2023-2024学年福建省三明市四校联考高一（下）联考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年福建省三明市四校联考高一（下）联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=−1+iiA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知|a|=2，|b|=1，向量a与b的夹角为120°，若A.−1 B.1 C.−123.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABCA.π2 B.π3 C.π44.在梯形ABCD中，已知AB/​/CD，AB=A.AP=23AB+125.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，在坡度为15°的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106

m(如图

A.10

m B.30

m C.103

m D.106.在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BA.2 B.4 C.8 D.07.已知平面向量a与a+b的夹角为60°，若|a|−A.[233,+∞) 8.某中学开展结合学科知识的动手能力大赛，参赛学生甲需要加工一个外轮廓为三角形的模具，原材料为如图所示的△ABC,∠BAC=π2,D是边BC上一点，∠ABA.(163−9)πcm二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，则以下四个说法中正确的是(

)A.i+i2+i3+i4=0 B.复数−10.已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，则下列命题中错误的是A.若△ABC是锐角三角形，则cosA<sinB

B.若△ABC是边长为1的正三角形，则AB⋅BC11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP=2，弦AC，BD均过点

A.PA⋅PC为定值

B.当AC⊥BD时，AB⋅CD为定值

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=(m,3)，b=(1,m13.已知平面向量a=(0,1),b=14.在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边a，b，c满足a2−b2=bc四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知复数z1=2m21−i，z2=(2+i)m−3(1+2i)，16.(本小题15分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c2b2+c2−a2=sinCsinB．

17.(本小题15分)

2023年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村(湖南省首个涂鸦艺术村)通过层层遴选，最终在全省29个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图(如图)．

已知：A，B，D，E四点共圆，∠ABD=60°，AE=2，AB=2，cos∠EDA=5714，其中AD，18.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m=(sinA,sinB−sinC)，19.(本小题17分)

定义非零向量OM=(a,b)的(相伴函数)为f(x)=asinx+bcosx(x∈R)，向量OM=(a,b)称为函数f(x)=asinx+bcosx的“相伴向量”(其中O答案和解析1.【答案】D

【解析】解：因为z=−1+ii=i2−ii2=12.【答案】D

【解析】解：根据题意，|a|=2，|b|=1，向量a与b的夹角为120°，则a⋅b=2×1×cos120°=−1，

若3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查利用余弦定理解三角形、三角形面积公式等知识，考查学生运算能力，是基础题．

由S△AB【解答】

∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为a2+b2−c24，4.【答案】C

【解析】解：AP=AB+BP

=AB+23BC

=AB+23(5.【答案】B

【解析】解：如图，

依题意知∠ABC=30°+15°=45°，∠ACB=180°−60°−15°=105°，

∴∠BAC=180°−45°−6.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了平面向量的线性运算及数量积的综合应用，属于中档题．

作图，并取BC边上的中点D【解答】

解：如图，设D是BC边上的中点，

∵在等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=2，

∴AD⊥BC，且B7.【答案】A

【解析】解：设OA=a，OB=b，如图平行四边形OACB，

∴a+b=OC，∴∠AOC=60°，

∵|a|−t|b|≤0恒成立，

∴t≥8.【答案】C

【解析】解：在△ABC,∠BAC=π2，设∠ABD=∠ADB=α,α∈(0,π2)，

则∠ACD=π2−α,∠CAD=2α−π2，∠ADC=π−α，

所以sin∠CAD=sin(2α−π2)=−cos2α，

在△ACD中，AC=3cm,CD=39.【答案】AD【解析】解：因为i+i2+i3+i4=i−1−i+1=0，A正确；

复数−2−i的虚部为−1，B不正确；

若z=i，则z2=−1，|z|210.【答案】BC【解析】解：对于A：若△ABC是锐角三角形，则A+B>π2，即A>π2−B，

由于A,π2−B∈(0,π2)，所以cosA<cos(π2−B)=sinB，故A正确；

对于B：AB⋅BC=−BA⋅BC=−1×1×32=−32，故B错误；

对于C：若B=π6，b11.【答案】AB【解析】解：对于A，如图，过O，P作直径EF，

则PA⋅PC=−|PA||PC|=−|PF||PE|=−(|OF|−|OP|)(|OF|+|OP|)=−(|OF|2−|OP|2)=−2为定值，

A正确；

对于B，若AC⊥BD，

则PB⋅CP=AP⋅PD=0，

则AB⋅CD=(AP+PB)⋅(CP+PD)=AP⋅CP+PB⋅CP+AP⋅PD+PB⋅PD，

又PA⋅12.【答案】4【解析】解：∵向量a=(m,3)，b=(1,m)，a与b反向共线，

∴a=λb(λ<0)，

∴m=λ3=λm，解得m13.【答案】(−【解析】解：向量a=(0,1),b=(−1,1)，则a⋅b=1，|b|14.【答案】(0【解析】解：由余弦定理可得a2=b2+c2−2bccosA=b2+bc，则c−2bcosA=b，

由正弦定理可得sinB=sinC−2sinBcosA=sin(A+B)−2cosAsinB=sinAcosB+co15.【答案】解：(I)∵z1=2m21−i=2m2(1+i)(1−i)(1+i)【解析】(I)结合复数的四则运算，以及纯虚数的定义，即可求解．

(I16.【答案】解：(1)在△ABC中，因为c2b2+c2−a2=sinCsinB，

因为c2b2+c2−a2=sinCsinB，所以c2b2+c2−a2=cb，

整理可得：b2+c2【解析】(1)根据正弦定理和题中所给式子化简计算得到b2+c2−a2=bc17.【答案】解：(1)∵A，B，D，E四点共圆，∠ABD=60°，

∴∠AED=120°，

∵cos∠EDA=5714，

∴sin∠EDA=1−cos2∠EDA=2114；

在△ADE中，由正弦定理得：AEsin∠EDA=ADsin∠AED，

【解析】(1)在△ADE中，利用正弦定理可求得AD；在△ABD中，利用余弦定理可求得DB18.【答案】解：(1)因为m=(sinA,sinB−sinC)，n=(a−b,b+c)，且m⊥n，

所以sinA(a−b)+(sinB−sinC)(b+c)=0，

利用正弦定理化简得：a(a−【解析】(1)利用m⊥n等价于m⋅n=