2025版高考数学一轮总复习素养提升第1章集合常用逻辑用语不等式第4讲一元二次不等式及其解法

一元二次方程根的分布情况设方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，Δ>0)有不相等的两根为x1，x2，且x1<x2，相应的二次函数为f(x)＝ax2＋bx＋c，方程的根即为二次函数的图象与x轴交点的横坐标，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)．表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)分布情况两个负根即两根都小于0(x1<0，x2<0)两个正根即两根都大于0(x1>0，x2>0)一正根一负根即一个根小于0，一个根大于0(x1<0<x2)大致图象(a>0)得出的结论f(0)<0大致图象(a<0)得出的结论f(0)>0综合结论(不讨论a)a·f(0)<0表二：(两根与k的大小比较)分布情况两根都小于k即x1<k，x2<k两根都大于k即x1>k，x2>k一个根小于k，一个根大于k即x1<k<x2大致图象(a>0)得出的结论f(k)<0大致图象(a<0)得出的结论f(k)>0综合结论(不讨论a)a·f(k)<0表三：(根在区间上的分布)分布情况两根都在(m，n)内两根有且仅有一根在(m，n)内(图象有两种情况，只画了一种)一根在(m，n)内，另一根在(p，q)内，m<n<p<q大致图象(a>0)得出的结论f(m)·f(n)<0大致图象(a<0)得出的结论f(m)·f(n)<0综合结论(不讨论a)f(m)·f(n)<0根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间(m，n)外，即在区间两侧x1<m，x2>n，(图形分别如下)需满足的条件是(1)a>0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm<0，,fn<0；))(2)a<0时，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fm>0，,fn>0.))对以上的根的分布表中，两根有且仅有一根在(m，n)内有以下特殊情况：(ⅰ)若f(m)＝0或f(n)＝0，则此时f(m)·f(n)<0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间(m，n)内，从而可以求出参数的值．如方程mx2－(m＋2)x＋2＝0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)＝0，所以mx2－(m＋2)x＋2＝(x－1)(mx－2)，另一根为eq\f(2,m)，由1<eq\f(2,m)<3得eq\f(2,3)<m<2即为所求；(ⅱ)方程有两个相等的根，且这个根在区间(m，n)内，即Δ＝0，此时由Δ＝0可以求出参数的值，然后再将参数的值代入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数．如方程x2－4mx＋2m＋6＝0有且只有一根在区间(－3,0)内，求m的取值范围．分析：①由f(－3)·f(0)<0即(14m＋15)(m＋3)<0得出－3<m<－eq\f(15,14)；②由Δ＝0即16m2－4(2m＋6)＝0得出m＝－1或m＝eq\f(3,2)，当m＝－1时，根x＝－2∈(－3,0)，即m＝－1满足题意；当m＝eq\f(3,2)时，根x＝3∉(－3,0)，故m＝eq\f(3,2)不满足题意．综上分析，得出－3<m<－eq\f(15,14)或m＝－1.若关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2(m＋1)x－m＝0，分别满足下列条件时，求m的取值范围．(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内；(2)一根在(－1,1)，另一根不在(－1,1)内；(3)一根小于1，另一根大于2；(4)一根大于－1，另一根小于－1；(5)两根都在区间(－1,3)；(6)两根都大于0；(7)两根都小于1；(8)在(1,2)内有解．[解析]设f(x)＝(m－1)x2＋2(m＋1)x－m，Δ＝4(m＋1)2＋4m(m－1)＝8m2＋4m＋4＝4(2m2＋m＋1)>0.(1)一根在(1,2)内，另一根在(－1,0)内应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1f2<0，,f0f－1<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2m＋1<0，,－2m－3－m<0，))解得－eq\f(1,2)<m<0，所以m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<m<0)))).(2)一根在(－1,1)内，另一根不在(－1,1)内，应满足f(－1)f(1)<0，即(2m＋1)(－2m－3)<0，∴m>－eq\f(1,2)或m<－eq\f(3,2)，又∵m－1≠0，∴m≠1，∴m的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))∪(1，＋∞)．(3)一根小于1，另一根大于2，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－1f1<0，,m－1f2<0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12m＋1<0，,m－1m<0，))解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}．(4)一根大于－1，另一根小于－1，应满足(m－1)f(－1)<0，即(m－1)(－2m－3)<0，解得m<－eq\f(3,2)或m>1，∴m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\f(3,2)或m>1)))).(5)两根都在(－1,3)内，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－1<－\f(m＋1,m－1)<3，,m－1f－1>0，,m－1f3>0，))解得－eq\f(3,2)<m<eq\f(3,14)，∴m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)<m<\f(3,14))))).(6)两根都大于0，应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(m＋1,m－1)>0，,m－1f0>0，))解得0<m<1，∴m的取值范围为{m|0<m<1}．(7)两根都小于1，应满足：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,－\f(m＋1,m－1)<1，,m－1f1>0，))解得m>1或m<－eq\f(1,2)，∴m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(m>1或m<－\f(1,2))))).(8)在(1,2)内有解应满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,1<－\f(m＋1,m－1)<2，,m－1f1>0，,m－1f2>0，))或f(1)f(2)≤0，解得－eq\f(1,2)≤m≤0，经检验m＝－eq\f(1,2)及m＝0都不合题意舍去，解得－eq\f(1,2)<m<0，∴m的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(m\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<m<0)))).【变式训练】已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的范围；(2)若方程两根均在区间(0,1)内，求m的范围．[解析](1)设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，与x轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝2m＋1<0，,f－1＝2>0，,f1＝4m＋2<0，,f2＝6m＋5>0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<－\f(1,2)，,m∈R，,m<－\f(1,2)，,m>－\f(5,6).))∴－eq\f(5,6)<m<－eq\f(1,2).(2)据抛物线与x轴交点落在区间(0