2024寒假讲义高二-学生版

2024寒假讲义一元导数及其应用学生版5.1导数的概念及其几何意义课程标准课标解读初步了解导数概念的背景，掌握平均变化率与瞬时变化率的概念及几何意义.会求函数的平均变率与瞬时变化率.并能结合实际问题求曲线在某点处与某点附近点的切线与割线的斜率的极限值.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.会求简单函数的导函数.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．通过本节课的学习，要求会求函数的平均变化率与瞬时变化率，要求会求简单函数的导函数，理解导数几何意义，会求某点处的切线方程.知识点1函数的平均变化率函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比．(3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1)表示割线P1P2的斜率．【即学即练1】已知抛物线y＝3x－x2在x0＝2处的增量为Δx＝0.1，则eq\f(Δy,Δx)的值为()A．－0.11B．－1.1C．3.89D．0.29【即学即练2】某质点的运动方程为s(t)＝1－t2，则该物体在[1,2]内的平均速度为()A．2B．3C．－2D．－3【即学即练3】函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________.知识点2瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s＝s(t)，则物体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度为eq\f(Δs,Δt)＝eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).如果Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于某个常数v，我们就说当Δt趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)的极限是v，这时v就是物体在时刻t＝t0时的瞬时速度，即瞬时速度v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(Δs,Δt)＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(st0＋Δt－st0,Δt).(3)瞬时速度与平均速度的关系：从物理角度看，当时间间隔|Δt|无限趋近于0时，平均速度eq\x\to(v)就无限趋近于t＝t0时的瞬时速度．注意点：（1）Δt可正，可负，但不能为0.（2）瞬时变化率的变形形式eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－Δx－fx0,－Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋nΔx－fx0,nΔx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0－Δx,2Δx)＝f′(x0)．【即学即练4】物体运动方程为s(t)＝3t2(位移单位：m，时间单位：s)，若v＝eq\o(lim,\s\do4(Δt→0))eq\f(s3＋Δt－s3,Δt)＝18m/s，则下列说法中正确的是()A．18m/s是物体从开始到3s这段时间内的平均速度B．18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的速度C．18m/s是物体在3s这一时刻的瞬时速度D．18m/s是物体从3s到(3＋Δt)s这段时间内的平均速度【即学即练5】某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t2＋t＋1表示，（1）求物体在t＝1s时的瞬时速度；（2）试求物体的初速度；（3）试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.【即学即练6】一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2s时的瞬时速度为8m/s，求常数a的值．知识点3函数在某点处的导数如果当Δx→0时，平均变化率eq\f(Δy,Δx)无限趋近于一个确定的值，即eq\f(Δy,Δx)有极限，则称y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).【即学即练7】【多选】若函数f(x)在x＝x0处存在导数，则eq\o(lim,\s\do6(h→0))eq\f(fx0＋h－fx0,h)的值()A．与x0有关 B．与h有关C．与x0无关 D．与h无关【即学即练8】求函数y＝x－eq\f(1,x)在x＝1处的导数．【即学即练9】f(x)＝x2在x＝1处的导数为()A．2xB．2C．2＋ΔxD．1【即学即练10】已知f(x)＝eq\f(2,x)，且f′(m)＝－eq\f(1,2)，则m的值等于()A．－4B．2C．－2D．±2【即学即练11】若函数f(x)可导，则eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f1－Δx－f1,2Δx)等于()A．－2f′(1) B.eq\f(1,2)f′(1)C．－eq\f(1,2)f′(1) D．f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))【即学即练12】设在处可导，则（）．A． B．C． D．知识点4割线斜率与切线斜率及导数的几何意义1．切线：设函数y＝f(x)的图象如图所示，直线AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，直线AD叫做此曲线在点A处的切线．切线的斜率：当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx).切线的斜率与割线的斜率的关系：从几何图形上看，当横坐标间隔|Δx|无限变小时，点B无限趋近于点A，于是割线AB无限趋近于点A处的切线AD，这时，割线AB的斜率无限趋近于点A处的切线AD的斜率k.注意点：极限的几何意义：曲线y＝f(x)在x＝x0处的切线斜率．4．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是f′(x0)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．【即学即练13】已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)在函数y＝f(x)的图象上，若函数f(x)从x1到x2的平均变化率为eq\r(3)，则下面叙述正确的是()A．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,6)B．曲线y＝f(x)的割线AB的倾斜角为eq\f(π,3)C．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\r(3)D．曲线y＝f(x)的割线AB的斜率为－eq\f(\r(3),3)【即学即练14】过曲线y＝f(x)＝x2－x上的两点P(1,0)和Q(1＋Δx，Δy)作曲线的割线，已知割线PQ的斜率为2，求Δx的值．【即学即练15】求抛物线f(x)＝x2－2x＋3在点(1,2)处的切线方程．【即学即练16】求抛物线f(x)＝x2－x在点(2,2)处的切线方程．【即学即练17】曲线f(x)＝x2上哪一点处的切线满足下列条件？(1)平行于直线y＝4x－5；(2)垂直于直线2x－6y＋5＝0；(3)倾斜角为135°.【即学即练18】若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1知识点5函数的单调性与导数的关系若f′(x0)＝0，则函数在x＝x0处切线斜率k＝0；若f′(x0)>0，则函数在x＝x0处切线斜率k>0，且函数在x＝x0附近单调递增，且f′(x0)越大，说明函数图象变化的越快；若f′(x0)<0，则函数在x＝x0处切线斜率k<0，且函数在x＝x0附近单调递减，且|f′x0|越大，说明函数图象变化的越快．【即学即练19】已知y＝f(x)的图象如图所示，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是()A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定【即学即练20】已知函数f(x)满足f（1）＝3，f′（1）＝－3，则下列关于f(x)的图象描述正确的是________．（1）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率大于0；（2）f(x)的图象在x＝1处的切线斜率小于0；（3）f(x)的图象在x＝1处位于x轴上方；（4）f(x)的图象在x＝1处位于x轴下方．知识点6导函数的定义从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看出，当x＝x0时，f′(x0)是一个唯一确定的数．这样，当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx).区别联系f′(x0)f′(x0)是具体的值，是数值在x＝x0处的导数f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，因此求函数在某一点处的导数，一般先求导函数，再计算导函数在这一点的函数值f′(x)f′(x)是函数f(x)在某区间I上每一点都存在导数而定义的一个新函数，是函数【即学即练21】求函数y＝eq\r(x＋1)(x>－1)的导函数．【即学即练22】已知函数f(x)＝x2－eq\f(1,2)x.求f′(x)．考点一函数的平均变化率解题方略：求平均变化率的主要步骤(1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)．(2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1.(3)得平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1).【例1-1】如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率等于()A．-1 B．1 C．-2 D．2【例1-2】函数，在[0，2]上的平均变化率分别记为，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．，的大小无法确定变式1：汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为，则三者的大小关系为（）A． B．C． D．变式2：某公司的盈利（元）与时间（天）的函数关系是，假设（）恒成立，且，，则说明后10天与前10天比（）A．公司亏损且亏损幅度变大B．公司的盈利增加，增加的幅度变大C．公司亏损且亏损幅度变小D．公司的盈利增加，增加的幅度变小【例1-3】一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为h＝2t2＋2t，则：（1）前3s内球的平均速度为________m/s；（2）在t∈[2，3]这段时间内球的平均速度为________m/s.考点二瞬时变化率理解解题方略：求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(Δs,Δt).(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，eq\f(Δs,Δt)无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝eq\o(lim,\s\do6(Δt→0))

eq\f(Δs,Δt).【例2-1】【多选】某物体的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系可用函数表示，则（）A．物体在时的瞬时速度为0m/s B．物体在时的瞬时速度为1m/sC．瞬时速度为9m/s的时刻是在时 D．物体从0到1的平均速度为2m/s变式1：某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4(s的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到4s时物体运动的平均速度和4s时的瞬时速度．变式2：一只昆虫的爬行路程s(单位：米)是关于时间t(单位：分)的函数：s＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3t2，0≤t<3,15＋3t－12，t≥3，))求s′(1)与s′(4)，并解释它们的实际意义．【例2-2】已知函数在处的瞬时变化率为，则______．考点三导数定义的直接应用解题方略：用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤①求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；②求平均变化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx0＋Δx－fx0,Δx)；③求极限eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).【例3-1】设在处可导，下列式子中与相等的是（）A． B．C． D．变式1：已知函数f(x)＝eq\r(x)，则f′(1)＝________.变式2：已知函数f(x)可导，且满足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(f3－f3＋Δx,Δx)＝2，则函数y＝f(x)在x＝3处的导数为()A．－1B．－2C．1D．2变式3：设函数y＝f(x)在x＝x0处可导，且eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx0－3Δx－fx0,Δx)＝a，则f′(x0)＝________.变式4：若可导函数f(x)的图象过原点，且满足eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fΔx,Δx)＝－1，则f′(0)等于()A．－2B．2C．－1D．1变式5：设函数的导函数为，若，则等于（）A．-2 B．-1 C．2 D．1变式6：设函数在点处附近有定义，且为常数，则（

）A． B． C． D．【例3-2】设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a＝________.考点四导数（导函数）的理解解题方略：不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数．若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导．然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导．【例4-1】函数y＝(x－1)2的导数是()A．－2 B.(x－1)2C．2(x－1) D．2(1－x)变式1：若eq\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝x2，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))的导函数f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x))等于()A．2xB.eq\f(1,3)x3C．x2D．3x2【例4-2】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，已知f′(0)>0，且对于任意实数x，有f(x)≥0，则eq\f(f1,f′0)的最小值为________．考点五利用导数几何意义求切线方程解题方略：求曲线过点的切线方程的方法：当点是切点时，切线方程为；2、当点不是切点时，可分以下几步完成：第一步：设出切点坐标；第二步：写出过点的切线方程为；第三步：经点代入切线方程，求出的值；第四步：将的值代入可得过点的切线方程.注：求曲线过某点的切线方程需注意，该点不一定是切点，需另设切点坐标．（一）求曲线切线的斜率或倾斜角【例5-1】设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线()A．不存在 B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直 D．与x轴斜交变式1：设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处切线的斜率是________.变式2：曲线y＝在点(1，1)处切线的斜率为（）A．1 B．－1C． D．－【例5-2】曲线f(x)＝eq\f(9,x)在点(3,3)处的切线的倾斜角α等于()A．45°B．60°C．135°D．120°变式1：已知曲线y＝eq\f(1,2)x2－2上一点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(3,2)))，则在点P处的切线的倾斜角为()A．30° B．45°C．135° D．165°（二）求在曲线一点处的切线方程【例5-3】曲线在点处的切线方程为______．变式1：求曲线在点处的切线方程．（三）求过一点的切线方程【例5-4】已知曲线方程为,求:（1）点处的切线方程（2）过点且与曲线相切的直线方程.变式1：已知函数f(x)＝x3，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，0))作曲线f(x)的切线，则其切线方程为________________．（四）已知切线（斜率）求参数【例5-5】若抛物线f(x)＝4x2在点(x0，f(x0))处切线的斜率为8，则x0＝________.变式1：曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是（）A．(－∞，－1) B．(－1，1)C．(－∞，1) D．(1，＋∞)变式2：若曲线y＝2x2－4x＋m与直线y＝1相切，则m＝________.变式3：直线l：y＝x＋a(a≠0)和曲线C：f(x)＝x3－x2＋1相切，则a的值为________，切点坐标为________．变式4：已知曲线y＝f(x)＝2x2＋a在点P处的切线方程为8x－y－15＝0，则实数a的值为________．（五）求切点坐标【例5-6】已知曲线f(x)＝eq\f(1,2)x2＋x的一条切线的斜率是3，则该切点的横坐标为()A．－2B．－1C．1D．2变式1：已知曲线y＝2x2＋4x在点P处的切线斜率为16，则P点坐标为________．变式2：【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（）A． B． C． D．变式3：曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为______．变式4：已知曲线f(x)＝x2－1在x＝x0处的切线与曲线g(x)＝1－x3在x＝x0处的切线互相平行，求x0的值．变式5：已知曲线y1＝2－eq\f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处的切线的斜率之积为3，则x0的值为()A．－2 B．1C.eq\f(1,2) D．2（六）两曲线的公切线问题【例5-7】点P在曲线f(x)＝x2＋1上，且曲线在点P处的切线与曲线y＝－2x2－1相切，求点P的坐标．考点六函数的单调性与导数的关系解题方略：导数的几何意义就是切线的斜率，所以比较导数大小的问题可以用数形结合思想来解决．(1)曲线f(x)在x0附近的变化情况可通过x0处的切线刻画．f′(x0)>0说明曲线在x0处的切线的斜率为正值，从而得出在x0附近曲线是上升的；f′(x0)<0说明在x0附近曲线是下降的．(2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢．【例6-1】已知函数f(x)满足f′(x1)>0，f′(x2)<0，则在x1和x2附近符合条件的f(x)的图象大致是()变式1：已知函数f(x)在R上有导函数，f(x)的图象如图所示，则下列不等式正确的是()A．f′(a)<f′(b)<f′(c)B．f′(b)<f′(c)<f′(a)C．f′(a)<f′(c)<f′(b)D．f′(c)<f′(a)<f′(b)变式2：已知函数f(x)在R上可导，其部分图象如图所示，设eq\f(f2－f1,2－1)＝a，则下列不等式正确的是()A．f′(1)<f′(2)<a B．f′(1)<a<f′(2)C．f′(2)<f′(1)<a D．a<f′(1)<f′(2)变式3：函数的图象如图所示，为函数的导函数，下列数值排序正确是（）A．B．C．D．题组A基础过关练1、函数的导数是（

）A．0 B．1 C．不存在 D．不确定2、已知函数f(x)＝2x2－4的图象上两点A，B，且xA＝1，xB＝1.1，则函数f(x)从A点到B点的平均变化率为()A．4B．4xC．4.2D．4.023、在附近,取,在四个函数①；②；③；④中,平均变化率最大的是__________.4、将半径为R的球加热，若半径从R＝1到R＝m时球的体积膨胀率为eq\f(28π,3)，则m的值为________．5、设f(x)为可导函数，且满足eq\o(lim,\s\do6(x→0))eq\f(f1－f1－2x,2x)＝－1，则f′(1)为()A．1B．－1C．2D．－26、已知函数在处的导数为，则等于（）A． B． C． D．7、对于函数y＝f(x)＝eq\f(1,x2)，其导数值等于函数值的点是________．8、已知f(x)在x0处的导数f′(x0)＝k，求下列各式的值：（1）；（2）题组B能力提升练9、【多选】已知某物体的运动方程为s(t)＝7t2＋8(0≤t≤5)，则（）A．该物体当1≤t≤3时的平均速度是28B．该物体在t＝4时的瞬时速度是56C．该物体位移的最大值为43D．该物体在t＝5时的瞬时速度是7010、下列说法正确的是（）．A．曲线的切线和曲线有交点，这点一定是切点B．过曲线上一点作曲线的切线，这点一定是切点C．若不存在，则曲线在点处无切线D．若曲线在点处有切线，则不一定存在11、【多选】已知曲线在点P处的切线平行于直线，那么点P的坐标为（

）A． B． C． D．12、如图所示，函数的图象在点P处的切线方程为，则_____．13、如图，曲线在点P处的切线方程是，求及．14、已知曲线在点P处的切线方程为，则切点P的坐标为______.15、求函数y＝f(x)＝x3－3x2＋x的图象上过原点的切线方程．题组C培优拔尖练16、若一物体运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s)s＝f(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(29＋3t－32，0≤t<3，,3t2＋2，t≥3.))求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度；(2)物体的初速度v0；(3)物体在t＝1时的瞬时速度．17、计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程.18、已知曲线f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴，直线x＝a围成的三角形的面积为eq\f(1,6)，则a＝________.19、设曲线在点处的切线与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则的面积等于（

）A．1 B．2 C．4 D．65.2导数的运算课程标准课标解读1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝eq\f(1,x)，y＝eq\r(x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．3.理解函数的和、差、积、商的求导法则.4.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．5.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则.6.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如f(ax＋b)的导数)．通过本节课学习，要求掌握基本初等函数的求导，并能解决与初等函数导数相关的简单问题.要求熟练掌握导数的运算公式，并能准确应用公式计算函数的导数，并能解决与导数运算相关的综合问题.要求会求简单的复合函数的导数，并能解决与之相关的切线、切点、斜率、待定参数相关的问题.知识点1基本初等函数的导数公式原函数导函数1（常数的导数为0）2f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1（熟记）3f(x)＝sinxf′(x)＝cosx4f(x)＝cosxf′(x)＝－sinx5f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝axlna6f(x)＝exf′(x)＝ex7f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)8f(x)＝lnxf′(x)＝eq\f(1,x)注：①对于根式f(x)＝eq\r(n,xm)，要先转化为f(x)＝，所以f′(x)＝.②区分公式的结构特征，既要从纵的方面(lnx)′与(logax)′和(ex)′与(ax)′区分，又要从横的方面(logax)′与(ax)′区分及(ax)′与(xα)′区分，找出差异记忆公式．③公式(logax)′记不准时，可以直接用(lnx)′推导：(logax)′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,lna)))′＝eq\f(1,lna)(lnx)′＝eq\f(1,lna·x).【即学即练1】【多选】下列选项正确的是()A．y＝ln2，则y′＝eq\f(1,2)B．y＝eq\f(1,x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27)C．y＝2x，则y′＝2xln2D．y＝log2x，则y′＝eq\f(1,xln2)【即学即练2】求下列函数的导数：(1)y＝x0(x≠0)；(2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x；(3)y＝lgx；(4)y＝eq\f(x2,\r(x))；(5)y＝2cos2eq\f(x,2)－1.【即学即练3】求下列函数的导数：(1)y＝2021；(2)y＝eq\f(1,\r(3,x2))；(3)y＝4x；(4)y＝log3x.【即学即练4】已知函数的导数为，则等于（）A．0 B．1C．2 D．4【即学即练5】已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于（）A．4 B．－4 C．5 D．－5【即学即练6】与直线2x－y－4＝0平行且与曲线y＝lnx相切的直线方程是________．【即学即练7】已知直线与曲线相切，则的最大值为___________.知识点2导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，F(x)＝f(x)＋g(x)则eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx＋gx＋Δx－fx－gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Fx＋Δx－Fx,Δx)＝eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝f′(x)＋g′(x)，注：函数和与差的导数运算法则可推广到任意有限个可导函数的和(或差)．即：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f1x±f2x±f3x±…±fnx))′＝f′1(x)±f′2(x)±…±f′n(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（前导后不导+前不导后导）证明：设f(x)、g(x)都是可导函数，G(x)＝f(x)·g(x)，eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(gx＋Δx[fx＋Δx－fx],Δx)＋eq\f(fx[gx＋Δx－gx],Δx)，∴eq\o(lim,\s\do15(Δx→0))eq\f(Gx＋Δx－Gx,Δx)＝g(x)·f′(x)＋f(x)·g′(x)．注：(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))eq\a\vs4\al(′,)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．（分子：上导下不导-上不导下导，分母变平方）注：【即学即练8】求下列函数的导数：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.(3)f(x)＝x2＋sinx；(4)g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2.(5)y＝x2＋xlnx；(6)y＝eq\f(lnx,x2)；(7)y＝eq\f(ex,x)；(8)y＝(2x2－1)(3x＋1)．【即学即练9】求下列函数的导数：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).【即学即练10】求下列函数的导数：(1)y＝lnx＋eq\f(1,x)；(2)y＝eq\f(cosx,ex)；(3)f(x)＝(x2＋9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,x)))；(4)f(x)＝eq\f(sinx,xn).【即学即练11】已知函数，则等于（）A． B． C． D．知识点3复合函数的导数（1）复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作．注：若f(x)与g(x)均为基本初等函数，则函数y＝f(g(x))或函数y＝g(f(x))均为复合函数．（2）复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．注：（1）要分清楚每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出现如下错误：，实际上应是（2）对于含有参数的函数，要分清楚哪个字母是变量，哪个字母是参数，参数是常量，其导数为零。【即学即练12】【多选】下列哪些函数是复合函数()A．y＝xlnx B．y＝(3x＋6)2C．y＝esinx D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,3)))【即学即练13】下列关于函数的复合过程与导数运算正确的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【即学即练14】求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,1－3x4)；(2)y＝cos(x2)；(3)y＝log2(2x＋1)；(4)y＝e3x＋2.【即学即练15】求下列函数的导数：(1)y＝eq\f(1,\r(1－2x))；(2)y＝5log2(1－x)；(3)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).知识点4导数计算的原则和方法（1）导数计算的原则：先化简解析式，再求导．（2）导数计算的方法：①连乘积形式：多项式的积的导数，通常先展开再求导更简便．②分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；③对数形式：先化为和、差的形式，再求导；④根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；⑤三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导.⑥绝对值形式：先化为分段函数，再求导⑦复合函数求导:先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．考点一利用导数公式求函数的导数解题方略：(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导．(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导．(3)要特别注意“eq\f(1,x)与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．【例1-1】求下列函数的导数．(1)；(2)；(3)y＝x14；(4)y＝eq\f(1,x4)；(5)y＝eq\r(5,x3)；(6)y＝(eq\f(1,3))x(7)；(8)y＝cosx；考点二导数的运算法则解题方略：利用导数运算法则的策略(1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定所需的求导法则和基本公式．(2)如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等．(3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导．【例2-1】求下列函数的导数．(1)y＝x4－3x2－5x＋6；(2)y＝3xex－2x＋e;(3)y＝3eq\r(3,x4)＋4eq\r(x3).(4)y＝(3x5－4x3)(4x5＋3x3)(5)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)；(6)y＝(1－eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,\r(x))))；（7）y＝xcosx－sinx；(8)y=x2cosx(9)y＝tanx；(10)y＝x·tanx；(11)y＝eq\f(x－1,x＋1)；(12)y＝eq\f(lnx,x)【例2-2】若函数，则的解集为（）A． B．C． D．【例2-3】设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，求f(x)的解析式．【例2-4】已知函数，则“”是“曲线存在垂直于直线的切线”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件考点三复合函数的导数解题方略：1、求复合函数的导数的步骤2、应用复合函数的导数公式求导时，应把握好以下环节：(1)选取恰当的中间变量，使构成复合函数的基本函数，符合导数公式中的函数结构．(2)从外到内，层层剥皮，依次求导．(3)把中间变量转换成自变量的表达式．注：比较复杂的复合函数求导时，一般先整理化简再求导．若直接求导，应辨明和、差、积、商及复合关系，对于复合部分要分清层次，找准构成复合函数的基本函数，再依法则求导．【例3-1】下列函数不是复合函数的是()A．y＝－x3－eq\f(1,x)＋1 B．y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))C．y＝eq\f(1,lnx) D．y＝(2x＋3)4【例3-2】求下列函数的导数：(1)y＝(3x－2)2；(2)y＝ln(6x＋4)；(3)y＝e2x＋1;(4)y＝eq\r(2x－1)；(5)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,4)))；(6)y＝cos2x；（7）(8)y＝x－sin2xcos2x(9)y＝eq\f(ln2x＋1,x)变式1：求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）变式2：设函数，则函数的导函数等于（）A． B． C． D．变式3：已知函数在上可导，函数，则等于（）A． B．0 C．1 D．2变式4：定义在上的函数满足，的导函数，则___________.考点四求导数值解题方略：解决解析式中含有导数值的函数，即解析式类似（为常数）的函数问题关键是恰当赋值，然后活用方程思想求解，即先求导导数（注意是常数），然后令，解方程即可得到的值，进而得到函数解析式，最后求得所求导数值。【例4-1】已知函数f(x)＝exlnx，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(1)的值为__________．变式1：已知函数，则的值为（）A． B． C． D．变式2：若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于()A．－1B．－2C．2D．0变式3：已知是奇函数，则（）A．14 B．12 C．10 D．-8【例4-2】已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)变式1：f(x)＝x(2018＋lnx)，若f′(x0)＝2019，则x0等于()A．e2B．1C．ln2 D．e变式2：已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x3－4x，x<0，,－\f(1,x)－lnx，0<x<1，))若f′(a)＝12，则实数a的值为________．变式3：已知f(x)＝x2，g(x)＝x.若m满足f′(m)＋g′(m)＝3，则m的值为________.【例4-3】已知函数f（x）＝f'（e）+xlnx，则f'（e）＝（）A．1+e B．2 C．2+e D．3变式1：已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋lnx，则f′(2)＝__________.变式2：已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝()A.eq\f(12－8ln2,1－2ln2)B.eq\f(2,1－2ln2)C.eq\f(4,1－2ln2) D．－2变式3：已知函数f(x)＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))sinx＋cosx，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝__________.【例4-4】设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(lnx)＝2x－lnx，则f′(1)＝________.考点五利用导数研究曲线的切线方程解题方略：(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；②若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．(2)求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤【例5-1】曲线f(x)＝eq\f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为()A.eq\f(π,6) B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)变式1：【多选】已知点P在曲线y＝eq\f(4,ex＋1)上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值可以是()A.eq\f(π,4)B.eq\f(π,2)C.eq\f(3π,4)D.eq\f(7π,8)【例5-2】函数y＝x3在点(2,8)处的切线方程为()A．y＝12x－16 B．y＝12x＋16C．y＝－12x－16 D．y＝－12x＋16变式1：已知曲线y＝lnx，点P(e,1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程．【例5-3】求曲线y＝lnx过点O(0,0)的切线方程．变式1：已知抛物线y＝x2，求过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－2))且与抛物线相切的直线方程．【例5-4】已知y＝kx＋1是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.变式1：已知曲线y＝lnx的一条切线方程为x－y＋c＝0，则c的值为．变式2：已知曲线f(x)＝eq\f(x2＋a,x＋1)在点(1，f(1))处切线的倾斜角为eq\f(3π,4)，则实数a等于()A．1B．－1C．7D．－7变式3：已知函数y＝f(x)在x＝1处的切线与直线x＋y－3＝0垂直，则f′(1)等于()A．2B．0C．1D．－1变式4：已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（）A． B． C．2 D．4变式5：曲线y＝esinx在点(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为eq\r(2)，求直线l的方程．变式6：如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1【例5-5】若曲线y＝eq\r(x)在点P(a，eq\r(a))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a的值是．【例5-6】点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．变式1：曲线y＝xlnx上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D．2【例5-7】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则a=（）A．4 B．8 C．2 D．1变式1：已知a，b为正实数，直线y=x－a与曲线y=ln(x+b)相切于点(x0，y0)，则的最小值是_______________.考点六导数的实际应用解题方略：1、由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数2、将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况．【例6-1】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15＝1.611，ln1.1＝0.095)【例6-2】日常生活中的饮用水通常都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知1t水净化到纯净度为x%时所需费用(单位：元)为c(x)＝eq\f(4000,100－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80<x<100)).那么净化到纯净度为90%时所需净化费用的瞬时变化率是()A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t【例6-3】某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关系式s(t)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)t＋\f(5π,6)))(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义．题组A基础过关练1、【多选】下列运算中正确的是()A．(ax2＋bx＋c)′＝a(x2)′＋b(x)′B．(sinx－2x2)′＝(sinx)′－2′(x2)′C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,x2)))′＝eq\f(sinx′－x2′,x2)D．(cosx·sinx)′＝(cosx)′sinx＋cosx(sinx)′2、从时刻t＝0开始的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．3、已知曲线f(x)＝(x＋a)·lnx在点(1，f(1))处的切线与直线2x－y＝0垂直，则a等于()A.eq\f(1,2)B．1C．－eq\f(3,2)D．－14、已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．5、设曲线在处的切线与直线所围成的三角形面积为，求a的值.题组B能力提升练6、设曲线上任意一点的切线为l，若l的倾斜角的取值范围是，则实数a=______.7、设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角α的范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)) B．[0，π)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))) D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))8、已知函数f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为x＋2y－3＝0，则a，b的值分别为________．9、曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3) D．110、曲线y＝eq\f(2,e)(x－1)ex在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为________．11、设函数f(x)＝cos(eq\r(3)x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)是奇函数，则φ＝________.题组C培优拔尖练12、设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2021(x)＝.13、函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，aeq\o\al(2,k))处的切线与x轴的交点的横坐标为ak＋1，其中k∈N*，若a1＝16，则a1＋a3＋a5的值是．14、等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)·(x－a2)·…·(x－a8)，则f′(0)＝________.15、已知函数f(x)＝eq\f(ax,x2＋b)，且f(x)的图象在x＝1处与直线y＝2相切．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若P(x0，y0)为f(x)图象上的任意一点，直线l与f(x)的图象切于P点，求直线l的斜率k的取值范围．5.3.1函数的单调性课程标准课标解读1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间．4.会利用导数证明一些简单的不等式问题.5.掌握利用导数研究含参数的单调性的基本方法．通过本节课要求能利用函数的导数判断函数的单调性，会求简单函数的单调区间，能证明简单的不等式，会利用导数解决单调性与含参数相关的问题.知识点1函数的导数与单调性的关系一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。知识点2利用导数求函数的单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求导数y′＝f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为增区间；④解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为减区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．注：①确定函数y＝f(x)的定义域；②求出导数f′(x)的零点；③用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．【即学即练1】求下列函数的单调区间（1）f(x)＝；（2）y＝x2－lnx．（3）f(x)＝2x3＋3x2－36x＋1；（4）f(x)＝sinx－x(0<x<π)．（5）；（6）．【即学即练2】函数y＝ln(x2－x－2)的递减区间为________.【即学即练3】利用导数判断下列函数的单调性：(1)f(x)＝x2－2x＋alnxeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a>\f(1,2)))；(2)f(x)＝eq\f(lnx,x)(x>e)．知识点3函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)：f′(x)的正负f(x)的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减恒有f′(x)＝0是常数函数，不具有单调性特别提醒：①若在某区间上有有限个点使f′(x)＝0，其余的点恒有f′(x)>0，则f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．注：一般情况下，由不等式确定函数增区间，由确定函数的减区间．但在区间上恒成立，且的点是孤立的，则在上单调递增，如函数在上是增函数，但有无数个解．②可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．③函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f′(x)≥0，“f′(x)>0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件。④利用导数解决单调性问题需要注意的问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间．(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点．(3)如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”或“和”字等隔开．【即学即练4】函数在上单调递增，则a的取值范围是________．【即学即练5】已知函数在上单调递减，则的取值范围是______．知识点4函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)注:利用导数判断函数单调性：（口诀：导函数看正负，原函数看增减）在导函数图象中，在x轴上方区域对应原函数单调递增区间；在x轴下方区域对应原函数单调递减区间．（1）单调递增①若，其图象如右所示——图象上升且越来越陡②若，其图象如右所示——图象上升且越来越平缓（2）单调递减①若，其图象如右所示——图象下降且越来越平缓②若，其图象如右所示——图象下降且越来陡【即学即练6】已知函数的导函数的图象如图所示，则下列四个图象中为该函数图象的是（）A． B．C． D．【即学即练7】设函数f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()考点一利用导数求函数的单调性解题方略：利用导数求函数的单调区间：1.求函数y＝f(x)的单调区间的步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域．(2)求导数y′＝f′(x)．(3)解不等式f′(x)>0，函数在解集所表示的定义域内为增函数．(4)解不等式f′(x)<0，函数在解集所表示的定义域内为减函数．2.(1)讨论参数要全面，做到不重不漏．(2)解不等式时若涉及分式不等式要注意结合定义域化简，也可转化为二次不等式求解．(一）判断函数的单调性【例1-1】下列函数中，在上为增函数的是（）A． B． C． D．变式1：下列函数中，既满足图象关于原点对称，又在上单调递增的是（）A． B．C． D．利用导数求函数的单调区间（不含参）【例1-2】求下列函数的单调区间.（1）f(x)＝x3－3x＋1；（2）y＝x＋.（3）3；（4）y＝ln(2x＋3)＋x2.变式1：函数的单调递增区间是（）A． B．C．和 D．变式2：函数f(x)＝cosx－x在(0，π)上的单调性是（）A．先增后减 B．先减后增C．单调递增 D．单调递减含参数的函数的单调性【例1-3】已知函数，其中，.（Ⅰ）讨论函数的单调性；变式1：已知函数（1）设是的导函数，讨论函数的单调性；变式2：已知函数．(1)讨论的单调性；变式3：已知函数（）．（1）若，讨论函数的单调性；变式4：设g(x)＝lnx－ax2＋(a－2)x，a＜0，试讨论函数g(x)的单调性．变式5：已知函数，（1）求函数的单调增区间；考点二函数单调性的应用解题方略：(1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路①将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；②先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f(x)是否满足题意．(2)恒成立问题的重要思路：①m≥f(x)恒成立⇒m≥f(x)max；②m≤f(x)恒成立⇒m≤f(x)min.(一）解抽象不等式【例2-1】已知函数在定义域内可导，其图象如图所示．记的导函数为，则不等式的解集为（）A． B．C． D．变式1：已知函数f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上有f′(x)>0，若f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集是________________．变式2：f(x)是定义在R上的奇函数，且，为的导函数，且当时，则不等式f（x﹣1）＞0的解集为（）A．（0，1）∪（2，+∞） B．（﹣∞，1）∪（1，+∞）C．（﹣∞，1）∪（2，+∞） D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【例2-2】已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)=20，且f(x)的导函数满足，则不等式f(x)>2x3+2x的解集为（）A．{x|x>-2} B．{x|x>2} C．{x|x<2} D．{x|x<-2或x>2}【答案】B变式1：已知函数的定义域为R，且，，则不等式的解集为（）A． B． C． D．变式2：若定义在上的函数满足，，则不等式的解集为________________．变式3：已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，有，且，则使得成立的的取值范围是___________.比较大小【例2-3】设函数，则（）A． B．C． D．以上都不正确变式1：已知函数f(x)=－，则（）A． B．C． D．的大小关系无法确定【例2-4】【多选题】已知函数f(x)的导函数为，且，对任意的x∈R恒成立，则（）A．f(ln2)<2f(0) B．f(2)<e2f(0)C．f(ln2)>2f(0) D．f(2)>e2f(0)变式1：【多选题】已知定义在上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（）A． B．C． D．(三）已知函数的单调性求参数的取值范围（1）在区间上单调递增（减）①转化为不等式的恒成立问题（常用）:f(x)在区间M上递增⇒f′(x)≥0在M上恒成立f(x)在区间M上递减⇒f′(x)≤0在M上恒成立②利用集合间的包含关系处理:y=f(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集.【例2-5】若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．变式1：若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．变式2：若函数f(x)＝x－eq\f(1,3)sin2x＋asinx在(－∞，＋∞)单调递增，则a的取值范围是________．变式3：函数在区间上单调递减，则实数m的取值范围是（）A． B． C． D．变式4：函数在区间上单调递减，则的最大值为（）A． B． C． D．变式5：函数在区间上是减函数，在上是增函数，则（）A．， B．，RC．， D．，R变式6：若在上是减函数，则a的最大值是___________.（2）在区间上单调秒杀技巧：在单调或。(在做小题或大题答案检验上非常有效。)【例2-6】已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．变式1：已知函数f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)ax2＋(a－1)x(a∈R)是区间(1,4)上的单调函数，则a的取值范围是________．变式2：已知函数f(x)＝eq\f(3x,a)－2x2＋lnx在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．（3）单调区间是若y=f(x)的单调区间为(a,b),则【例2-7】若f(x)＝x3－ax2的单调减区间是(0，2)，则正数a的值是（）A．1B．2C．3 D．4变式1：已知函数f(x)＝mx3＋3(m－1)x2－m2＋1(m>0)的单调递减区间是(0,4)，则m＝__________.变式2：若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,3)，则b＋c＝________.（4）（不）存在单调区间（1）f(x)在区间M上存在单调递增区间⇒f′(x)＞0在M上有解⇔f′(x)max＞0f(x)在区间M上存在单调递减区间⇒f′(x)＜0在M上有解⇔f′(x)min＜0（2）f(x)在区间M上不存在单调递增区间⇒f′(x)≤0在M上恒成立f(x)在区间M上不存在单调递减区间⇒f′(x)≥0在M上恒成立【例2-8】函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．变式1：若函数在存在单调递减区间，则实数的取值范围是A． B． C． D．变式2：若函数f（x）＝lnx+x2﹣2ax+a2在区间[2，4]上不存在单调增区间，则a的取值范围是（）A．[，+∞） B．[，+∞） C．（，） D．[，]（5）在区间上不单调思路一：函数在某一区间不单调，则在此区间内方程有解，且在解的两侧的符号相反．即f(x)在区间M上不单调⇒f′(x)在M上有变号零点思路二：可求出函数在区间上是单调函数的参数的取值范围，求其补集即可得结果.【例2-9】已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．变式1：函数在区间[-1，2]上不单调，则实数a的取值范围是（）A．(-∞，-3] B．(-3，1)C．[1，+∞) D．(-∞，-3]∪[1，+∞)变式2：已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（）A． B．C． D．变式3：若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．不存在这样的实数（6）综合应用【例2-10】已知函数f(x)＝kx－lnx．（1）在区间(1，＋∞)上单调递增，求k的取值范围.（2）在区间(1，＋∞)上单调递减，求k的取值范围.（3）在区间(1，＋∞)不单调，求k的取值范围.变式1：已知函数.（1）若函数在R上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若函数的单调递减区间是，求实数a的值；（3）若函数在区间上单调递减，求实数a的取值范围.变式2：已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上为增函数，求a的取值范围；(2)若f(x)在(1，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(3)若f(x)在(－1,1)上为减函数，求a的取值范围；(4)若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的值；(5)若f(x)在(－1,1)上不单调，求a的取值范围．变式3：已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝eq\f(1,2)ax2＋2x(a≠0)．(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．(3)若h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上存在单调递增区间，求a的取值范围．(4)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递增，求a的取值范围．考点三函数图象与导数图象的应用解题方略：(1)函数的单调性与其导函数的正负的关系：在某个区间(a，b)内，若f′(x)>0，则y＝f(x)在(a，b)上单调递增；如果f′(x)<0，则y＝f(x)在这个区间上单调递减；若恒有f′(x)＝0，则y＝f(x)是常数函数，不具有单调性．(2)函数图象变化得越快，f′(x)的绝对值越大，不是f′(x)的值越大．（一）由导函数图象确定原函数单调性【例3-1】如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（）A．函数在区间上是减函数B．函数在区间上是减函数C．函数在区间上是减函数D．函数在区间上是单调函数（二）由导函数图象确定原函数图象【例3-2】是函数y＝f(x)的导函数，若y＝的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（）A． B．C． D．变式1：已知函数的图象如图所示，则函数的图象可能是图中的（）A．B．C．D．变式2：【多选题】已知函数的导函数为，若，则函数的图象不可能是（）A． B．C． D．变式3：如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是()（三）由原函数图象或解析式确定导函数图象【例3-3】已知f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的（）A． B． C． D．变式1：已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（）A．B．C．D．变式2：如果函数y＝f(x)的图象如图所示，那么导函数y＝的图象可能是（）A．B．C．D．变式3：已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（）A．B．C． D．【例3-4】已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－2，－1)∪(1,2)变式1：函数f(x)的图象如图所示，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式eq\f(f′x,x)<0的解集为______________．考点四证明不等式解题方略：用导数证明不等式f(x)>g(x)的一般步骤(1)构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，x∈[a，b]．(2)证明F′(x)＝f′(x)－g′(x)≥0，且F(a)>0.(3)依(2)知函数F(x)＝f(x)－g(x)在[a，b]上是单调递增函数，故f(x)－g(x)>0，即f(x)>g(x)．这是因为F(x)为单调递增函数，所以F(x)≥F(a)>0，即f(x)－g(x)≥f(a)－g(a)>0.【例4-1】证明ex≥x＋1≥sinx＋1(x≥0)．变式1：已知函数．（1）讨论的单调性；（2）当时，若恒成立，证明：；变式2：已知函数.其中.（1）讨论函数的单调性；（2）当，求证：.变式3：已知，函数．（1）讨论函数的单调区间；（2）求证：．题组A基础过关练1、【多选】下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（）A． B． C． D．2、函数在上的单调性是（）．A．单调递增B．单调递减C．在上单调递减，在上单调递增D．在上单调递增，在上单调递减3、若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．4、已知函数在上为减函数，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．5、定义在上的函数其导函数恒成立，且，则不等式的解集为（）A． B． C． D．题组B能力提升练6、函数在的图象大致为（）A． B．C． D．7、【多选】已知函数f(x)的定义域为R，其导函数f′(x)的图象如图所示，则对于任意x1，x2∈R(x1≠x2)，下列结论正确的是()A.(x1－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))))<0B.(x1－x2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))－f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2))))>0C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))>eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),2)D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))<eq\f(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1))＋f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2)),2)8、定义域为R的函数且，且的导函数，则实数a的取值范围为（）A． B． C． D．9、若函数在其定义域上不单调，则实数的取值范围为（）A．或 B．或 C． D．10、已知函数在上不单调，则的取值范围是________.11、设是定义在上的可导函数，且满足，对任意的正数，下面不等式恒成立的是