

1RR4

R4

Ru(P

)

udS

u(P

)

udS

0

2

2

(1.17)性质

6.4

(强极值原理)

假设不恒为常数的函数

u(

x

y

z),在有界区域

内调和且在

上连续,则它在

上的最大值和最小值只能在

的边界

上达到.证用反证法.假设调和函数u(x

y

z)在

上的最大值不在

上达到,那么它必在

内的某一点P0

(x0

y0

z0

)达到,记u(P0)

M

当然M

也是u

在

上的最大值.16以P0

为心R为半径作球KR

使KR完全包含于

内,记KR

的球面为S

R

,可以证明,在S

R

上有u

M

事实上,若函数u

在SR上某一点的值小于M

,则由连续性知,在球面SR

上必可找到此点的一个充分小的邻域,在此邻域内有u

M

,于是在SR

上成立不等式1

1RR4

R

4

RudS

MdS

M

2

S

2

S但由平均值公式(1.15),有0171R4

RudS

u(P

)

M

2

S这就发生了矛盾.所以在球面SR

上,必须有u

M同理可证,在任一以P0

为心,

(

R)为半径的球面S上,也有u

M

.因此,在整个球

K

R

上,有u(

x

y

z)

M

2R

1RK下面证明对

内的所有点,都有u

M

.为此在

内任取一点P(x

y

z),由于

是区域,所以可用完全位于

内的折线l

将点P0和P

连结起来,设l

与边界

的最短距离为d

,于是函数u

在以P0d为心为半径的球11

K