小学数学整体把握内容开展结构化教学

【摘

要】结构化的本质在于强化知识的联系，促使学生构建更具整体性和关联性的认知结构，因此，结构化教学是促进能力培养和核心素养发展的有效途径。基于对课堂观察的分析与思考，发现结构化教学的设计与落实应实施单元整体设计，突出知识融合教学；把握数学基本关系，实现知识有序转化；基于学生认知经验，实现知识主动迁移；立足数学学科观念，关注知识核心要素。【关键词】整体设计；基本关系；学习迁移；核心要素《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称“2022年版课标”）以结构化为主要的课程理念，并在“课程实施”中明确提出“整体把握教学内容”的教学建议，强调要注重教学内容的结构化，注重教学内容与核心素养的关联。可见，“教学内容结构化”是提升学生核心素养的有效途径，体现了对学生高阶思维的关注和数学能力的培养。结构化的本质在于强化知识的联系。2022年版课标指出：“在教学中要重视对教学内容的整体分析，帮助学生建立能体现数学学科本质、对未来学习有支撑意义的结构化的数学知识体系。”因此，在设计结构化的数学学习任务时，教师需要提供具有现实背景和内在关联，符合学生认知特点的学习内容，且这些内容应蕴含学科思想、学科特征与结构。那么，结构化教学的设计与落实具有哪些基本特点呢？通过观摩和总结相关主题的课堂教学，笔者提炼出以下四个方面。一、实施单元整体设计，突出知识融合教学2022年版课标在多个方面体现了“整体观念”。从内容的角度，它提出要“整体把握教学内容”，具体策略是“注重教学内容的结构化”；从教学方法的角度，它提出要“选择能引发学生思考的教学方式”，最重要的策略是“重视单元整体教学设计”。这表明：要在教学内容组织与教学方法层面实现结构化，就要实施单元整体教学设计。这一特点涉及整体设计与整体教学两个方面。整体设计的核心在于探究各类知识之间的联系，并通过教学实施，引导学生感知和感悟这种联系，构建出丰富且具有关联的认知结构。整体教学要求教师通过问题引领和任务驱动，将整体设计具体化，帮助学生在整体中探究关系，通过关系主动获取知识。因此，教师应基于知识间的内在关系与结构，对学习内容进行优化调整，将其以一个有联系的整体的方式进行呈现，而不是简单地按照例题或知识点孤立教学。基于整体设计的教学单元构建有两种基本类型。一是在核心素养指导下，对现行教材的教学单元进行结构化调整，主要包括教学序列的优化和教学内容的调整。以人教版教材五年级上册《用字母表示数》一课为例，教材从例1开始，分别安排了“用字母表示数量关系中的加减关系”“用字母表示数量关系中的乘除关系”“用字母表示运算律和计算公式”“用字母表示数量关系中的较复杂关系，求字母式的值”以及“用字母表示数学规律”五个例题。尽管教材内容设计详尽，但仍暴露出一个明显的问题，即过度关注用字母表示数和运算，而对用字母表示数量之间的关系关注不足。此外，五个例题的教学容易使教师简单地按课时划分教学过程，从而割裂“用字母表示数”相关知识的整体性和关联性。在教学《用字母表示数》一课①时，教师巧妙地将教材中的五个例题整合为一组材料，呈现出整体设计的特点，值得借鉴。具体而言，教师先让学生在图1中找到每个情境图中数量之间的关系，用字母表示出来。再引导他们思考：找到了怎样的关系？应该怎么表示？还有其他表示方法吗？这一学习材料的设计旨在引导学生分析并表征各个情境中数量之间的一般关系，同时赋予学生较大的自主表达空间。针对②号情境图中的总价，学生可以有4a、4x等多种表达方式；针对③号情境图中的球员得分，学生的表达有3a+2b、3x+2y等；针对④号情境图中小棒总数的表达方式则更为丰富，包括4+3（x-1）、3a+1、x=4+3（a-1）等。在表征這些数量关系的过程中，学生实际上实现了两次水平的提升：第一次从简单关系的表达提升到较复杂关系的表达，第二次从对数的表达提升到用等式完整表达关系。尽管对数的表达也反映了数量关系，但当采用等式进行完整表达时，数量关系更为清晰。由此，促使学生从用字母表示数自然过渡到表示各种数量关系，实现从例1到例5的完整建构，避免知识被人为割裂。二是突破现行教材的教学单元格局，跨单元甚至跨年级整合有内在联系的知识，促进学生构建具有学科结构的知识关系，优化学习结果。例如，长度单位、面积单位、体积单位和质量单位分别是不同年级学习的不同内容，但本质上都是对数学度量标准和度量方法的学习。在这一点上，它们具有共性，具备纵横沟通、相互联系、整体设计的基础和必要性。二、把握数学基本关系，实现知识有序转化数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学教学的目的不仅仅是使学生获得知识、形成技能，更重要的是让学生理解和把握数学知识之间的内在联系，实现知识的融通与转化，是知识结构化的重要体现。随着年级的升高，学生需要学习的数量关系从基本到复合、由并列到嵌套逐渐复杂，解决问题的步骤也从一步到多步逐渐增加。这是学习的必然过程，也是知识丰富和水平提升的体现。从教学角度来看，这些变化均具有有序性和结构性，而结构化教学的目的就是让学生理解与把握这种变化的有序性和结构性，理解复杂知识是基于何种方向和路径进行演绎的，以及其背后的基本关系是什么，从而将知识之间的关系进行回归或延伸，实现多向转化。以下是一位教师设计的《校园里的数学故事（多步计算解决问题）》②一课的教学内容。1.呈现核心材料一，建构基本关系教师呈现三幅情境图（如图2），让学生独立思考，并列式计算。（1）学生思考：如何解决这些问题？（2）汇报交流：学生列出算式，并阐述自己的思考过程。（3）讨论明确：这些问题都采用乘法计算，因为它们都是求几个几是多少。提炼数量关系：每份数×份数=总数。2.呈现核心材料二，感悟问题从简单到复杂的变化将上述求“一共有多少间教室”问题中的一个条件变成两个条件（如图3），把这个问题转化为两步计算的问题。（1）学生列出算式，并用三张卡片解释解题思路与意义：第一步求的是什么？（2）汇报交流：展示自己的算式，并解释第一步求的是什么。3.练习将问题从简单变到复杂（1）将另外两幅情境图中的问题，由一步计算的问题转化为两步计算的问题。（2）全班交流后，提炼变化的策略：改造信息、改造问题、添加信息。（3）通过微课，梳理数量关系的变与不变（如图4）。上述教学过程基于基本关系，展示有序变化，强调基本结构。2022年版课标提出，要“强化对数学本质的理解，关注数学概念的现实背景，引导学生从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”。这里的“从数学概念、原理及法则之间的联系出发，建立起有意义的知识结构”就是指引导学生感悟反映数学知识本质的基本关系。三、基于学生认知经验，实现知识主动迁移教学内容结构化的目标是促使学生形成良好的、具有整体理解的认知结构，以便在后续的学习中实现知识的主动迁移。知识主动迁移的发生是有条件的。当学生具有结构清晰、稳定有序的认知基础和知识经验，并能够运用已有知识经验解决新问题时，迁移才能实现。也就是说，只有存在内在联系的知识才能实现迁移转化。若课堂教学要引导学生主动学习，就必须设计结构化的教学内容和任务型的教学进程，这是结构化任务设计的又一特征。激发学生主动迁移知识主要分为两个阶段。第一个阶段是让学生运用经验，并将经验提升改造为数学知识。以《数量关系：速度、时间、路程》③的教学为例，教师可设计前置性调查任务：你认为什么是速度（请你用画图、举例等方式来说明）？其中部分学生的回答如图5所示。速度是“速度×时间＝路程”这个数量关系中的核心和重點，本身就是时间和路程之间关系的表达。因此，教师应把理解速度作为教学的突破口。虽然学生的这些回答尚不够精准，但清楚地显示出了他们对速度认识的前概念或直觉经验，即他们已经意识到“速度与时间、路程有关”“速度是物体运动快慢的一种表达”。这些经验完全可以为教学所用。教师只需要在课内稍加改造和提炼，即可帮助学生建构起数学化的“速度”概念。第二个阶段是应用知识，解决数学问题。应用的实质是迁移，是迁移的外在表征。在新知学习之后，仅仅用于巩固知识和熟悉技能的练习，不能被视为结构化的学习材料，也不具备迁移的属性。因此，教师应设计有联系和层次的练习材料，促进学生从运用迁移获得新知向运用迁移解决问题发展，提升数学学习的水平，发展数学能力和核心素养。在“数量关系：速度、时间、路程”这一内容的教学中，教师可在学生理解了速度，完成数量关系的建构后设计题目：三人同时从学校出发去往西溪湿地，你能解决如下问题吗？（如图6）教师设计这一练习材料旨在引导学生用所学的数量关系解决简单问题和较复杂的问题，提升能力，实现知识的第二次迁移。在完成这一练习之后，教师可提供图7所示的学习材料，引导学生进行第三次类比迁移，从而实现对知识的结构化理解。四、立足数学学科观念，关注知识核心要素数学知识丰富多样，表现为繁杂的概念、技能、性质和方法。然而，仅从这一层面认识数学是远远不够的。数学知识背后拥有学科观念主导下的关系、结构和核心要素，只有感悟并理解这些公式和方法背后的思想与联系，才能真正理解数学本质，形成正确的数学观。“尺规作图”是2022年版课标在小学阶段新增的学习内容，实质上是数学知识和原理的综合应用。小学阶段的“尺规作图”主要涉及复制（长度相等的线段）。教学时若仅局限于知识与技能训练，学生将难以理解它的本质。因此，有必要结合操作活动，让学生感悟数学学科观念：（1）直尺可以确定直线；（2）圆规两脚可确定线段长度，用圆规可以画出圆（到固定点等于固定长度的点的轨迹）；（3）尺规作图的本质是“关键点”位置的确定。例如，用直尺和圆规画一个边长与线段AB相等的等边三角形。作图时，先将AB作为等边三角形的一条边，确定两个顶点A和B，再确定第三个顶点C的位置。顶点C需满足以下两个条件：（1）从C点到A点的距离等于AB的长度；（2）从C点到B点的距离等于AB的长度。以A为圆心，以AB为半径画圆（弧），可得到满足第（1）个条件的所有点；以B为圆心，以AB为半径画圆（弧），可得到满足第（2）个条件的所有点。它们的交点即为同时满足两个条件的C点（如图8），只要连接AC和BC即可画出等边三角形。这个过程可以概括为“用直尺和圆规分别确定符合条件的所有点，它们的交点即为符合所有条件的点”。这便是尺规作图确定“关键点”位置的策略。教师这样组织与设计教学内容，才有助于学生感悟尺规作图的观念和原理，体现教学的结构化。平面图形的面积计算也是小学数学的重要内容。然而，学生学习了这些知识后，往往只掌握了计算公式，而缺乏对整体观念和基本原理的把握。在这种情况下，学生只有通过具体计算才能进行思考和判断，这不符合素养为本的数学教学目标。面积计算是一种间接度量，旨在表达平面图形的大小。而平面图形的大小由其包含的面积单位的数量来表示，与水平维度（底）和垂直维度（高）有关。其中，只有长方形是两个维度上面积单位的数量与长、宽的长度“数”完全一致的平面图形，其他平面图形都需要经过转化才能度量，这导致了计算公式的复杂性。因此，为了让学生感悟影响面积大小的核心要素是什么，教师有必要设计结构化的教学内容，引导学生探索发现。以《百变四边形》④一课为例，教师教学时可以启发学生思考：一个四边形通过变化可以得到什么？教学过程如下。在学生自由表达的基础上，教师运用课件改变四边形的顶点位置和边与边的关系，得到一系列四边形（如图9），并引导学生思考：它们的面积变了吗？面积可能和什么有关？针对任务一，学生可以通过数或计算方格数得到每个图形的面积。针对任务二，学生需要运用数学的思维与方法，有策略地进行思考与比较，如比较②号与③号图形或②号与④号图形，从而发现面积的差异是由什么因素造成的。通过讨论与交流，学生发现影响平行四边形面积的要素是底和高。接着教师出示另一系列四边形（如图10），并提出问题：那么梯形的面积又和什么有关？有了对平行四边形的研究经验，学生对任务三有了明确的猜想，并有策略地选择相关的图形进行对比研究，如比较①号与③号图形、②号与④号图形，发现梯形的面积也与底