现代机械制图 课件 第2章 投影基础

第2章投影基础2.1投影的概念与分类2.2正投影的基本性质2.3点的投影2.4直线的投影2.5平面的投影2.6换面法投射线投射中心物体投影面投影一、投影的法的基本概念投影法：投射线通过物体，向选定的面投射，并在该面上得到图形的方法。投射中心：所有投射线的起源点。投射线：发自投射中心且通过物体上各点的直线。投影面：在投影法中得到投影的面。投影(图)：根据投影法所得到的图形。2.1投影的概念与分类投影法中心投影法平行投影法正投影法斜投影法二、投影法的种类三、中心投影法投射线从一点出发，通过空间物体，到达投影面，在投影面上得到物体投影的方法，称为中心投影法。常用来绘制建筑物的透视图，以及产品的效果图。四、平行投影法斜投影法投射线互相平行且垂直于投影面投射线互相平行且倾斜于投影面正投影法

所有的投射线相互平行，通过空间物体，到达投影面，在投影面上得到物体投影的方法，称为平行投影法。画工程图样绘制轴测图一、正投影的性质平行性：空间平行的两直线，其在同一投影面上的投影一定相互平行。实形性：直线和平面平行于投影面时，则在该投影面上的投影反映直线的实长或平面的实形。从属性：点在直线（或平面）上，则该点的投影一定在直线（或平面）的同面投影上。积聚性：直线、平面垂直于投影面时，则在该投影面上的直线的投影积聚成一点，而平面的投影积聚成一条直线。定比性：点分线段之比，投影后该比例保持不变；空间平行的两线段长度之比，投影后该比例不变。1.正投影图的特性类似性：平面倾斜于投影面时，则在该投影面上平面的投影面积变小了，但投影的形状仍与原形状类似。2.2正投影的基本性质二、三面投影体系单面投影不能反映唯一的空间情况采用多面投影1）如果ab//cd，直线AB//CD？2）如果k在线段mn上，点K属于线段MN？3）能确定是哪个几何体的投影？1.单面投影的特点2.多面投影体系的建立空间可由互相垂直的三个投影面组成八个角。工程图样采用第一角画法。WVHZXYHYWO3.三面投影体系VHWYZOX2）三投影轴

OX轴——H和V面的交线

OY轴——H和W面的交线

OZ轴——V和W面的交线1）三投影面正立投影面(V面)水平投影面(H面)侧立投影面(W面)

2.3点的投影aA

过空间点A的投影线与投影面P相交于a，a就是点A在投影面P上的投影。一、点的投影的形成空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。P1.何谓点的投影2.三面投影体系中点的投影a

：点A的正面投影a：点A的水平投影a:点A的侧面投影VHWAa

aa

YZOXWVHZXYHYWa

Oaa

●●●ZXYHYWa

Oaa

●●●YVHWaa

a

AZOX点的投影规律:①a

a⊥OX轴，a

a

⊥OZ轴；即点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴；点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴。②aax=a

az=Aa

(A到V面的距离)；点的水平投影到OX轴距离等于点的侧面投影到OZ轴距离。二、点的投影特性azaxYWa

XYHOa

●●●Zaaxazay两垂直一相等

a反映点A的x和y坐标a

反映点A的x和z坐标

a

反映点A的y和z坐标

若把三个投影面当作空间直角坐标面，投影轴当作直角坐标轴，则点的空间位置可用（x、y、z）三个坐标来确定，点的投影就反映了点的坐标值。

点的一个投影反映了点的两个坐标。已知点的两个投影，则点的x、y、z三个坐标就可确定，即唯一确定该点的空间位置A（xA，yA，zA）。三、点的投影与坐标之间的关系VHWaa

a

AYZOXaxazay(x,z)(x,y)(y,z)yxz例2-1:已知点的两个投影，求第三投影。●a

a●YWXYHOZ①作a

a

⊥OZ；②通过作辅助线(45°线)使a

az=aax

。●a

azax例2-2:已知点的坐标(15,12,16)，作三面投影图。●a

●a

●ax=15z=16y=12YWYHZX特殊位置点：1）投影面上的点A、B：有一个坐标为零(V面y=0，H面z=0，W面x=0)；在该投影面上的投影与空间点重合，另两投影在轴上。A（x，0，z），B（x，y，0）2）投影轴上的点C：在该轴坐标不等于0，另两个坐标为零，且有两个投影在该轴上重合，另一投影在原点。C（0，y，0）VHWaa

b

a

b

bABXZYcccCa

abb

c

c

b

ca

ZXYWYH0例2-3：已知点的两投影，求其第三投影。dd

d

三个投影要满足点的投影规律：两垂直一相等。点在三个投影面上的投影一定在各自投影面上。如图，如何在投影图中判断两点A、B的相对位置？其中点A为基准点，点B为比较点。投影图上判断方法：

x坐标—左右，大的在左(离W面远)

y坐标—前后，大的在前(离V面远)

z坐标—上下，大的在上(离H面远)点B在点A之前、之右、之下。当一个点B相对于另一点A（已知点）上下、左右、前后坐标差已知，就可以确定该点的空间位置并作出其三面投影。四、两点间的相对位置△z△x△yVHWaa

b

a

b

bAB前后下上XZY右左b

aa

a

b

b●●●●●●XYHYWZO例2-4:如图，已知点B的投影，点A在点B之前4mm，之上8mm，之右6mm，求点A的投影。即：△x=6

△y=4

△z=8a

a

aXZYWYHOb

bb

△z=8△x=6△y=4五、重影点若空间两点位于某投影面的同一条投射线上，则两点在此投影面上的投影重合为一点，称此两点为该投影面的重影点。●●●●a

a

b

b

()ab●A、B为H面的重影点C、D为V面的重影点VHca

b

a(b)ABdc

(d

)CD重影点的特点：①重影点的三对坐标值中，必定有两对坐标相等；②从投影方向看，重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见，被遮住的投影加括号；③坐标值大的点投影可见，反之不可见。即:上遮下，左遮右，前遮后。●●●●a

a

b

b

()ab●VHWAB两点确定一条直线，将两点的同面投影用直线连接，就得到直线的同面投影（粗实线表示）。a

aa

b

bb

b

a

ab

ba

1.如何确定直线的投影2.4直线的投影一、直线的投影特性2.直线对单个投影面的投影特性ABab直线垂直于投影面投影重合为一点

直线平行于投影面投影反映线段实长直线倾斜于投影面投影比空间线段短类似性ab=AB·cosα实形性ab=AB积聚性●●ABabα●ABa(b)二、各种位置直线的投影特性（三大类七种）投影面平行线平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜投影面垂直线水平线（平行于Ｈ面）正平线（平行于Ｖ面）侧平线（平行于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）正垂线（垂直于Ｖ面）侧垂线（垂直于Ｗ面）一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线统称特殊位置直线

（注意两者区别）垂直于某一投影面而与其余两投影面平行

设直线段AB对H、V、W三个投影面的倾角分别为α、β、γ，则ab=ABcosα,a

b

=ABcosβ,a

b

=ABcosγ

。三个投影都具有类似性。三倾斜无实长投影特性：①三个投影长度都缩短，且与投影轴倾斜；②其投影与投影轴的夹角，不反映直线对投影面的倾角。1.一般位置直线VHWaa

b

a

b

bABβαγb

a

ab

ba

aa

b

bABαb1

B1aa

b

bαb1

b1

α例2-5:已知线段AB的正面投影和水平投影，求AB对H面倾角及线段的实长。aa

b

b方法二：方法一：实长实长2.投影面平行线1）水平线(//H，直线上点的Z坐标都相等)实长ba

aa

b

b

α=？VHWaa

b

a

b

bBAβγβγ2）正平线（//V，所有点的Y坐标相等）实长b

a

aba

b

VHWaa

b

a

b

bBAγαγα3）侧平线（//W，所有点X坐标相等）VHWaa

b

a

b

bBA实长b

aa

b

ba

βααβ①

在其平行的那个投影面上的投影反映实长，并反映直线与另两投影面倾角的大小。②另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴。投影特性：两平行一倾斜（实长）投影面平行线投影特征小结:名称水平线正平线侧平线轴测图投影图aa

b

a

b

bBAβγaa

b

a

b

bBAγαaa

b

a

b

bBAβαba

aa

b

b

βγb

a

aba

b

γαb

aa

b

ba

αβ3.投影面垂直线1）铅垂线（⊥H面，所有点的X、Y相等）●a

b

a(b)a

b

VHWBA●a(b)a

b

a

b

问α、β、γ？2）正垂线（⊥V面，所有点的X、Z相等）●a

(b

)abb

a

VHWBA●aa

b

a(b)b3）侧垂线（⊥W面，Y、Z分别相等）●a

b

aba

(b

)VHWBA●aa(b)a

b

b②另外两个投影，反映线段实长，且垂直于相应的投影轴。①在其垂直的投影面上，积聚为一点。投影特性:两垂直一积聚投影面垂直线投影特征小结：名称铅垂线正垂线侧垂线轴测图投影图BA●a(b)a

b

a

b

BA●aa

b

a(b)bBA●aa(b)a

b

b●a

b

a(b)a

b

●a

(b

)abb

a

●a

b

aba

(b

)例2-6:判别下图中直线AB、BC相对于投影面的位置。AB:①因为直线AB的正面投影a

b

为实长；②它的另两面投影平行于相应投影轴；③

所以AB为正平线。BC:①因为直线BC的正面投影b

c

和水平投影bc为实长；②侧面投影b

c

积聚为一点；③

所以BC为侧垂线。a

b(c

)a

b

BACabcc例2-7:分析正三棱锥各红色棱线与投影面的相对位置。①sb与s

b

分别平行于OYH和OZ；②

SB为侧平线；③

s

b

反映实长。①a

(c

)重影；②

AC为侧垂线；③

a

c

=ac=AC。①SA的三个投影都与投影轴倾斜；②

SA为一般位置直线；③

均不反映实长。a(c)a

b

abccbsssa(c)a

b

abccbsssa(c)a

b

abccbsss直线上的点具有两个特性：1.从属性若点在直线上，则点的各个投影必在直线的各同面投影上。利用这一特性可以在直线上找点，或判断已知点是否在直线上。三、直线与点的相对位置2.定比性直线上的点,分线段之比在投影中不变。即AC:CB=ac:cb=a

c

:c

b

=a

c

:c

b

点在直线上的判别：要满足以上两个特性。VHaa

b

c

bABCc例2-8：判断点C是否在线段AB上。点C不在直线AB上abca

b

c

①点C在直线AB上根据点的从属性，若点的投影有一个不在直线的同面投影上，则该点必不在此直线上。●●c

②abca

b

●●例2-9：判断点K是否在线段AB上。a

b

●k

因k

不在a

b

上，故点K不在AB上。方法二：应用定比性abka

b

k

●方法一：应用从属性●例2-10：已知点C在线段AB上，求点C的正面投影。b

Xa

abc方法：应用定比性（相似△）c

abc四、两直线的相对位置平行相交交叉（异面）1.两直线平行投影特性：平行性——空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。等比性——空间两线段平行，同面投影长度之比等于空间长度之比。即：AB//CD，ab//cd，a

b

//c

d

，a

b

//c

d

AB/CD=ab/cd=a

b

/c

d

=a

b

/c

d

VHaa

b

bABcc

d

dCD例2-11：判断图中两条直线是否平行。

对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。AB//CDabcdc

a

b

d

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，不能判断空间直线平行。方法1：求出侧面投影AB与CD不平行。例2-12：判断图中两条直线是否平行。方法2：判断两线段是否同向且成比例。d

c

b

a

cbadd

b

a

c

方法3：判断两直线是否在同一平面。判别方法：

若空间两直线相交，则其同面投影必相交，且交点的投影必符合点的投影特性，反之亦然。（即两垂直一相等——交点的连线垂直于投影轴）。2.两直线相交abcdb

a

c

d

kk

VHABCDKabcdka

b

c

k

d

交点是两直线的共有点d

k

●cabb

a

c

●kd例2-13：过C点作水平线CD与AB相交。水平线的点Z坐标相等,即正面投影//OX轴。例2-14：作一正平线，使其与已知直线AB、CD和EF均相交。正平线的点Y坐标相等,即水平投影//OX轴。3

2

1

2(1)3d

b

a

abcdc

e(f)●e

f

投影特性：★同面投影可能相交，但“交点”不符合点的投影特性。★所谓“交点”是两直线上的一对重影点的投影。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点3.两直线交叉（异面）d

b

a

abcdc

●3(4)3

4

●●1

(2

)12●●投影相交，空间直线可能相交，也可能交叉。如果投影的交点满足点的投影特性，则空间直线相交，否则交叉。●c

1

/1

d

≠c1/1d,点1不在水平投影的“交点”处，点1不是交点，所以两直线交叉。例2-15:判断两直线的相对位置。ba

ac

d

dcb

1

利用定比性判断CD上的点1的水平投影是否在ab上。如果AB、CD相交，则CD上的1点应是两直线的共有点，即点1的水平投影应在AB的水平投影ab上。c

1

d

14.两直线垂直相交（或垂直交叉）

1）两直线都//投影面投影反映直角。

3）其中一直线//投影面的情况呢？b

a

c

abca

c

b

abc？

2）两直线都≠投影面投影不反映直角。ca

c

b

ab直角投影定理：相互垂直的两直线，若其中一直线平行于投影面，则两直线在该投影面上的投影反映直角。已知：BC//H面，则BC⊥Bb，又BC⊥AB,则BC⊥平面ABba因此bc⊥ab即∠abc为直角又BC∥bc故bc⊥平面ABba证明:垂直交叉呢？两直线垂直交叉时，直角定理照样成立。a

c

b

abcVHaa

b

bABcc

C例2-16：判断下列两直线是否垂直。不垂直垂直不垂直d

abca

b

c

●●d例2-17：过C点作直线与AB垂直相交（即C点到AB的垂线--距离投影）。AB为正平线,正面投影反映直角。一、平面的表示法●●●●●●不在同一直线上的三个点●●两平行直线两相交直线平面图形用几何元素表示平面：直线及线外一点2.5平面的投影二、平面对一个投影面的投影特性实形性类似性积聚性平面//投影面投影反映实形面平面⊥投影面投影积聚成直线平面∠投影面投影类似原平面三、各种位置平面的投影(三类七种情况)投影面垂直面

投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜铅垂面(⊥H)正垂面(⊥V)侧垂面(⊥W)水平面(//H)正平面(//V)侧平面(//W)1.投影面垂直面1）铅垂面VHWaa

b

ca

b

cbcABC

a

b

a

b

bacc

c

VHWaa

b

ca

b

cbcABCα

a

b

a

b

bac

c

c2）正垂面VHWaa

b

ca

b

cbcABCβαa

b

b

baa

cc

c

3）侧垂面名称铅垂面正垂面侧垂面轴测图投影图两类似一积聚（倾斜）投影面垂直面投影特征小结:①在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。②另两个投影面上的投影有类似性。aa

b

ca

b

cbcABC

a

b

a

b

bacc

c

aa

b

ca

b

cbcABC

αa

b

a

b

bac

c

caa

b

ca

b

cbcABCa

b

b

baa

αβcc

c

投影特性：2.投影面平行面VHWaa

b

ca

b

cbcABCca

b

b

baa

c

c

1）水平面VHWaa

b

ca

b

cbcABCc

a

b

b

a

c

bca2）正平面VHWaa

b

ca

b

cbcABCa

b

b

ba

c

c

ca3）侧平面②在它所平行的投影面上的投影反映实形。①另两个投影面上的投影分别积聚成与相应投影轴平行的直线。名称水平面正平面侧平面轴测图投影图两积聚一实形投影面平行面投影特征小结:aa

b

ca

b

cbcABCca

b

b

baa

c

c

aa

b

ca

b

cbcABCc

a

b

b

a

c

bcaaa

b

ca

b

cbcABCa

b

b

ba

c

c

ca投影特性：投影特性：①abc、a

b

c

、a

b

c

均为

ABC的类似形；②不反映

、

、

的真实角度。3.一般位置平面VHWaa

b

ca

b

cbcABCa

b

b

a

c

c

bac三类似无实形P面：正垂面例2-18：如图，P、Q面分别是什么位置的平面？p

p

PQpqq

q

Q面：水平面在平面内取直线的方法

定理一若一直线过平面上两点，则此直线必在该平面内。定理二若一直线过平面上一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。1.平面上取任意直线四、平面上的直线和点ABCTPABCTPd

d例2-19：已知平面由直线AB、AC确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二根据定理二根据定理一有无数解！abcb

c

a

m

n

mnabcb

c

a

例2-20：在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的距离为10mm。n

m

nm10c

a

b

cab

唯一解！定理：点在平面内，则该点必定在该平面内的一条直线上；反之亦然。即：点在线上，一定在面上；点在面上，一定在线上。求点先求线平面内取点的方法:ABCNMK2.平面上取点先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。若要在面上确定一个点，首先应该作一条过该点的辅助线。例2-21：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。①●abca

b

k

c

d

k●d通过在面内作辅助线求解利用平面的积聚性求解b②acc

a

k

b

●k●例2-22：已知

ABC给定一平面，试判断点D是否属于该平面。点D不属于平面ABC点D属于平面ABCd

da

b

c

abcee

ee

a

b

c

abcd

d例2-23：DE在△ABC平面内，试求DE的水平投影。dee

d

2

1

12a

ab

c

cb例2-24：AC为正平线，补全平行四边形ABCD的水平投影。解法一利用平行四边形对边平行ada

d

b

c

bckk

解法二求点B先求直线DBada

d

b

c

bc例2-25：已知平面ABCD的边BC//H面，完成其正面投影。b

c

11

a

d

abcdBC为水平线b

c

//OX例2-26：已知

ABC

给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。正平线上的点Y坐标相同，水平线上的点Z坐标相同。a

b

c

bacm

n

nm交点K是既满足Y坐标又满足Z坐标的点。k

kABP相对位置包括平行、相交（垂直）。1.平行定理:

若一直线平行于平面内的某一直线，则该直线与此平面必平行。即：将线面//，归结为线线//。CD五、直线与平面的相对位置例2-27：过M点作直线MN平行于平面ABC。分析：

过M点作一条//平面内的任意直线的直线，即得。n

●●a

c

b

m

abcmn有无数解n

唯一解n分析：

在平面ABC内作一条正平线，MN//此正平线，即得。例2-28：过M点作直线MN平行于V面和平面ABC。c

●b

a

m

abcm●d例2-29：过A点作平面平行于线段BC。d

f

f可过A点任意作直线AF。b

bc

ca

a1）当直线与特殊位置平面相平行时，直线的投影平行于平面的具有积聚性的同面投影。2）当直线与平面都为特殊情况且平行时，直线与平面的同面投影都有积聚性。平面为特殊位置平面的情况：AabBDCc(d)EFf(e)MNm(n)mm(n)b

aa

bncdfec(d)f(e)g(g)2.相交ABCNKM共有点直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点，且交点是直线与平面可见与不可见的分界点。要讨论的问题：①求直线与平面的交点。②判别两者之间的可见性。1）平面为特殊位置平面VHaa

b

cm

nk

bcABCKknmMN1）空间及投影分析平面ABC是一铅垂面，其水平投影积聚成一条直线，该直线与mn的交点即为K点的水平投影。①求交点②判别可见性（V面）2）作图abcmnc

n

b

a

m

k

●k●例2-30：求直线MN与平面ABC的交点K并判别可见性。共有点(k)m(n)b●m

n

c

b

a

ac例2-31：铅垂线MN与平面ABC相交，求交点的投影并判断可见性。1）空间及投影分析直线MN为铅垂线，其水平投影积聚成一个点，故交点K的水平投影也积聚在该点上。①求交点②判别可见性（V面）用重影点判断k

●21●●1

(2

)●2）作图用面上取点法2）直线为特殊位置直线3.垂直dd

d

f

ff

ee

1）直线和平面都一般直线垂直于平面上的任意一条水平线、正平线和侧平线。ca

b

b

aa

c

c

m

mm

n

nn

be2）直线特殊

垂直于投影面垂直线的平面是投影面平行面，并在平面积聚性投影上反映直角。a

b

d

(c

)ADCEe

(f

)BFVa

b

a(b)cee(f)d

(c

)df

垂直于投影面垂直面的直线是投影面平行线，并在平面积聚性投影上反映直角。Habc(d)ADCEf(e)BFa

b

bc

c(d)af(e)f

e

d

3）平面特殊例2-32：已知点K和平面ABC的投影，过点K作平面ABC的垂线KS。a

b

c

abckk

●●ss实长分析：平面ABC是铅垂面，垂线KS是水平线，直线和平面的投影在水平投影面上反映垂直特性。1）若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两相交直线，则这两平面相互平行。c

f

b

d

e

a

abcdef1.平行PABCQDEF六、平面与平面的相对位置例2-33：已知AB∥CD∥EF∥GH，判断平面ABCD与平面EFGH是否平行。分析：判定两平面是否平行，只需在两个平面内分别找一组相交直线来判断。ad不平行ek,平面ABCD与平面EFGH不平行。c

f

b

d

e

a

abcdefgh

ghk

k2）若两特殊位置平面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。DGc(d)EFf(e)Aa(b)BCj(g)Jdfec(d)f(e)cgb

a(b)a

j(g)j

平行例2-34：判断下列两平面是否平行。不平行c

f

b

d

e

a

abcdefggc

f

b

d

e

a

abcdefgg两平面相交其交线为直线，交线是两平面的共有线，同时交线上的点都是两平面的共有点，交线是两平面可见与不可见的分界线。要讨论的问题：①求两平面的交线②判别两平面之间的可见性。abcdefc

f

d

b

e

a

m

(n

)nm2.相交共有线1）两平面都为特殊平面a(b)dck(l)feACFBEDKLabcdefc

f

d

b

e

a

可通过正面投影直观地进行判别。1）空间及投影分析平面ABC与DEF都为正垂面，它们的正面投影都积聚成直线。交线必为一条正垂线。①求交线②判别可见性（H面）2）作图m

(n

)●例2-35：求两平面的交线MN，并判别可见性。nm●●2）一个平面为特殊平面VHFBACEHa

b

c

MNm

n

e

h

f

1）空间及投影分析平面EFH是一水平面，它的正面投影有积聚性。①求交线②判别可见性(H面)2）作图b

c

f

h

a

e

abcefhm●n

●n●m

●例2-36：求两平面的交线MN，并判别可见性。例2-37：求平面P与平面Q的交线MN，并判别可见性。分析：平面P和平面Q均为铅垂面，其交线必为铅垂线。3.垂直qm

m(n)pn

P

q一、基本概念如何求一般位置直线的实长？更换投影面V，使V1//AB，AB变成新投影面平行线。HVABa

b

abHa

1b

1反映实长物体本身不动，用一新投影面代替原有投影面，然后将物体向新投影面进行投射。2.6换面法HVABa

b

abXHa

1b

1X1新轴旧轴旧投影被保留的投影新投影1.换面法中的主要名称α新投影面2.新投影面的选择原则①新投影面必须使空间物体处于最有利的解题位置。②为了能用正投影原理，新投影面必须垂直于某一保留的投影面，以构成一个相互垂直的两投影面的新体系。平行于新的投影面垂直于新的投影面HVABa

b

abHa

1b

11.一次换面旧投影体系:X—VH新投影体系:V1HX1—A点的投影标注规定：V—a

V1—a

11）新投影体系的建立二、点的投影变换规律VAa

aHa

1ax1axX1

VHXa

a2）新旧投影之间的关系②点的新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。a

1ax1=a

axax点的换面规律（一垂直一相等）①点的新投影与保留投影的连线，必垂直于新投影轴，a

1aX1。V1HX1H面没动，空间点A到H面的距离没变。

VAa

aHa

1ax1axX1

ax1

a

1

XVHaa

ax更换H面：3）求新投影的作图方法X1H1V空间点A到V面的距离没变。ax1VHAaa

ax

X1H1ax1a1

a12.两次换面①确定X1轴，把V面换成V1面，V1H。

②确定X2轴，把H面换成H2