数学探究：杨辉三角与二项式系数的性质高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

数学探究：杨辉三角的性质与应用一二三学习目标体会研究数阵的方法、体验数学发现的历程利用杨辉三角的知识解决简单的实际问题巩固二项式系数的相关性质问题1：按照确定的顺序排列的一列数是数列，如果研究的内容从一维拓展到二维，那么将数字按照一定顺序组合成的图形就是数阵，你之前接触过数阵吗？贾宪开方作法本源图11世纪13世纪17世纪杨辉帕斯卡研究概率问题“帕斯卡三角”<<从杨辉三角谈起>>华罗庚20世纪问题2：你知道杨辉三角的历史由来吗？一、认识“杨辉三角”11121133114641151010511615201561

1

1第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行第n行一、认识“杨辉三角”问题3：杨辉三角是按照怎样的规则构成的？问题4：你认为可从哪些方面探究杨辉三角？研究内容性质应用研究方法观察归纳猜想证明研究方向局部整体杨辉三角与二项式系数杨辉三角与数列杨辉三角的“形”11121133114641151010511615201561

1我们该如何探究杨辉三角的性质？如何观察？二、“杨辉三角”的探究方向11121133114641151010511615201561

1横看斜看横看，斜看，竖看，连续看，隔行看等；采取画一画，连一连，算一算，进行归纳和猜想.横看成岭侧成峰，远近高低各不同.二、“杨辉三角”的探究方向对称性：11121133114641151010511615201561

1

1第0行第1行第2行第3行第4行第5行第6行递推性：探究1：“杨辉三角”与二项式系数11121133114641151010511615201561

1

1

+

=2

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=

=

816324求和11121133114641151010511615201561

1

+

=

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

=

=22222222222222

12

20706求和第1行第2行第3行第4行第0行第5行第6行

联想结构，如何证明？探究1：“杨辉三角”与二项式系数探究2：“杨辉三角”与数列第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641常数1正整数三角形数四面体数思考1：换个角度观察杨辉三角，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律?探究2：“杨辉三角”与数列第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641常数1正整数三角形数四面体数思考2：第r斜列的通项为？

思考3：第r斜列通项对应

的组合数为？······探究2：“杨辉三角”与数列第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641常数1正整数三角形数四面体数

思考4：从每一斜列的和，你能提出哪些猜想？在第r+1条斜线上(从右上到左下)前n个数字的和，等于第r+2条斜线上的第n个数.

文字语言：数学符号语言：杨辉三角简单应用应用1:杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.应用2:试底层是每边堆n个圆球的三角形，向上逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.

探究2：“杨辉三角”与数列第5行

15101051第6行

1615201561第7行

172135352171第1行 11第0行

1第2行

121第3行

1331第4行

14641第8行18285670562881······112358132134还可以用何种角度观察？思考5：斜线上各行数字之和有什

么规律?试给出推理证明.

斐波那契数列数学文化拓展视野中世纪意大利数学家斐波那契的《算术之法》中提出：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子．设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡．问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？

1，1，2，3，5，8，13，21，34．．．

斐波那契数列与“兔子繁殖问题”斐波那契探究3：“杨辉三角”的形第5行 15101051第6行 1615201561第7行172135352171第1行 11第0行 1第2行 121第3行 1331第4行 14641如果把相邻的偶数与奇数分别标出，会出现什么现象？谢尔宾斯基三角形

类比杨辉三角，你能得出哪些结论？三、类比猜想主题升华四、小结与收获知识巩固了二项式系数的性质；学习了杨辉三角的相关性质利用杨辉三角的知识解决部分简单