2025版高考数学一轮总复习考点突破第4章三角函数解三角形第3讲两角和与差的三角函数二倍角公式第1课时三角函数公式的基本应用考点2三角函数公式的逆用与变形用

三角函数公式的逆用与变形用角度1公式的逆用下列函数值为eq\f(1,4)的是(C)A．sin2eq\f(π,12)－sin2eq\f(5π,12) B．eq\f(1－tan222°30′,tan22°30′)C．sin105°·sin15° D．eq\f(1,sin10°)－eq\f(\r(3),cos10°)[分析]通过适当变形，创造适合公式的条件．A由sin2eq\f(π,12)＝cos2eq\f(5π,12)，利用二倍角公式求解；B．由倒数关系，分子、分母同乘以2以后利用倍角公式求解；C．利用诱导公式及倍角公式求解；D．通分后利用两角差的正弦公式和倍角公式求解．[解析]A．原式＝cos2eq\f(5π,12)－sin2eq\f(5π,12)＝coseq\f(5π,6)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,6)))＝－coseq\f(π,6)＝－eq\f(\r(3),2).B．原式＝eq\f(2,\f(2tan22°30′,1－tan222°30′))＝eq\f(2,tan45°)＝2.C．原式＝sin15°·sin(180°－75°)＝sin15°·sin75°＝sin15°·cos15°＝eq\f(1,2)sin30°＝eq\f(1,4).D．原式＝eq\f(cos10°－\r(3)sin10°,sin10°cos10°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cos10°)＝eq\f(4sin30°cos10°－cos30°sin10°,2sin10°cos10°)＝eq\f(4sin20°,sin20°)＝4.角度2公式的变形应用1．(2023·新课标Ⅰ，8,5分)已知sin(α－β)＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，则cos(2α＋2β)＝(B)A．eq\f(7,9) B．eq\f(1,9)C．－eq\f(1,9) D．－eq\f(7,9)[解析]∵sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ＝eq\f(1,3)，cosαsinβ＝eq\f(1,6)，∴sinαcosβ＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(2,3)，∴cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin2(α＋β)＝1－eq\f(8,9)＝eq\f(1,9)，故选B．2．tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°tan50°的值为(D)A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),3)C．－eq\f(\r(3),3) D．－eq\r(3)[解析]因为tan120°＝eq\f(tan70°＋tan50°,1－tan70°tan50°)＝－eq\r(3)，所以tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan70°tan50°＝－eq\r(3).故选D．3．(2024·陕西吴起高级中学模拟)已知sin2α＝eq\f(2,3)，则cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝(A)A．eq\f(1,6) B．－eq\f(1,6)C．eq\f(1,2) D．eq\f(2,3)[解析]∵sin2α＝eq\f(2,3)，∴cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(1＋cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4))))),2)＝eq\f(1－sin2α,2)＝eq\f(1－\f(2,3),2)＝eq\f(1,6)，故选A．名师点拨：1．注意三角函数公式逆用和变形用的2个问题(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系．(2)注意特殊角的应用，当式子中出现eq\f(1,2)，1，eq\f(\r(3),2)，eq\r(3)等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”构造适合公式的形式．2．熟记三角函数公式的2类变式(1)和差角公式变形：sinαsinβ＋cos(α＋β)＝cosαcosβ，cosαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcosβ.tanα±tanβ＝tan(α±β)·(1∓tanα·tanβ)．(2)倍角公式变形：降幂公式cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2)，配方变形：1±sinα＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(α,2)±cos\f(α,2)))2,1＋cosα＝2cos2eq\f(α,2)，1－cosα＝2sin2eq\f(α,2).【变式训练】1．(角度1)(2024·河北武邑中学调研)下列式子的运算结果不等于eq\r(3)的是(D)A．tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°B．2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)C．eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)D．eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))[解析]对于A，tan25°＋tan35°＋eq\r(3)tan25°·tan35°＝tan(25°＋35°)·(1－tan25°tan35°)＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3)－eq\r(3)tan25°tan35°＋eq\r(3)tan25°tan35°＝eq\r(3).对于B,2(sin35°cos25°＋cos35°cos65°)＝2(sin35°cos25°＋cos35°sin25°)＝2sin60°＝eq\r(3).对于C，eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\f(tan45°＋tan15°,1－tan45°tan15°)＝tan60°＝eq\r(3).对于D，eq\f(tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×eq\f(2tan\f(π,6),1－tan2\f(π,6))＝eq\f(1,2)×taneq\f(π,3)＝eq\f(\r(3),2).综上，式子的运算结果为eq\r(3)的是ABC．故选D．2．(角度2)(2024·天津耀华中学模拟)已知sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，则logeq\r(5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(tanα,tanβ)))2＝(B)A．5 B．4C．3 D．2[解析]∵sin(α＋β)＝eq\f(1,2)，sin(α－β)＝eq\f(1,3)，∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝eq\f(1,2)，sinαcosβ－cosαsi