函数的单调性（2课时）高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

函数的单调性（第一课时）册别：选择性必修2学科：高中数学（人教版）2学习目标1.理解可导函数的单调性与其导数的关系.重点：利用导数确定函数的单调性

以及

函数的单调区间.难点：已知原函数图像画出导函数图像问题.2.能够利用导数确定函数的单调性

以及函数的单调区间.3.体会求导法则判断函数的单调性的优越性.3复习回顾一、基本初等函数求导公式

二、函数积、商的求导法则

三、复合函数导数的求法4

一、函数的单调性与导数的关系xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8图5.3-15

这种情况是否具有一般性呢？对于高台跳水问题,可以发现：

xhOab(1)h(t)=-4.9t2+4.8t+11xvOab(2)v(t)=-9.8t+4.8图5.3-16观察下面一些函数的图象(图5.3-2),探讨函数的单调性与导数的正负的关系.xyOy=xxyOy=x2xyOy=x3xyO

(1)(2)(3)(4)

导数为正单调递增

导数不定有增有减

导数非负单调递增

导数为负在(-∞,0)和(0,+∞)上单调递减7

xyOf(x)=x2图5.3-3(x0,f(x0))(x1,f(x1))

8

但是如果在某个区间内仅有有限个点所对应的函数值为0,则不能判定f(x)为常数函数.9解:(1)因为f(x)=

x3+3x,所以

例1利用导数判断下列函数的单调性：所以,函数f(x)=sinx-x在(0,π)上单调递减,如图5.3-4(2)所示.(2)因为f(x)=sinx-x,x∈(0,π),所以所以,函数f(x)=x3+3x在R上单调递增,如图5.3-4(1)所示.

xyO图5.3-4(1)f(x)=x3+3xxyO图5.3-4(2)f(x)=sinx-xπ-π102.注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于0的点外,还要注意定义域的间断点.利用导数解决函数单调性问题需要注意：1.定义域优先原则：一定要在定义域范围内,通过讨论导数符号来判断函数的单调性(单调区间).例1利用导数判断下列函数的单调性：

xyO图5.3-4(3)

11注:不能写成函数在(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增.111.

判断下列函数的单调性：(1)f(x)=x2-2x+4;(2)f(x)=ex-x.

所以函数f(x)=ex-x的单调递增区间为(0,+∞),单调递减区间为(-∞,0).所以函数f(x)=x2-2x+4的单调递增区间为(1,+∞),单调递减区间为(-∞,1).

xyOf(x)=x2-2x+41xyOf(x)=ex-x12

综上,函数f(x)图象的大致形状如图5.3-5所示.

试画出函数f(x)图象的大致形状.xyO14图5.3-513

(1)都有f(x1)＜f(x2)，则f(x)在D上是增函数；(2)都有f(x1)＞f(x2)，则f(x)在D上是减函数.当x1＜x2时:若f(x)在D上是增函数或减函数,则f(x)在D上具有严格的单调性,称D为单调区间.

142.

利用导数讨论二次函数f(x)=ax2+bx+c的单调区间.

xyOf(x)=ax2+bx+c

xyOf(x)=ax2+bx+c

15

求函数的单调区间的步骤：

(3)得出结论.yy=f(x)xOabc

xOabcy函数的图象看升降导函数的图象看正负16

求函数的单调区间的步骤：

(3)得出结论.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．总结：本节课你学到了什么？5.3.1函数的单调性（第二课时）册别：选择性必修2学科：高中数学（人教版）19学习目标1.理解掌握三次函数的单调性和并能画图像.重点：三次函数的单调性和图像问题.难点：探究函数增减的快慢与导数的关系.2.掌握导函数的正负和绝对值对函数凸凹性的影响.20复习回顾

求函数的单调区间的步骤：

(3)得出结论.如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．21形如f(x)=ax3+bx2+cx+d(a

≠0)的函数应用广泛,下面我们利用导数来研究这类函数的单调性.

x=-1,或x=2.表5.3-1二、三次函数的单调性

x(-∞,-1)-1(-1,2)2(2,+∞)f(x)+0-0+单调递增单调递减单调递增

取一个值取一个值取一个值22

用定义法求解本题时,应先在定义域内任取x1,x2(x1<x2),再通过判断f(x1)-f(x2)的符号来确定函数f(x)的单调性.但运算过程麻烦,有时需要很多变形技巧,因此学习了导数知识之后,我们一般借助导数求解与函数单调性有关的问题.所以,f(x)在(-∞,-1)和(2,+∞)单调递增,在(-1,2)上单调递减,如图5.3-6所示.xyO

图5.3-6

-12如果不用导数的方法,直接运用单调性的定义,你如何求解本题？运算过程麻烦吗？你有什么体会？23判断函数f(x)单调性的步骤：(1)确定函数的定义域;

如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“∪”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．241.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.函数f(x)=3x-x3的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(-∞,-1)和(1,+∞),如图所示.

解：(1)函数f(x)=3x-x3的定义域为R,

x(-∞,-1)-1(-1,1)1(1,+∞)f(x)-0+0-单调递减单调递增单调递减

f(1)=2取一个值取一个值取一个值

xyO(1,2)(-1,-2)1-125(2)函数f(x)=x3-x2-x的定义域为R,

1.判断下列函数的单调性,并求出单调区间:(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=x3-x2-x.

x1(1,+∞)f(x)+0-0+单调递增单调递减单调递增

f(1)=-1取一个值取一个值取一个值

xyO(1,-1)

262.

证明函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减.证明：

函数f(x)=2x3-6x2+7的定义域为R,对f(x)求导,得

所以函数f(x)=2x3-6x2+7在区间(0,2)上单调递减,如图所示.

xyOf(x)=2x3-6x2+7(0,7)2函数的单调区间的求法：注：证明函数f(x)在(0,2)上单调递减,只需求出函数f(x)的单调递减区间,验证(0,2)是单调区间的子集即可.

(1)确定函数的定义域;xyO127三、函数的变化快慢与导数的关系

研究对数函数y=lnx与幂函数y=x3在区间(-∞,+∞)上增长快慢的情况.

y=lnxxyO1图5.3-7(1)

函数图象看升降,导函数图象看正负,陡峭或平缓绝对值大或小

一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得较快,这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较“平缓”.28

xyO图5.3-7(2)y=x3xyO

函数图象看升降,导函数图象看正负,陡峭绝对值大平缓陡峭绝对值小绝对值大29xyO图5.3-81C1C2所以,f(x),g(x)的图象依次是图5.3-8中的C2,C1.所以,f(x),g(x)在(0,+∞)上都是增函数.在区间(1,+∞)上,g(x)的图象比f(x)要“平缓”.